Giải tích 1: Bài 1. Hàm số, dãy số.134

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn NHIỆT LIỆT CHÀO MỪN SINH VIÊN K66 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  “Non sơng Nam có trở nên tươi đẹp hay  Dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh qu sánh vai với cường quốc năm châu đượ khơng  Chính nhờ phần lớn công học em” 1945 Hồ C PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Để tạo điều kiện học tốt trình h học chế tín chỉ, giảng Giải tích cho cá ngành 1, viết sở đề cươ tích Bộ mơn Tốn cho em s Đại học Bách Khoa Hà Nội (có kèm theo đ nhóm ngành) Bài giảng chứa đựng đầy kiến thức bản, dạng toán quan trọn minh hoạ đề thi cuối kỳ từ K50 đến giải mẫu Các tập phong phú dạng có đáp số kèm theo, tạo điều kiện thuận lợi em sinh viên tự học tốt Do khối lượng g hạn, nên đưa vào lời giải tất c PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn dụ đề thi khóa trước, dẫn lời giải số dạng toán tiêu biểu lời giải thú vị thực lớp Vì v giảng khơng đặt mục đích thay b lý thuyết lớp Đây tài liệu có ích cho sinh viên muốn đạt kết tốt môn học Hà Nội ngày 10 tháng 10 năm PGS TS Nguyễn Xuân T Ghi Bài giảng nên phô tô mặt, mặt để sinh viên ghi chép PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC CHƯƠNG I PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM BIẾN SỐ Bài Hàm số, dãy số Bài Giới hạn, liên tục Bài Đạo hàm vi phân 16 Bài Đạo hàm vi phân cấp cao, định lí khả vi 22 Bài Định lí hàm khả vi ứng dụng 27 Bài Khảo sát hàm số 35 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn CHƯƠNG II PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM BIẾN SỐ Bài Tích phân bất định 39 Bài Tích phân xác định 43 Bài Tích phân xác định, tích phân suy rộng Bài 10 Tích phân suy rộng 56 Bài 11 Ứng dụng tích phân xác định 62 CHƯƠNG III HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Bài 12 Hàm nhiều biến 68 Bài 13 Đạo hàm riêng vi phân74 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Bài 14 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao, cự Bài 15 Cực trị có điều kiện 87 Bài 16 Tích phân kép (Nhóm ngành 3) 91 Tài liệu học tập 99 Đề thi cuối kỳ năm học từ K50 đến PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn TÀI LIỆU HỌC TẬP Sách, giáo trình : [1] GS TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS Việt Dũng, PGS TS Trần Xuân Hiển, PGS T Nguyễn Xuân Thảo Toán học cao cấp tập 2: G NXB Giáo dục, Hà Nội, 2015, 424 trang [2] GS TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS Việt Dũng, PGS TS Trần Xuân Hiển, PGS T Nguyễn Xn Thảo Bài tậpTốn học cao cấp Giải tích, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2017, 412 tr PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn [3] Nguyễn Xuân Thảo, Bài giảng Giải tích I, [4] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp tập 3: Phép tính nhiều biến số, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2003, [5] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Hồ Quỳnh, Bài tập toán học cao cấp tập 2: Ph giải tích biến số, NXB Giáo dục, Hà Nội, 256 trang [6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đình, Hồ Quỳnh, Bài tập tốn học cao cấp tập 3: Ph PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn giải tích nhiều biến số, NXB Giáo dục, Hà Nộ 499 trang Sách tham khảo: [1] Trần Bình, Giải tích I, Phép tính vi phân phân hàm biến, NXB Khoa học kỹ Hà Nội, 1998, 359 trang [2] Trần Bình, Giải tích II III, Phép tính vi p tích phân hàm nhiều biến, NXB Khoa học thuật, Hà Nội, 2005, 575 trang 10 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b) (K59) f ( x) (y log2 x x 2 (y log x , ( ,0] : [2; ) ( ;0] ) 2x c) (K63) f ( x) x x x 2 x, x ) GIẢI +) y 2x x 2; 33 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) y x +) y thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x y y log x x x d) (K64) f ( x ) Tính (f GIẢI +) (f 1 g g g y2 log x x 1 y y 2 hàm ngược c x 2x x, e g (x ) g f )(0) x 2x f )(0) 34 ( 1 ( ( f g g (f PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) x 2x y +) (f thao.nguyenxuan@hust.edu.vn f 1 g g y 2y x g 1 g f g 1 f )(0) 35 (1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn § 1.4 HÀM SỐ SƠ CẤP Định nghĩa Các hàm số sơ cấp x x a , log a