Giải tích 1. Bài 11: Ứng dụng của tích phân xác định.124

PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo GIẢI TÍCH I BÀI 11 §2.4 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH II Ứng dụng hình học Tính diện tích hình phẳng a) Đường cong cho toạ độ Descarter +) y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b b S  a f1  x   f2  x  dx PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo +) x = g1(y), x = g2(y), y = c, y = d d S c g1  y   g2  y  dy Nhận xét Sơ đồ tổng tích phân : PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo n S  k 1 f1  k   f2  k  xk n  b  a f1  x   f2  x  dx Ví dụ Tính diện tích giới hạn đường a) y = x(x  1)(x  2) trục Ox x b) y = x y  c) x = y (y  1) trục Oy x x 2 d) y = x , y  , y = 2x e) x + y  8, y  x2 2  x  1 g) , y x f) y   y  1 x2 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo h) (K59) 2 (  ) (  ) x  y , x  y  2y x  y , x  y  2y i) (K60) y  x  1, y  cos x, y  2 y  x  x  3, y   x  x  GIẢI 1) y  x  1, y  cos x, y  ( ) 64 ( ) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo +) S   ( x  1)dx  1 ( x  1) +)  1   sinx cos xdx  1 2 2) y  x  x  3, y   x  x  GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo 2 +) x  x    x  x   x  x    x 1  x  2x   ( x  2x   S  3   x  3    ( 2 x  x  6)dx    x  x  x +)  3    PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo b) Đường cong cho dạng tham số x  x t  +)  ,  t  , khơng kín Khi y  y  t  S  y  t  x  t  dt x  x t  +)  ,  t  T, kín, giới hạn miền nằ y  y  t  Khi T T T         S   y t x t dt  x t y t dt   x  t  y  t   x    PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo Ví dụ Tính diện tích giới hạn đường a) x = a cost, y = b sint,  t  2 b) Cycloide: x = a(t  sint), y = a(1  cost),  t  3 c) Astroide: x = a cos t, y = b sin t d) Cardioide: x = a(2cost  cos2t), y = a(2sint e) x = 3t , y = 3t  t f) x = t2  1, y = t3  t 3at 3at g) Lá Descarter: x  ,y 1 t 1 t GIẢI c) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo x 23 y 23 3 x a t y b t +)  cos ,  sin  ( )  ( )  a b  cos2t  sin2 t   S4 0 +)  12ab y (t ) x ( t ) dt  0 0 b sin3 t  ( 3a sintc sin tcos tdt  12ab 0 sin t (1  3!! 5!!  12ab  (sin t  sin t )dt  12ab( 4!! 6!! 3.5 ab )  ab(  2.4 2.4.6 f) x = t  1, y = t  t GIẢI  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo +) x   t    t  1; y   t  t   t  1; t   S   1 [ x( t ) y ( t )  y( t ) x( t )] [(t  1)(3t  1)  (t  t )2t ]dt  1  2 1 1 (t  t t +)  ( t  2t  1)dt  (   t )  (  5  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo +) x3 s  y3   23  x  2cos3 t, y  2sin3 t,0  t x 2  t   y 2  t dt 4  +)  2 2 ( 6 sin t cos t )  (6 cos t sin t ) dt  36 sin2 t cos t (cos t  sin2 t )dt PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo 4 0 sin (2t )dt  12 0 cos(2  sin(2t )dt  12  6[1  ( 1)]  12 o) (K63) y  ln(cos x ),  x  GIẢI (ln(2  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo b +) s  +)  a 1 y 2  x dx  cos xdx   sin2 x   0 0  (  sinx )2 dx  cos x 0 1  sinx ln   sin2 x  sinx d (sin x ) 1 2   ln  ln  ln(2  )  l 1 2  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo Tính diện tích mặt trịn xoay