Giải tích 1: Bài 4. Đạo hàm và vi phân cấp cao, định lí về hàm khả vi131

PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ GIẢI TÍCH I BÀI (§1.9, §1.10) §1.9 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (Tiếp th Đạo hàm vi phân cấp cao a) Đạo hàm cấp cao Định nghĩa f(n)(x) = (f(n  1)(x)' , n    n  cos  x  n  Ví dụ a) y = cosx, y 2  (n )  b) y = x ,    , tính y PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ n 1 n  1)! ( 1) (  c) y = loga|x|, y  x n ln a Quy tắc  f(n)(x), g(n)(x) (n ) (n ) 1) (f(x) = f (x) (n ) (n ) (n ) 2) (f(x)  g(x) = f (x)  g (x) 3) Quy tắc Leibnitz : n n f  x  g  x   n   Cnk f k   x  g  n k   x  k 0 (5) Ví dụ y = x lnx, tính y Ví dụ y = sinax cosbx, tính y(20) (30) Ví dụ y = x cosx, tính y PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo Ví dụ y  thao.nguyenxuan@ , tính y(n) x2  Ví dụ a (K50) y   2x e 2x , tính y y  x ln(1  x ), tính y (n ) (n ) n 2x ((2) e ( (n + (n  2)!3n 1 1  x n   x  3t  2t    f x ,f b (K52) y  f ( x ),  , tính  y  tet PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ t2 e (f   , f    x  t  et y  f ( x ),  , tính f   x  , f   x  2t  y  2t  e ( f   2(1  et ), f  (50) c (K55) f(x) = x sin(1  x) Tính f (1) (51) f(x) = (1  x) cos x Tính f (0) 2x   2n    d (K57) Cho f x  ln Tính f 2x  x 1 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ ( e (K60) 10 1   1) Cho f x  x ln x Tính f (9 10      2) Cho f x  ln Tính f (9 1 x x  20    3) Cho f x  Tính f (8 ( x ) x 2 (x  50   x    f (K62) Cho f x  Tính f 1 x 99! , x  1) ( 50 (1  x )101 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo g (K63) Cho f  x   ( 51! 52 ( x  1) thao.nguyenxuan@  50  f x Tính x  2x  , x  1) x2 h (K64) CMR cos x  1 , x  GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ x2  f ( x )   sin x  x, +)f ( x )  cosx    f ( x )   cosx  0, x  +) f ( x )  f (0),  f ( x )   f ( x )  f (0) 2 x x ,x   cos x     cos x   2 i (K65) a) f ( x )  ( x  1)e2x Tính f GIẢI 100   0 ( PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ 2x +)f ( x )  x  1, g ( x )  e  g k 0 1,  (k ) f (0)   1, k  1 0, k2  f (100)   100 (0)   (k ) k (0)  , k (k ) (100 k ) C100f (0)g (0) k 0 k C100 f (k ) (0)g (100k ) (0) k 0 f (0)g (100) (0)  C100 f (0)g (99) (0) +)  C100  2100  100  299  2100  51 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ 1 x e  n x ,  Tính f   b) f ( x )   x 0  b) Vi phân cấp cao n1 n Định nghĩa d f = d(d f), n  x biến số độc lập ta có dn f = f(n)(x)dxn x 10 Ví dụ y = x e , tính d y Vi phân cấp cao khơng có tính bất biến Ví dụ y = x3, x = t2, có d2y  y(2)dx2 GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ t6 2y 5dt y t d d dy d t )3 +)  ( )    ( )  (6 +) y (2)dx  (6x )(dx )2  (6t )(2tdt )2  24t 4dt  30t 4dt  d y Ví dụ (K52) 11 a) y = (x + 1) ln(2x + 3), tính d y(1), (8! C1 b) y  (1  x )ln(2x  1), tính d10y(1) ( 7!C12 10 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ cx bx +) f(x)=ax   liên tục [0;1], khả vi (0;1), f(0)=f(1)=0 +) Đl Rolle  d (0;1): f (d)=0  6ad5  5bd  Định lí Lagrange f(x) liên tục [a ; b], kh (a ; b)   c  (a ; b): f  b   f a   f  c  b a Ví dụ f(x) = x(x + 1), x  [0 ; 2] Ví dụ f(x) = |x|(x  1), x  [1 ; 2] Ví dụ CMR: |arctana  arctanb|  |a  b| 19 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ Ví dụ 10 a (K50) Chứng minh VCB (x)  (x), x  2 (x) = arctan (x + 1)  arctan x, (x) = arccot 1  1 x 2 Chứng minh VCB (x)  (x), x  +, (x) = arccot2(2  x)  arccot2(1  x), (x)  4arctan 1 x2  1 x n b (K55) 1.Chứng minh  ln2 nk k 1  20 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ n Chứng minh  ln2 2n  k k 1  Tìm a để   x   tan bậc với x4 bậc với x  xa  tan 1 x a x  + Tìm a để   x   tan 1 2 x x  + 21 a  tan 5x a PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ c (K59) 1) Hàm f  x   x ( x  1) ,  x  có thỏa