Hướng dẫn Giải 6 Bài toán Ứng dụng của định lí PtôLêmê trong tứ giác49349

HD Giải Bài tốn Ứng dụng định lí Ptơ-lê-mê tứ giác Đây định lí cịn sử dụng nhiều tốn hình Chương trình khố, hay gặp đề thi HSG thi vào THPT chuyên, NST giới thiệu để bạn tham khảo I Định lí Ptơ-lê-mê Định lí Ptơ-lê-mê phát biểu thành định lý thuận đảo: *Thuận:Nếu tứ giác nội tiếp đường trịn tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện *Đảo:Nếu tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng tích cặp cạnh đối diện tích hai đường chéo tứ giác nội tiếp đường trịn Chứng minh Gọi ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn Trên cung nhỏ BC, ta có góc nội tiếp BAC = BDC, cung AB, ADB = ACB Lấy điểm K AC cho ABK = CBD Từ ABK + CBK = ABC = CBD + ABD  CBK = ABD Do ∆ABK đồng dạng với ∆DBC, tương tự có ∆ABD ~ ∆KBC Suy ra: AK/AB = CD/BD, CK/BC = DA/BD; a) Từ AK·BD = AB·CD, CK·BD = BC·DA; b)Cộng vế đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA; c) Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; d) Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (đpCM) ThuVienDeThi.com II.- Bài toán Ứng dụng  Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có cạnh a (a>0).Trên AC lấy điểm Q di động, tia đối tia CB lấy điểm P di động cho AQ.BP = a2 Gọi M giao điểm BQ AP Chứng minh rằng: AM + MC = BM ( Đề thi vào THPT chuyên Lê Q Đơn, Quảng Trị, năm học 2005-2006) Chứng minh: Từ giả thiết AQ.BP = a2 = AB2 suy AQ/AB=AB/BP Xét ΔABQ ΔBPA có: AQ/AB=AB/BP(gt) BAQˆ= ABPˆ ΔABQ ~ ΔBPA(c.g.c)  ABQˆ= APBˆ (1) o Lại có ABQˆ+MBPˆ=60 (2) Từ: (1),(2)  BMPˆ=1800−MBPˆ−MPBˆ=120o AMBˆ =180o −BMPˆ= 180o − 120o= 60o = ACBˆ Suy tứ giác AMCB nội tiếp đường trịn Áp dụng định lí Ptơ-lê-mê cho tứ giác AMCB nội tiếp giả thiết AB = BC = CA ta có: AB.MC+BC.AM = BM.AC  AM+MC=BM (đpcm)  Bài tốn 2: Cho đường trịn (O) BC dây cung khác đường kính đường trịn Tìm điểm A thuộc cung lớn BC cho AB+AC lớn HD giải: Gọi D điểm cung nhỏ BC Nối ABDC, ta có tứ giác nội tiếp (0) Đặt DB = DC = a không đổi Theo định lí Ptơ-lê-mê ta có: AD.BC = AB.DC + AC.BD =a(AB+AC)  AB+AC = BC.a.AD Do BC a không đổi nên AB+AC lớn AD lớn nhất, A đối xứng D qua tâm O đường tròn ThuVienDeThi.com  Bài tốn 3: Cho tam giác ABC có I tâm đường tròn nội tiếp, O tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm G Giả sử OIAˆ=90o Chứng minh IG song song với BC Giải Kéo dài AI cắt (O) N Khi N điểm cung BC (khơng chứa A) Ta có: BN=NC(1) Lại có : IBNˆ=BINˆBN=IN(2) Do OIAE suy IA=IN=1/2 sđ cung BC(3) Từ (1),(2),(3)BN=NC=IN=IA(4) Áp dụng định lí Ptơ-lê-mê cho tứ giác nội tiếp ABNC ta có: BN.AC+AB.NC=BC.AN Từ (4)BN(AC+AB)=2BN.BC AC+AB=2BC(5) Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác (5) ta có: AB/BD=IA/ID=AC/CD=(AB+AC)/BD+CD=(AB+AC)/BC=2BC/BC=2 Vậy