Giải tích 1: Bài 7. Tích phân bất định và tích phân xác định128

PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye GIẢI TÍCH I BÀI TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (TT) VÀ TÍCH PHÂ ĐỊNH (IV.4 – IV.6) IV.4 Nguyên hàm lớp hàm hữu tỷ đố sinx cosx  R  sin x, cos x  dx , R(sinx, cosx) hà biến 2t x c , osx Đặt t  tan ,  < x <   sinx  1 t PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye t  2t   x  2arctan t  I  R  dt , 2 1 t  1 t  1 t  Chú ý +) R(sinx, cosx) chẵn với sinx co R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx)) đặt t = cotx +) R(sinx, cosx) lẻ với sinx (nghĩa cosx) =- R(sinx, cosx) ) đặt t = cosx +) R(sinx, cosx) lẻ với cosx (nghĩa cosx) =- R(sinx, cosx) ) đặt t = sinx Ví dụ dx a) sin x cos xdx b) sin2 x cos   PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo c) thao.nguye dx 2sin x  cos x  d)  e)  sin x sin2 x sin3 x dx dx g)   sin x  cos x 2  cos3 x  sin dx h)   sin2 x f) dx  sin2 x  sin x cos x  cos2 x sin x  2cos x dx k)  2sin x  3cos x i)  cos x d cos4 x  s sin 2x PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye tan x cos2 x (  ln  cos sin2 x ( ln  sin2 x   cos x cot x  dx  sin2 x l (K54) dx GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye +) Hàm chẵn với sinx cosx, nên đặt t  cot x, x  (0; )  x  arc cot t  dx   I cot x   sin2 x dx    1 t 1 t dt   1  t2 1 t d (t  2) t ln( +)      2)  C 2 t 2 1 sin2 x   ln(  1)  C  ln  C sin x  sin2 x  d PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye m (K60)  n (K61)  dx 3 sin x  4cos x  ( x  tan dx ( 5cos x  12 sin x  13 2(2 tan x  GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye +) x t  tan , x  ( ; )  x  2arctan t  sinx  2 1 t2  t I  cosx  dt 2 1 t 2t 1 t  12  13 2 1 t 1 t 2  dt  2 5(1  t )  24 t  13(1  t ) t  24 t  1 d (2t  3) dt   +) 2 (2t  3) 2(2t  4t  12t       PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo  thao.nguye x 2(2 tan  3)  C ( ln cos(2 x )  o (K64) tan(2 x )dx GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye x d c x sin(2 ) ( os(2 )) dx   +) I  cos(2 x ) cos(2 x ) +)   ln c os(2x )  C   IV.5 Nguyên hàm lớp hàm số vô tỉ  ax  n R x , Ax  Bx  C dx , R  x , cx  d       Tích phân  R x , Ax  Bx  C  dx 1)  R  x, a2  x  dx , đặt x = asint x đưa tích phân hàm lượng giác (4b) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye CM +) x  asint,    t     I  R x, a2  x  +)  R asint, a (1  sin2 t a cos tdt   R1  sint,cos t  dt 2)    R x, a2  x dx , đặt x = atan t x  (4b) CM 10 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye x 1 dx i) 1 x k)  l (K51)  x 4 x  2x   x 3dx 1 2x  dx 2 ( x  x   3ln x   x  x x 3 dx x  4x   m (K59)  ( x  x   ln x   x  x x2 dx x  2x 17 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo n (K60) o (K61)   thao.nguye x (   2x  3arcsin( x  1)  C 2x  dx x2 1 (2 x   ln( x  x  1)  C ) x 1 dx x  2x  GIẢI 18 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo +) I   thao.nguye 2x  x2  x  dx   d ( x  1) ( x  1)2  2 +)  x  2x   2ln x   ( x  1)   C  x  2x   2ln x   x  x   C p(K64)      2x    x 2  dx     19 