thiết Định lý Lagrang ? công thức Lagrang cho hàm ? (Có, c 2) Hàm f  x   x ( x  1), 1  x  có thỏa thiết Định lý Lagrang ? cơng thức Lagrang cho hàm ? (Không 3) Cho xi , y i  (a; b ), x i  y i , i  1, n CMR n vi ( a; b) tồn số c  (a; b ), cho : 22 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ n  i 1 n [f(x i )-f(yi )]  f (c )  i 1 GIẢI 2) 23 (x i -y i ) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ x ( x  1)  x( x  1) +) f     lim  lim  x0 x x 0 x 0 x ( x  1)  ( 1)   x x   lim  f     lim x 0 x x 0  x 0  Do f(x) khơng khả vi x=0, nên không Lagrange f (2)  f ( 1)   2c  1, c  +)  f (c )    ( 1) 2c  1, c   c , 0   2c   2,  c      2c   2, 1  c  c   , 1    24 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ c    d)(K63) Cho  a  b  CMR : ba  sin b  sin a  b  a e)(K64) CMR ln(1  2 ) , x  x 2 x GIẢI 25 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ ln( x  2)  ln x +) (1)  , x   ( x  2)  x 2 x +) f (t )  ln t liên tục [x;x+2], khả vi (x;x+2), Lagrange, có ln( x  2)  ln x 1  , c  ( x; x  2)   c c x ( x  2)  x x2 ln( x  2)  ln x    ln  x2 x x2 26 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@  ln(1  )  , x  x x2 Định lí Cauchy f(x), g(x) liên tục [a ; b], k (a ; b)   c  (a ; b): [f(b)  f(a)]g'(c) = [g(b)  g Ngoài ra, g'(x)  0,  x  (a ; b) có f  b  f  a f  c   g  b  g  a  g  c  Ví dụ 11 f(x) = x2, g(x) = x3, x  [1 ; 2] Ví dụ 12 f(x) = |x|(x + 1), g(x) = x, x  [2 ; 1] 27 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ Ví dụ 13 a (K53): CMR  x > có 3arctanx + arctan(x + 2) < 4arc CMR  x > có 2arccotx + arccot(x + 2) > 3arc GIẢI 1) 28 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ +)  3[arctan( x  1)  arctan x ]  arctan(x  2)  arc [arctan( x  1)  arctan x ]   , arctanx đ arctan( x  2)  arctan( x  1) biến +) f (t )  arctan t , g (t )  arctan(t  1) liên tục [x;x+   (x;x+1), g  t   0, từ ĐL Cauchy có  (t  1) f  x  1  f  x  f  c  ,0  x  c  x    g  x  1  g  x  g   c  29 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ x  1)  arctan x ] [arctan(   12: arctan( x  2)  arctan( x  1)  c  (1  c [arctan( x  1)  arctan x ]  (1  c )2     arctan( x  2)  arctan( x  1) 1 c b(K58): Phương trình  ak  0, có bốn x  a1x  a2 x  a3 x  a4  , k 1 thực phân biệt CMR : 3a12  8a2 Cho hàm f(x) liên tục [0,1], khả vi (0,1 f(0)=0, f(1)=1 CMR : 30 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ +) Phương trình f(x)=1-x có nghiệm khoảng +) a  b ; a, b  (0,1) : f (a )f (b )  c) (K59) 1) Các hàm f  x   x ( x  1), g  x   x  1,  có thỏa mãn giả thiết Định lý Cauchy ? c Cauchy có cho hàm ? (Khơng, c  ) 2) Các hàm f  x   x ( x  1), g  x   x  1,  có thỏa mãn giả thiết Định lý Cauchy ? c Cauchy có cho hàm ? (Không, 31 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo d)(K63) Cho f ( x )  x , g ( x )  x c  ( 1;3) thao.nguyenxuan@ [-1;3 f ( c ) f (3)  f ( 1)  cho g(c ) g(3)  g (1) Điều nà thuẫn với định lý Cauchy hay khơng ? Giải thích ? ( c  , không mâu thuẫn) GIẢI 32 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ +) g ( x )  x   x   ( 1;3)  không Cauchy  f f f c c (3) ( 1) ( ) 28   +)    g (3)  g ( 1) g (c ) 2c 3c  7  c   ( 1;3) c Khơng mâu thuẫn gì, ĐL Cauchy điều 33 ... 3! 4! +)d 7f (0)  540dx ( 1)    6! § 1.10 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VÀ ỨNG DỤNG Đặt vấn đề Các định lí hàm khả vi Định lí Fermat f(x) xác định (a ; b), f(x trị c  (a ; b),  f'(c) f'(c) =...   b) f ( x )   x 0  b) Vi phân cấp cao n1 n Định nghĩa d f = d(d f), n  x biến số độc lập ta có dn f = f(n)(x)dxn x 10 Ví dụ y = x e , tính d y Vi phân cấp cao khơng có tính bất biến... thực th (0;1) GIẢI 18 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ cx bx +) f(x)=ax   liên tục [0;1], khả vi (0;1), f(0)=f(1)=0 +) Đl Rolle  d (0;1): f (d)=0  6ad5  5bd  Định lí Lagrange