IA/ID=2(6) Mặt khác G trọng tâm tam giác suy AG/GM=2 (7) Từ (6),(7) IA/ID=2=AG/GM Suy IG đường trung bình tam giác ADM hay IG song song với BC Đây toán hay THCS với cách làm "ngắn gọn" ta phần hình dung vẻ đẹp định lí  Bài toán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) AC=2AB Các đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) A,C cắt P Chứng minh BP qua điểm cung BAC Chứng minh: Gọi giao điểm BP với đường tròn N Nối AN,NC Xét ∆NPC ∆CPB có: PCNˆ=PBCˆ, Pˆ chung ΔNPC~ΔCPB(g.g) PC/PB=NC/BC(1) ThuVienDeThi.com Tương tự ta có ΔPAN~ΔPBA(g.g) AP/BP=AN/AB(2) Mặt khác PA=PC ( tiếp tuyến đường tròn cắt nhau) Nên từ (1),(2)PAPB=NCBC=ANAB  NC.AB=BC.AN(3) Áp dụng định lí Ptolêmê cho tứ giác nội tiếp ABCN ta có:AN.BC+AB.NC=AC.BN Từ (3) 2AB.NC=AC.BN=2AB.BN  NC=BN (điều phải chứng minh)  Bài toán 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), CM trung tuyến Các tiếp tuyến A B (O) cắt D Chứng minh rằng: ACDˆ=BCMˆ Chứng minh: Gọi N giao điểm CD với (O) Xét tam giác DNB DBC có: DBNˆ=DCBˆ, Dˆ chung ΔDBN ~ ΔDCB(g.g)  NB/CB = BD/CD Tương tự ta có : (1) ΔDNA ~ ΔDAC(g.g)  NA/AC = DA/CD (2) Mà BD=DA nên từ (1),(2)  NB/CB = NA/AC NB.AC = AN.BC (3) Áp dụng định lí Ptơ-lê-mê cho tứ giác nội tiếp ANBC ta có: AN.BC + BN.AC = AB.NC Từ (3) giả thiết AB = 2BM 2AN.BC = 2BM.NC  AN/NC=BM/BC Xét ΔBMC ΔNAC có: MBCˆ=ANCˆ, AN/NC=BM/BC ΔBMC ~ ΔNAC(c.g.c)  BCMˆ=NACˆ (ĐP chứng minh) ThuVienDeThi.com  Bài toán 6: Tam giác ABC vng có BC>CA>AB Gọi D điểm cạnh BC,E điểm cạnh AB kéo dài phía điểm A cho BD=BE=CA Gọi P điểm cạnh AC cho E,B,D,P nằm đường tròn Q giao điểm thứ hai BP với đường tròn ngoại tiếp δABC Chứng minh rằng: AQ+CQ=BP (Đề thi chọn đội tuyển Hồng Kông tham dự IMO 2000, HongKong TST 2000) Chứng minh: Xét tứ giác nội tiếp ABCQ BEPD ta có: CAQˆ=CBQˆ=DEPˆ (cùng chắn cung tròn) Mặt khác AQCˆ=108o−ABCˆ=EPDˆ Xét ΔAQCvà ΔEPD có: AQCˆ=EPDˆ, CAQˆ=DEPˆΔAQC ~ ΔEPD AQEP=CAED AQ.ED=EP.CA=EP.BD(1) (do AC=BD) AC/ED=QC/PD ED.QC=AC.PD=BE.PD(2)(do AC=BE) Áp dụng định lí Ptơ-lê-mê cho tứ giác nội tiếp BEPD ta có: EP.BD+BE.PD=ED.BP Từ (1),(2),(3) suy ra: AQ.ED+QC.ED=ED.BPAQ+QC=BP(đpcm) PHH sưu tâm đề, chỉnh lí giới thiệu - 2/11/2015 ThuVienDeThi.com ... − 120o= 60 o = ACBˆ Suy tứ giác AMCB nội tiếp đường tròn Áp dụng định lí Ptơ-lê-mê cho tứ giác AMCB nội tiếp giả thiết AB = BC = CA ta có: AB.MC+BC.AM = BM.AC  AM+MC=BM (đpcm)  Bài toán 2:...II.- Bài toán Ứng dụng  Bài toán 1: Cho tam giác ABC có cạnh a (a>0).Trên AC lấy điểm Q di động, tia đối tia CB lấy điểm P di động cho AQ.BP = a2 Gọi M giao điểm BQ AP Chứng minh rằng:... (1),(2)PAPB=NCBC=ANAB  NC.AB=BC.AN(3) Áp dụng định lí Ptolêmê cho tứ giác nội tiếp ABCN ta có:AN.BC+AB.NC=AC.BN Từ (3) 2AB.NC=AC.BN=2AB.BN  NC=BN (điều phải chứng minh)  Bài toán 5: Cho tam giác ABC nội