x, sinx, cosx, tanx, cotx, hàm lư giác ngược Các hàm số sơ cấp a) y = x , TXĐ: phụ thuộc , đồ thị (1 ; 1), b) y = a x , < a 1, TXĐ: , TGT: y > 0, đồng a > 1, nghịch biến a < x+y x x y x y y =a a , a = a / a a c) y = log a x, < a 1, TXĐ: x > 0, TGT: ,đ biến a > 1, nghịch biến a < 36 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x log a xy = log a |x| + log a |y|, log a = log a |x| lo y log a x =  log a |x|; y = log a x có hàm ngược x = a y d) Các hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx e) Các hàm lượng giác ngược   +) y = arcsinx: [ ; 1] hàm ng ; 2 hàm y = sin x +) y = arccosx: [ ; 1] [0 ; ] hàm ngược hàm y = cosx 37 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) y = arctanx: ( ; ) hàm y = tan x +) y = arccotx : ( hàm y = cotx ; )   hàm n ; 2 (0 ; ) hàm ngượ f) Các hàm hyperbolic ex e +) y = sinh x = +) y = cosh x = +) y = x = ex e sinhx cosh x x hàm sin-hyperbolic x hàm cosin-hyperbolic củ ex e ex e x x x 38 hàm tan-hyperbo PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) y = coth x = thao.nguyenxuan@hust.edu.vn coshx sinh x ex e x ex e x hàm cotan-hype x Các hàm hyperbolic có số tính chất tương tự cá hàm lượng giác, cụ thể : cosh x sinh +) x CM 39 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn cosh x sinh ( 2) e x x 2sinh e x x e x x e 2 +) cosh2 x cosh +) x +) c osh2 x cosh x sinh +) sinh( x +) cosh x y) x1 +) x coth x coth x sinhx cosh y sinh cosh y x +) sinh x 2sinh xcosh x +) c osh( x y) coshx cosh y sinh sinh x 40 y s sin PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) tanh( x y) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn tanhx y x y +) x 2t Hàm số sơ cấp Định nghĩa Tạo nên từ hàm số sơ cấp bả số hữu hạn phép tổng, hiệu, tích, thương phép lấy hàm hợp số Ví dụ y x+sinx GIẢI 41 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn h +) x, f ( x) x, g( x ) sinx +) Nên y hàm số sơ cấp y h (f g Ví dụ y = |x| x Ví dụ y sin t dt § 1.5 DÃY SỐ Đặt vấn đề -) Thỏ đuổi rùa: Thỏ cách đích S, rùa cách đ S/2, sau thỏ rùa ½ qu đường từ đến đích Hỏi thỏ đuổi rùa? 42 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định nghĩa x , x , , x n , , xi Giới hạn a) Định nghĩa lim xn a , a  > 0, bé tuỳ ý, N(  n N() có |x n Định nghĩa lim xn n a| <  M > 0, lớn tuỳ ý, |x n| > M, ta nói dãy số phân kì b) Tính chất ) lim x n a , a > p (a < p) n p (x n < p) 43 N: N: n>N n > N có PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ) lim x n a , xn ) lim x n a , lim xn ) lim x n a n n n n p (xn b lim xn n n yn a p (a p a = b M > 0: |x n | c) Phép tốn Có lim xn a , lim y n n p) M, n b , ta có a b ; lim xn yn n ab ; lim n b 0, yn 0, n d) Các tiêu chuẩn tồn giới hạn ) Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn dãy đơn điệ tăng (giảm) bị chặn (dưới) có giới hạn 44 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ) Tiêu chuẩn kẹp Có x n yn zn , lim xn a lim z n lim y n a n n ) Tiêu chuẩn Cauchy n lim xn n a N( ): m, n > N(  ) có |x m xn | <  Ví dụ Cho dãy x n : x1 2, xn minh {x n } hội tụ tìm giới hạn GIẢI 45  xn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) +) xn thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x1 2, ,1 xn 2 xn xn (1 xn )(2 xn ) x n xn xn +) n xn a Ví dụ Cho dãy x a n : x1 2 xn xn a 0, xn xn lim xn xn xn n a xn xn Chứng minh {x n} hội tụ tìm giới hạn 46 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ 3.(K65) 1) Cho lim x n a Tính lim 2) Cho xn n n lim n n 0, x1 n lim x n n x2 xn a Tính x1x2 xn HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 47 xn ... II PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM BIẾN SỐ Bài Tích phân bất định 39 Bài Tích phân xác định 43 Bài Tích phân xác định, tích phân suy rộng Bài 10 Tích phân suy rộng 56 Bài 11 Ứng dụng tích phân xác... dãy số Bài Giới hạn, liên tục Bài Đạo hàm vi phân 16 Bài Đạo hàm vi phân cấp cao, định lí khả vi 22 Bài Định lí hàm khả vi ứng dụng 27 Bài Khảo sát hàm số 35 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo... CHƯƠNG III HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Bài 12 Hàm nhiều biến 68 Bài 13 Đạo hàm riêng vi phân74 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Bài 14 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao, cự Bài 15 Cực