a) y = f(x), a  x  b quay quanh trục Ox, f’(x) b 2  y  y 2 dx (y  0) a +) Tương tự, x = x(y), c  y  d quay quanh trụ x’(y) liên tục: d 2 x  x  t  b)  ,  y  y t    x  x dy (x  0) c t quay quanh trục Ox PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo 2  y  t  x 2  t   y 2  t  dt (y  Tương tự, quay quanh trục Oy 2  2  2      x t x t  y t dt (x  c) r = r( ) 0, sin  0, 2  r   sin  quay quanh t r2  Nhận xét Sơ đồ tổng tích phân :   r   d PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo n   k 1 y n   r k   y 2  k  sin k xk k r2   r  b n   2   r  k k a y  k 1 n  r   sin r d Ví dụ Tính diện tích trịn xoay a) y = tanx,  x  /4 quay quanh trục Ox b) x2 + y2 + z2 = R2 c) r = 2R sin quay quanh trục cực k PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo d) r = a(1 + cos ) quay quanh trục cực e) x = a(t  sint), y = a(1  cost),  t  2 q trục Ox ; Oy a f) (K58) y  g) x2  y2   x ea z2 x  e a ,  x  a quay quan a2  (y  e  e2 1 a b b h) x 2/3  y 2/3  a 2/3 quay quanh Oy; quay qua i) (K53) Tính diện tích mặt tròn xoay tạo đ (x + 3)2 + y2 = quay quanh trục Oy (12 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo j) (K59) y  cos x ,  x  , quay quanh trục Ox ( [  ln(1  y  sin x ,   x  0, quay quanh trục Ox ( [  ln(1  r  3(1  cos ),   GIẢI 3)  , quay quanh trục 288 ( PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo +) 2  r  sin r2    r   d  2  3(1  cos )sin 32 (1  cos )2  sin 3(1  cos )sin 18(1  cos )d   2    18   (1  cos )3 d (1  cos ) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo 52 cost ) (1   18 52  36 2 (4  0)   k) (K62) y   x , 1  x  1, quay quanh tr vòng (8 l) (K63) ( x  3)2  ( y  2)2  4, 1  x  1, quay Ox vòng (16 ) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo m) (K64) 1) 3 x  y  quay quanh trục Ox vòn 2) x  ( y  2)2  quay quanh trục Ox vòn GIẢI 2) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo 2 +) x  ( y  2)   x  cos t; y   sin t,0  2  y  t  x 2  t   y 2  t  dt 2  (2  sin t ) (  sin t )2  (cos t )2 dt 2  (2  sin t ) dt  (2t  cost ) 8 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo n) (K65) 1) Khi quay cung y  x 3,0  x  1, quanh trục O vòng ( (10 27 2) Khi quay cung y  x  1,1  x  5, quay qu (5 Ox vòng ( GIẢI 1) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo +) Stx  2 +)  36  27 y  ( y ) dx   0 x 1 0  9x dx x   (3 x )  x d (1  x )  [ (1  x 18 4 [103 -1] 2) Khi quay cung y  2x  1,1  x  5, quay qu Ox vòng GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo +) Stx  +)  1 1 y  ( y ) dx  2 xdx  1 2x  1  325 2 x (5  3 ... Xuân Thảo Tính thể tích a) Thể tích vật thể có tiết diện thẳng góc với O b  tích S(x) hàm liên tục, a  x  b V  S  x a Tương tự vật thể có tiết diện thẳng góc d  diện tích S(y), c  y ... cong toạ độ cực: = ( ), Khi có S  r   = d Nhận xét Sơ đồ tổng tích phân : n S r  k 1  k  n  k r    d Ví dụ Tính diện tích giới hạn đường a) r = R b) r = a cos2 (hoa hồng cánh) PGS... g2  y  dy Nhận xét Sơ đồ tổng tích phân : PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo n S  k 1 f1  k   f2  k  xk n  b  a f1  x   f2  x  dx Ví dụ Tính diện tích giới hạn đường a) y = x(x  1)(x