Giải tích 1: Bài 3. Đạo hàm và vi phân132

PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ GIẢI TÍCH I BÀI §1.9 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN  Đặt vấn đề  Bài tốn phép tính vi phân dốc tiếp tuyến I Định nghĩa f(x) xác định U  x0 , f'( f ( x   x )  f ( x0 )  lim  a  x 0 x PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ Ví dụ y = 2010, tính y' Ví dụ y = x , tính y' GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ x0   x )3  ( x0 )3 ( +) y ( x0 )  lim   x 0 x x02  x  x0  x  x 3 x02   lim +)  lim  x 0  x0 x x x Ví dụ y = a , < a  1, tính y' Ví dụ y = |x|, xét y'(0), y'(-1) GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ x, x   +) y ( x )    y ( 1)  1   x, x  +) y (0)  lim  x 0  x  x x  lim  x 0 x  1,  x     1,  x  Hàm số khơng có đạo hàm x=0 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ a) Ý nghĩa hình học f'(x0) hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) x = x0 b) Ý nghĩa học Xét chất điểm M chuy thẳng, không với quãng đường S(t điểm O Khi vận tốc tức thời t0 S ( t )  S( t ) v (t )  lim  S (t ) t t0 t  t0 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ Ví dụ Một người xe máy với vận tốc nửa đoạn đường 20km nửa thứ hai Hỏi vận tốc trung bình bao nh (26 km/h, 25 km/h; 24 km/h, Ví dụ Một tên lửa bắn thẳng lên từ mặt đấ tốc ban đầu v0 m/s đạt độ cao S = tv0  16t2 a) Tìm vận tốc thời điểm t b) Mất để tên lửa đạt tới độ cao tối đ c) Tính vận tốc tên lửa chạm đất d) Vận tốc ban đầu để tên lửa sau bắn 15 giây PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ dy tốc độ biến đổi củ c) Ý nghĩa thực tế dx x Ví dụ Cho hình trịn bán kính r, ta có S = S' = 2r Như tốc độ biến đổi diện tích hình trịn theo bán kính chu vi củ Ví dụ Một thang dài 13ft đứng dựa tường chân thang bị trượt xa tườn độ không đổi 6ft/s Đầu than động xuống nhanh ch cách tường 5ft ? PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ Ví dụ Người ta hút dầu khỏi thùng để Biết sau hút t phút lượng dầu thùng V = 40(50  t)2 lít a) Tìm lượng dầu hút trung bình 20 tiên 40.50  40.30 3 (v tb  20 b) Tìm tốc độ dầu hút khỏi thùng điểm t = 20 phút (v  20   (40.50  v )t  20  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ Ví dụ 10 Một thùng hình nón với đỉnh p có chiều cao 12 ft đường kính đáy bơm đầy nước với tốc độ khơng đổi 4ft /p tính tốc độ biến đổi chiều cao cột nước a) nước sâu 2ft (y     )  b) nước sâu 8ft (y     16 Ví dụ 11 a)(K57) Chứng minh rằng: 2x  ,  x  1) 2arctan x  arcsin 1 x PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@  x 2) 2arccot x  arccos ,  x  1  1 x   xar cot x b)(K58)Tính f ( x ), biết : f ( x )   x  x  2x  x ar cot  (f ( x )   ) x 1 x  x 0  10 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ +) Do f chẵn, nên có d d f (  x )  f ( x ), x  f (  x)  f ( x) dx dx d d df ( x ) ( x )  +)  f (  x ) f ( x )  d ( x ) dx dx  f ( x ) hàm lẻ - Đạo hàm hàm lẻ hàm chẵn (K - Đạo hàm hàm tuần hồn hàm tu có chu kì Ví dụ y = x xx , tính y’ 30 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ Ví dụ (K53) Chứng minh a) 3arctan x  arctan( x  2)  4arctan( x  1), b) 2arccot x  arccot( x  2)  3arccot( x  1), GIẢI a) 31 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ +)  arctan( x  2)  3arctan( x  1)  arctan( x (1) 3arctan x +) f (t )  arctan(t  1)  arctan t, t  [x; x  1]  1  f (t )     2 2 t t  ( t  1) 1 t ( 1)       0, t   f (t ) nghịch biến [x;x+1], f ( x  1)  f ( x )  (1) Ví dụ (K50) a) CMR arctanx4  arctany4  ln 32 x2 y ,  x , y : x PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ 4 b) CMR arccotx  arccoty  ln y2 x ,  x, y: x Ví dụ (K56) CMR f(x) liên tục với x   x arccot , x  a)f ( x )   x 0, x 0   x arctan , x  b)f ( x )   x 0, x0 33 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@  x sin , x   x cos c)f ( x )   d)f ( x )   x x 0,  0, x 0 x Vi phân a) Định nghĩa f(x) xác định U0  x0  f ( x0 )  Ax   ( x ), A phụ thuộ không phụ thuộc vào x, (x) VCB so với x ta nói f(x) khả vi x0 có df ( x0 )  Ax Ví dụ y = 2x + 3, tính dy GIẢI 34 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ +) y ( x )  y ( x  x )  y ( x )  [2( x  x )  3]  +)  2x   x  A  2, ( x )   x  dy b) Ý nghĩa hình học Nếu A  f ( x )  d Ax tuyến tính x nên giản f nhiều c) Ứng dụng tính gần f(x0 + x)  f(x0) + df(x0) Ví dụ 1) Tính gần 4,01 35 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ 2)(K59) Tính gần  0,06  0,06 3)(K64) Tính gần 7,988 GIẢI 36 ( (1, PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ +) f ( x )  x , x0  8, x  0,012  7,988  f ( x  x )  f ( x )  f ( x ) x 0 1   +) f ( x0 )   2, f ( x0 )  3x 12 x 8 7,988    ( 0,012)  1,999 12 37 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ Ví dụ Một mảnh kim loại hình vng, m 20cm, nung nóng cạnh dãn 0,1 gần phần diện tích mảnh kim loại dãn r d) Liên hệ đạo hàm khả vi f'(x0) = A  df(x0) = Ax d  Ví dụ x  3x  1 2  d x x   d e Ví dụ   d x   x  GIẢI 38 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ x x x d e  d e  e  +)         d  x   x  x dx  x  x dx  x  d x +)  e xe 3x x x x  e ( x  1) 3x , x  e) Tính bất biến vi phân cấp y = f(x) khả vi, x = (t) khả vi  dy = f'(x Đạo hàm vi phân cấp cao a) Đạo hàm cấp cao Định nghĩa f(n)(x) = (f(n  1) (x))' , n  Ví dụ 39 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@  n (n )    y n x ,     (  1) (   1) y=x ,   n   y = sinx, y  sin  x  n  2   n    y = cosx, y  cos  x  n  2   (n ) (n ) Quy tắc  f (x), g (x) có (n) 1) (f(x)  g(x)) n  2)  f  x  g  x   (n ) = f (x)  g (x) n  (n )  k  k     n k    Cn f x g x k 0 (Quy tắc Leib 40 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ Ví dụ y = x lnx, tính y(5) (20) Ví dụ y = sinax cosbx, tính y (30) Ví dụ y = x cosx, tính y Ví dụ y  , tính y(n) x 1 (n ) Ví dụ a)(K50) Tính y , n   1 2x n 2x   n   1) y  x ( 2 e e  n  !3n 1  3x  2) y  x ln(1  x ) ( 1  x n GIẢI 1) 41 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ +)f ( x )   x, g ( x )  e2 x  g ( k ) ( x )  ( 2)k e 1 2x, k   (k ) f ( x )   2, k    0, k   (n) f (x)     n  Cnk f ( k ) ( x )g ( n k ) ( x ) k 0 Cnk f ( k ) ( x )g ( n k ) ( x ) k 0 +)  Cn0 (1  x )( 2)n e 2x  Cn1 ( 2)( 2)n 1e 2x 42 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@ n 2 x n 2 x n 2 x x e n e  (1  )(2)  (2)  (2) e Cho ( 51! ( x  1) 52 f ( x)  x  2x  , x  1) GIẢI 43 Tính y (50) (x PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo +)f ( x )  thao.nguyenxuan@ , ( x  1) 50 ( 1) 51!   51! (50) (x)  , x   +)f 52 52 ( x  1) ( x  1) 44 ... x ) ( x )  +)  f (  x ) f ( x )  d ( x ) dx dx  f ( x ) hàm lẻ - Đạo hàm hàm lẻ hàm chẵn (K - Đạo hàm hàm tuần hoàn hàm tu có chu kì Ví dụ y = x xx , tính y’ 30 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo... xe 3x x x x  e ( x  1) 3x , x  e) Tính bất biến vi phân cấp y = f(x) khả vi, x = (t) khả vi  dy = f'(x Đạo hàm vi phân cấp cao a) Đạo hàm cấp cao Định nghĩa f(n)(x) = (f(n  1) (x))' , n... thao.nguyenxuan@ Cho hàm f, g khả vi ; g hàm ngư g(x ) Tính G(2), biết f(3)=2, f (3 Đặt G( x)  e Cho hàm f, g khả vi ; biết f (g f ( x )   (f ( x ))2 Tính g ( x ) (arcta GIẢI 2) 19 PGS TS