Hướng dẫn giải 6 Bài toán quỹ tích 1 HD Giải Bài toán quỹ tích Bài toán quỹ tích thường được phát biểu dưới dạng Cho một cấu hình có một số yếu tố cố định và một (hoặc vài) yếu tố thay đổi theo một yêu cầu nào đó (điểm di chuyển trên một đường tròn, đường thẳng quay quanh một điểm ) Yếu tố thay đổi này sẽ dẫn đến sự di động của một số yếu tố điểm khác Yêu cầu tìm quỹ tích các yếu tố điểm liên quan 1 Các bước giải bài toán quỹ tích Phần thuận Phân tích các yếu tố cố định và thay đổi để chỉ ra tậ.
HD Giải Bài tốn quỹ tích Bài tốn quỹ tích thường phát biểu dạng: Cho cấu hình có số yếu tố cố định (hoặc vài) yếu tố thay đổi theo yêu cầu (điểm di chuyển đường trịn, đường thẳng quay quanh điểm …) Yếu tố thay đổi dẫn đến di động số yếu tố điểm khác u cầu tìm quỹ tích yếu tố điểm liên quan 1/ Các bước giải toán quỹ tích: Phần thuận: Phân tích yếu tố cố định thay đổi để tập hợp mà điểm cần tìm quỹ tích phải thuộc vào (thường đường tròn, đường thẳng) Ta sử dụng quỹ tích (như cung chứa góc, trung trực, đường tròn Appolonius …) để xác định chứng minh quỹ tích Để dự đốn quỹ tích, phải vẽ số vị trí (trong có vị trí đặc biệt) cấu hình Phần đảo: Sau làm phần thuận, tức xác định tập hợp M điểm mà quỹ tích thuộc vào, ta cần xem xét xem với điểm P thuộc M tồn cấu hình có vị trí điểm cần tìm quỹ tích trùng với P Bước loại bỏ điểm khơng tương ứng với cấu hình Giới hạn: Sau thực phần đảo, ta thấy phần M thuộc quỹ tích Bước mơ tả rõ phần Ví dụ điểm P thuộc đường trịn (C) quỹ tích cung (C) Kết luận: Dựa phần kết luận quỹ tích tập hợp điểm Bài tốn mẫu Cho đường trịn (C) tâm O P điểm cố định nằm (C) không trùng với O Một đường thẳng (d) thay đổi qua P cắt (C) A B Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn AB (d) quay quanh P Giải Phần thuận: Nối OM Vì tam giác OAB cân O nên OM vng góc với AB Suy góc OMP vng Như M ln nhìn đoạn OP cố định góc vng Vậy M ln thuộc đường trịn đường kính OP DeThiMau.vn Phần đảo: Lấy điểm M’ thuộc đường trịn đường kính OP (M khác O) Nối OM’ Qua M’ kẻ đường thẳng (d) vng góc với OM’ cắt (C) A’ B’ Do góc OM’P = 900 nên (d) qua P Vì tam giác OA’B’ cân O OM’ vng góc với A’B’ nên M’ trung điểm AB Vậy M’ điểm thuộc quỹ tích Giới hạn: Theo chứng minh điểm M đường trịn đường kính OP khác O thuộc quỹ tích ngược lại, điểm thuộc quỹ tích thuộc đường trịn Cuối cùng, vị trí M trùng O tương ứng với trường hợp (d) qua O Như vậy, quỹ tích đường trịn đường kính OP Kết luận: Quỹ tích đường trịn đường kính OP Ghi chú: Nếu P điểm nằm ngồi đường trịn quỹ tích phần đường trịn đường kính OP nằm bên (C) Như phần đảo phần giới hạn có ý nghĩa nói chung khơng thể bỏ qua Một số quỹ tích Quỹ tích điểm cách hai điểm A B đường trung trực đoạn thẳng đó, tức đường thẳng qua trung điểm M AB vng góc với AB Quỹ tích điểm A cách điểm I cố định đoạn AI = R khơng đổi đường trịn tâm I bán kính R Quỹ tích điểm cách hai đường thẳng cắt a b hai đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Quỹ tích điểm cách đường thẳng a cho trước đoạn d không đổi hai đường thẳng song song với a cách a khoảng cách d DeThiMau.vn Quỹ tích điểm nhìn đoạn AB cố định góc α cố định hai cung chứa góc α nhận AB làm dây cung Đặc biệt, α = 900 quỹ tích đường trịn đường kính AB Cho hai điểm A, B số thực k Quỹ tích điểm M cho MA2 – MB2 = k đường thẳng vng góc với AB H, H xác định hệ thức: ( HA HB) BA k Cho hai điểm A, B với AB = 2a số thực dương k Quỹ tích điểm M cho MA2 + MB2 = 2k2 tập rỗng k2 < a2 đường trịn tâm I, bán kính R k a Cho hai điểm A, B số thực dương k ≠ Quỹ tích điểm M cho MA k MB đường tròn đường kính EF, E F điểm thuộc đường thẳng AB cho EA k EB FA k FB (Đường tròn Appolonius) Một