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo p (K65) 1) thao.nguye  x x x ( (2  3)  ln(   1)  x dx  2x  x x (  x  x  ar csin GIẢI 20 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye d ( x  1) ( 2x  2) dx   x  x2  ( x  1)2 x 1 +)    2x  x  arcsin C +) I   2)   dx  (2  x ) (2 arctan  x 1 x GIẢI 21 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye dt +) t   x  I   t 1 +)   2arctan t  C  2arctan  x  C   3) arctan xdx (( x  1)arctan x  GIẢI 22 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye 2 t x x t I td t +)      arctan ( )   2  arctan td (t  1)  (t  1)arctan t   ( t 1 2 +)  ( t  1)arctan t  dt ( t  1)arctan t  t    ( x  1)arctan x  x  C IV.6 Phép Euler  A > 0, đặt Ax  Bx  C  t  Ax  C > 0, đặt Ax  Bx  C  xt  C 23 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye  Nếu Ax + Bx + C = A(x  )(x  Ax  Bx  C = t(x  ) t(x  ) đư phân hàm hữu tỉ CM a) A>0 : 24 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye Ax  Bx  C  t  Ax  2      Ax Bx C t Axt Ax  x  t2    B  dx  R1(t )dt  I  R x , Ax  Bx  C dx   R( t2 C B At ;t  A t2 C At B  )R1(t )dt  R b) C>0 : Tương tự c) Ax2 + Bx + C = A(x  )(x  ), đặt = t(x  ), ta có 25 Ax PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye A( x  )( x  )  t ( x  )  t ( x  )  A(  t ( x  )  A( x  )  x   dx  A  t2 A t 2 t ( A  t )  2t ( A  t )   ( A  t )2  R1(t )  R2 (t )dt    I  R x , Ax  Bx  C dx    R (R1(t ), t (R1(t )  ))R2 (t )dt  R3 (t )dt 26 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye Ví dụ Dùng phép Euler để tính dx a) x c)   x  a2  GIẢI a) x  x 1 dx x x a dx x2  x  27 dx b)  1 d)   x  1 1 2x x2  x PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye x  x   t  x   x  x   (t  x ) +) 2 t 1 2t  2t   dx  x   t  2tx  x  2t  (2t  1)2 2 2t  2t    I dt t (2t  1) x  x2  x  2t  t  2 3     +) 2 t 2t  (2t  1) t (2t  1) 3 ]dt  I [  t 2t  (2t  1)  dx   28 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye d t d t (2 1) (2   1)  ln t   2t  (2t  1)2 3  ln t  ln 2t   C 2 2t  2  ln( x  x  x  1)  ln 2( x  x  x  1)  C 2( x  x  x  1)    29 PGS TS Nguyễ n Xn Thảo thao.nguye Chú ý Có hàm khơng có nguyên hàm sơ cấ x cos x sin x 2 e x , , , e , cos x , sin x , x x x 1 (Chứng minh , 1 x , ln x 1 x (Pháp) vào kỉ 19) Một số công thức hay sử dụng 30 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo  dx x  a2 thao.nguye 2 x x a  ln   C  x  arcsin  C a a2  x 2 x a x 2 2 a  x dx  a x  arcsin  C 2 a  x a x  a dx  x  a2  ln x  x  a 2  dx 31 ... n R x , Ax  Bx  C dx , R  x , cx  d       Tích phân  R x , Ax  Bx  C  dx 1)  R  x, a2  x  dx , đặt x = asint x đưa tích phân hàm lượng giác (4b) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye... ar csin GIẢI 20 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye d ( x  1) ( 2x  2) dx   x  x2  ( x  1)2 x 1 +)    2x  x  arcsin C +) I   2)   dx  (2  x ) (2 arctan  x 1 x GIẢI 21... PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo  thao.nguye x 2(2 tan  3)  C ( ln cos(2 x )  o (K64) tan(2 x )dx GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguye x d c x sin(2 ) ( os(2 )) dx   +) I  cos(2 x ) cos(2