Giải tích 1. Bài 6. Các lược đồ về khảo sát hàm số129

PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye GIẢI TÍCH I BÀI §1.11 CÁC LƯỢC ĐỒ KHẢO SÁT HÀM  Đặt vấn đề I Hàm số y = f(x) 1) Điểm uốn Định nghĩa Điểm I(c ; f(c)) điểm uốn c hàm số y = f(x)  điểm phân chia phần đồ thị hàm số Cách tìm Tìm (c ; f(c)) cho f’’(x) đổi d biến thiên qua x = c PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye 2) Tiệm cận Định nghĩa  x = x0 tiệm cận đứng đồ thị y = f(x)  lim f  x    x  x0  y = ax + b tiệm cận xiên đồ thị y = f(  lim (f(x), ax + b) = x  f (x ) Khi ta có a  lim , b  lim  f ( x )  ax x  x x  Khi a = ta có tiệm cận ngang PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye Ví dụ Tìm tiệm cận x2 a) y  , x 1 1  c) y  x ln  e   ,  x  x2 , x 1  e) y   x   x  1 0, b) y  d) y  x4 x 4 xe x , 1 PGS TS Nguyễ n Xn Thảo thao.nguye Ví dụ Tìm tiệm cận đồ thị hàm số 3x  a (K51) y  x2  (x =  2, y = 3x phải ; y = 2x2  y  (x =  1, y = 2x phải ; y =  x2  x arccot x (x =  1, y = 1, y = x b (K54) y  x 1 x arccot x (x = 1, y = 1, y =  y  1 x PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye x arccot x c (K57) y  y  (y = 1, y 1 x2 x arccot x 1 x (y = 1, y d (K59) 1) y  xe x 1 (x = bên phải, y = 2) y  xe x 1 (x = bên phải, y = e (K60) y  x  (y=x) ln x g (K61) y  (Tcđ bên phải x=0, Tcn x y=0) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo h (K62) 1) y  thao.nguye x2 x2  (Tcn bên phải y=1, Tcn bên trái  2) y  xarc cot (y  x  x GIẢI 1) PGS TS Nguyễ n Xn Thảo +) TXĐ +) thao.nguye  khơng có tiệm cận đứng  1, lim y  lim  lim  x  x  1 x  x  x  x2 Do có tiệm cận ngang bên phải y=1, tiệm ngang bên trái y=-1 x  3x  i (K63) y  x 1 (Tc xiên y=x+4, Tc đứ x 2 x 2 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo j (K64) y  thao.nguye x ex  (Tc ngang bên phải y=0,Tc xiên bên tr GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye +) TXĐ  tiệm cận đứng +) Ta tìm tiệm cận xiên 0, x   y a  lim  lim x  x  x x  e   1, x   x   y  b1  lim (y  x )  lim x x  x  e  cận ngang bên phải  x  b2  lim ( y  x )  lim  x  x   lim x x  x   e   x 1   x  lim   x x   y  x tiệm cận  x   e e  1 trái PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye Lược đồ khảo sát đồ thị a) Tập xác định b) Chiều biến thiên: tăng giảm, cực trị, lồi cận, bảng biến thiên c) Đồ thị 4x  Ví dụ y  x Ví dụ y   x Ví dụ y ex x GIẢI 10 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye x   1 t 1)  ( y  2x  )  y  2t  1 t x   1 t 2)  (y =  y  3t  1 t 1 t   x  x   t   1 t 3)  (y  x  ) 4)  (y = y  1 t y     t3 1 t c) (K58) 31 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo  x  2t  1 t  y   t  1 t thao.nguye (y = - x + ) 3  t x   t  d (K63)  t   y  1 t (TC xiên y 32 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo x  t  t 1   y  3t  thao.nguye (tc đứng x=1, tc xiên y   x  t  e (K64)   y  2t  t3  (TC xiên y  GIẢI 33 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo +) y  2t thao.nguye    t   x    khôn t 8 cận đứng tiệm cận ngang +) Ta tìm tiệm cận xiên y   2t  lim(2t )  a  lim  lim  :  x  x t 2  t  t   t 2   2t b  lim ( y  ax)  lim    lim  x  t   t  t   t 2 t 34 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye (L )  lim  t 2 3t Do tiệm cận xiên y  x  III Đường cong cho hệ toạ độ cực 1) Hệ toạ độ cực Hệ gồm điểm O, trục Ox gọ độ cực O gốc cực, Ox trục cực M(r ; ), r  OM ,  r < ,  = Ox ; OM  ,    Ví dụ a)   b) r  cos 35 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo c) r  sin  thao.nguye d) r  cos  e) r  sin  Liên hệ với hệ toạ độ Descartes: (r ;  )  (x ; y), x = r cos, y = r sin y (x ; y)  (r ;  ), r  x  y ,   arctan , lấy x dấu với y 2 GIẢI b) r  cos  36 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye +) r  cos   r  r cos  2 2 +)  x  y  x  ( x  )  y  Chú ý Trong hệ toạ độ cực suy rộng ta có ,  <  < +, r1 < định nghĩa (r1 ; ) = (r1 ;  + ) 37 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye    Ví dụ ( 1; )  (1;   )  (1; ) 2 2 Lược đồ khảo sát đường cong r = f( ) a) Tìm tập xác định b) Chiều biến thiên: Xét tính chẵn (Đồ thị qua trục cực), lẻ (Đồ thị đối xứng qua    hoàn, chiều biến thiên, cực trị, bảng biế r tan V  , V góc dương OM r phương tiếp tuyến với đồ thị điểm c) Đồ thị 38 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye Ví dụ r = a(1 + cos ), a > Ví dụ r = a sin(3), a > GIẢI +) Tập xác định  2  Hàm r lẻ tuần hoàn với chu kỳ T     [0; ] +) Chiều biến thiên  r   3a cos(3 )     39 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye r a sin(3 ) tan V    tan(3 ) r  3a cos(3 ) Bảng biến thiên Đồ thị 40 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye 41 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye Gợi ý Ví dụ r = a(1 + cos ), a > 42 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye 43 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye Ví dụ r = a sin(2), a > Ví dụ (x2 + y2)2 = a2 (x2  y2), a > Ví dụ r = a(1 + 2cos), a > Ví dụ r = a sin(n), n  , a > Ví dụ r = a cos(n), n  , a > Nhận xét : Từ đồ thị r = a sin(n ) , s thị r = a cos(n) hay không ? GIẢI 44 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye  +) r  a cos( n )  a sin(  n )  +)   a sin n(  )  Nhận đồ thị 2n r  a cos(n ) cách quay đồ thị  r  a sin n( ) quay góc dương sau đ 2n xứng qua trục cực xong HAVE A GOOD UNDERSTANDING 45 ... Thảo thao.nguye Lược đồ khảo sát đồ thị a) Tập xác định b) Chiều biến thiên: tăng giảm, cực trị, lồi cận, bảng biến thiên c) Đồ thị 4x  Ví dụ y  x Ví dụ y   x Ví dụ y ex x GIẢI 10 PGS TS... Ví dụ ( 1; )  (1;   )  (1; ) 2 2 Lược đồ khảo sát đường cong r = f( ) a) Tìm tập xác định b) Chiều biến thiên: Xét tính chẵn (Đồ thị qua trục cực), lẻ (Đồ thị đối xứng qua    hoàn, chiều... r phương tiếp tuyến với đồ thị điểm c) Đồ thị 38 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye Ví dụ r = a(1 + cos ), a > Ví dụ r = a sin(3), a > GIẢI +) Tập xác định  2  Hàm r lẻ tuần hoàn với chu