số tốn có lời giải Bài tốn Cho đường tròn (C) với dây cung BC cố định A điểm di động đường tròn (A khác B C) a) Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC; b) Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác ABC; c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn nội tiếp I tam giác ABC; d) Tìm quỹ tích tâm đường trịn bàng tiếp góc A tam giác ABC Lời giải tóm tắt a) Gọi M trung điểm BC Trên OM lấy điểm O’ cho OO’:O’M = 2:1 Theo tính chất trọng tâm AG:GM = 2:1 Từ suy O’G//OA Áp dụng định lý Talet ta có O’G:OA = 1:3 Từ suy O’G = R/3 khơng đổi b) Hãy tính góc BHC c) Hãy tính góc BIC d) Hãy tính góc BJC DeThiMau.vn Bài tốn Cho hình vng ABCD M điểm di động cạnh CD AM BM kéo dài cắt BC AD kéo dài P Q DP cắt CQ N Tìm quỹ tích điểm N M di động cạnh BC Bài toán Cho tam giác ABC Trên AB kéo dài phía B lấy điểm M AC kéo dài phía C lấy điểm N cho BM = CN Tìm quỹ tích trung điểm I MN Bài toán Cho hai điểm A, B cố định C điểm thay đổi đoạn AB, C khác A B Dựng hình vng ACDE BCFG nằm phía đường thẳng AB Gọi I, J tâm hình vng ACDE BCFG Tìm quỹ tích trung điểm K IJ Bài tốn Tìm quỹ tích điểm cách điểm cho đường thẳng cho Bài tốn tưởng đơn giản khơng thể giải phương pháp hình học túy Ta dựng số vị trí để thấy quỹ tích khơng phải đường thẳng Một đặc điểm đáng ý đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho tìm điểm thỏa mãn tính chất Bài Giải dễ dàng phương pháp tọa độ Gọi điểm cho P đường thẳng cho P - Xét hệ trục tọa độ có Ox đường thẳng d Oy đường thẳng qua điểm P vng góc với d Giả sử P có tung độ p > - Xét điểm M(x, y) nằm quỹ tích Dễ thấy y > Khi khoảng cách từ M đến d y từ M đến P x ( y p) Từ ta có y x ( y p) y x y py p y x2 p 2p Đó phương trình parabol Bài tập ứng dụng Cho hai điểm A, B cố định C điểm thay đổi đoạn AB, C khác A B Dựng hình vng ACDE BCFG nằm phía đường thẳng AB Tìm quỹ tích trung điểm I EG DeThiMau.vn Cho góc nhọn Oxy điểm M nằm góc Từ M ta kẻ đường vng góc MH xuống cạnh Ox MK xuống cạnh Oy Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MH + MK = a, a độ dài cho trước Cho tam giác ABC điểm P nằm tam giác Hạ PA1, PB1, PC1 vng góc với BC, CA, AB tương ứng Tìm tập hợp điểm P cho A1B1C1 tam giác cân Cho tam giác ABC P điểm nằm tam giác Gọi x, y, z khoảng cách từ P đến cạnh BC, CA, AB tương ứng a) Biết x = 1, y = 2, z = Hãy tính diện tích tam giác ABC b) Tìm quỹ tích điểm P tam giác cho x + y = z Từ suy tập hợp điểm P tam giác cho x, y, z lập thành cạnh tam giác Cho hai đường tròn (C1) (C2) cắt A B Một đường thẳng (d) thay đổi qua A cắt (C1), (C2) điểm thứ hai C D tương ứng Tìm quỹ tích trung điểm M CD (d) quay quanh A Cho đường tròn (C) tâm O bán kính R Đường trịn (C1) có bán kính R/2 tiếp xúc với (C) A Bây ta cố định vị trí điểm A đường trịn (C1) cho (C1) lăn ln tiếp xúc với (C) Hãy tìm quỹ tích điểm A 7* Cho hai điểm A, B cố định, AB = 2a Tìm quỹ tích điểm M cho MA + MB = 2c không đổi, với c > a PHH sưu tammf chỉnh lí 10 -2013 Nguồn Trần Nam Dũng Trường Đại học KHTN Tp HCM DeThiMau.vn ... lời giải Bài tốn Cho đường tròn (C) với dây cung BC cố định A điểm di động đường tròn (A khác B C) a) Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC; b) Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác ABC; c) Tìm quỹ. .. tích trung điểm K IJ Bài tốn Tìm quỹ tích điểm cách điểm cho đường thẳng cho Bài tốn tưởng đơn giản khơng thể giải phương pháp hình học túy Ta dựng số vị trí để thấy quỹ tích khơng phải đường... nói chung khơng thể bỏ qua Một số quỹ tích Quỹ tích điểm cách hai điểm A B đường trung trực đoạn thẳng đó, tức đường thẳng qua trung điểm M AB vng góc với AB Quỹ tích điểm A cách điểm I cố định