Giải toán 11 bài 3 đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài 3 Đạo hàm của hàm số lượng giác A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 163 SGK Toán lớp 11 Đại số Tính sin0,01 0,01 , sin0,001 0,001 bằng máy tính bỏ túi Lời giải sin0,01 0,999983 0,0[.]

Bài 3: Đạo hàm hàm số lượng giác A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 163 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tính sin 0,01 sin 0,001 , 0,01 0,001 máy tính bỏ túi Lời giải: sin 0,01  0,999983 0,01 sin 0,001  0,99999983 0,001 Hoạt động trang 165 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm hàm số   y  sin   x  2  Lời giải:     y   sin   x     2 Đặt u    x u′ = −1   y  u cos u  1cos   x    sin x 2    (do cos   x   sin x ) 2  Hoạt động trang 166 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm hàm số f (x)   sin x    x   k,k   cos x   Lời giải: sin x   f (x)     cos x  sin x  cos x  sin x. cos x    cos x  cos x  sin x cos x  cos x Hoạt động trang 167 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm hàm số   y  tan   x  với x  k,k  2  Lời giải: Đặt u  y    x u′ = −1 u 1   cos u cos u 1 1   sin x 2  cos   x  2    (do cos   x   sin x ) 2  B Bài tập Bài tập trang 168 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y  x 1 ; 5x  b) y  2x  ;  3x x  2x  c) y  ;  4x x  7x  d) y  x  3x Lời giải: a) y  x 1 5x   y   (x  1)(5x  2)  (x  1)(5x  2) (5x  2)  5(x  1) 5x   5x    (5x  2) (5x  2) (5x  2) (5x  2) Vậy y  b) y  2x   3x  y   (2x  3)(7  3x)  (2x  3)(7  3x) 2(7  3x)  (2x  3)(3)  (7  3x) (7  3x) 2(7  3x)  3(2x  3) 14  6x  6x  23   2 (7  3x) (7  3x) (7  3x) Vậy y  c) y  23 (7  3x) x  2x  3  4x x y   (5x  2) 2  2x  3 (3  4x)   x  2x  3 (3  4x) (3  4x) (2x  2)(3  4x)   x  2x  3 (4) (3  4x)  6x  8x   8x  4x  8x  12 (3  4x) 4x  6x  18  (3  4x) 4x  6x  18 Vậy y  (3  4x) x  7x  d) y  x  3x x  y      7x  3  x  3x    x  7x  3 x  3x  x  3x  (2x  7)  x  3x    x  7x  3 (2x  3) x  3x  2x  6x  7x  21x  2x  14x  6x  3x  21x  x  3x  10x  6x  x  3x  Vậy y  10x  6x   x  3x  Bài tập trang 168 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải bất phương trình sau: x2  x  a) y′ < với y  ; x 1 b) y  với y  x2  ; x 1 c) y′ > với y  2x  x x4 Lời giải: x2  x  a) y′ < với y  x 1 x Ta có y    x   (x  1)   x  x   (x  1) (x  1) (2x  1)(x  1)   x  x  .1 (x  1) 2x  x  2x   x  x   (x  1) x  2x   (x  1) x  2x  0 Do y   (x  1) x    x  2x   x   1  x   x  (1;1)  (1;3) Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = (1;1)  (1;3) b) y  với y  x2  x 1 Ta có: x y     3 (x  1)   x  3 (x  1) (x  1) 2x(x  1)   x  3.1 (x  1) 2x  2x  x  (x  1) x  2x   (x  1) Do y   x  2x  0 (x  1) x     x  2x    x  1 x     x      x  3  x  3   x   ; 3  1;   Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S =  ; 3  1;   c) y′ > với y  Ta có: 2x  x x4 y     (2x  1)  x  x    (2x  1)  x  x   x  x  4 2  x  x    (2x  1)(2x  1) x  x  4 2 2x  2x   4x  2x  2x  x  x  4 2x  2x  x  x  4 Do y   2x  2x   x  x  4 0  15   2x  2x   (Vì x  x    x     , x  ) 2    19  19 x 2   19  19   x  ;  2     19  19  ; Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S =   2   Bài tập trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = 5sinx – 3cosx ; b) y  sin x  cos x ; sin x  cos x c) y = xcotx ; d) y  sin x x ;  x sin x e) y   tan x ; f) y  sin  x Lời giải: a) y = 5sinx – 3cosx  y′ = 5(sinx)′ – 3(cosx)′ = 5cosx – 3(–sinx) = 5cosx + 3sinx Vậy y′ = 5cosx + 3sinx b) y  sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x   sin x  cos x    sin x  cos x  sin x  cos x    y   sin x  cos x    cos x  sin x  sin x  cos x    sin x  cos x  cos x  sin x   sin x  cos x   2sin x cos x    2sin x cos x  sin x  cos x   2  sin x  cos x  Vậy y  2  sin x  cos x  c) y = xcotx  x   y′ = (x)′cotx + x(cotx)′  cot x  x     cot x  sin x  sin x  Vậy y  cot x  d) y  x sin x sin x x  x sin x sin x   x    y       x   sin x   (sin x).x  sin x.(x) (x).sin x  x.(sin x)  x2 sin x  x cos x  sin x sin x  x cos x  x2 sin x    (x cos x  sin x)     x sin x    Vậy y  (x cos x  sin x)     x sin x  e) y   tan x 2(tan x) (tan x) (1  tan x)   y    cos x  tan x  tan x  tan x  tan x  cos x  tan x Vậy y  cos x  tan x f) y  sin  x  y  cos  x    x2   x    cos  x 2  x2  cos  x  x 1 x Vậy y  2x  x2 cos  x x 1 x cos  x Bài tập trang 169 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = (9 – 2x)(2x3 – 9x2 + 1);   b) y   x    7x  3 ; x   c) y   x   x  ; d) y = tan2x – cotx2; e) y  cos Lời giải: x 1 x a) y = (9 – 2x)(2x3 – 9x2 + 1)  y′ = (9 – 2x)′(2x3 – 9x2 + 1) + (9 – 2x)(2x3 – 9x2 + 1)′ = –2(2x3 – 9x2 + 1) + (9 – 2x)(6x2 – 18x) = –4x3 + 18x2 – + 54x2 – 162x – 12x3 + 36x2 = –16x3 + 108x2 – 162x – Vậy y′ = –16x3 + 108x2 – 162x –   b) y   x    7x  3 x    1     y   x   (7x  3)   x   (7x  3) x  x        x   1     6  (7x  3)  x     x  x   x2       2x      (7x  3)   x   x    x x  2 1      (7x  3)   x   x    x x   21 x   14    42 x  x x x x 6   63 x  x3 x2 x Vậy y  6   63 x  x x x c) y   x   x   y  (x  2) x   (x  2)  x x   (x  2)  x   (x  2)   1 x2   x   (x  2)  2x x2  x x2  x   x  2x x2  2x  2x  x2  Vậy y  2x  2x  x2  d) y = tan2x – cotx2  y′ = (tan2x)′ – (cotx2)′ 1  2tanx. tanx  –  x  2 sin x  2tanx  2x  cos x sin x 2sin x 2x  2 cos x sin x  x2 1  Vậy y  2sin x 2x  2 cos x sin x e) y  cos x 1 x x   x    y       sin  x 1  x 1   x  (x)(1  x)  x.(1  x)   sin   (1  x) 1 x    sin  x 1 x  x   x  (1  x)  x sin (1  x) 1 x Vậy y   x sin (1  x) 1 x Bài tập trang 169 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tính (x)  4x  sin x Lời giải: f(x) = x2  f′(x) = (x2)′ = 2x  f′(1) = 2.1 = (x)  4x  sin x f (1) , biết f(x) = x2   (1) x  x  x x   x     (x)   4x  sin   (4x)   sin      cos   cos 2  2        .1  (1)   cos    2  f (1)   (1) Vậy f (1)  (1) Bài tập trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh hàm số sau có đạo hàm khơng phụ thuộc x: a) y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x;      2   2   x   cos   x   2sin x b) y  cos   x   cos   x   cos  3  3      Lời giải: a) y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x Ta có: y′ = (sin6x)′ + (cos6x)′ + (3sin2xcos2x)′ = 6sin5x(sinx)′ + 6cos5x(cosx)′ + 3.[(sin2x)′cos2x + sin2x(cos2x)′] = 6sin5xcosx + 6cos5x(−sinx) +3[2sinxcosxcos2x + sin2x.2cosx(−sinx)] = 6sin5xcosx − 6cos5xsinx + 6sinxcos3x − 6cosxsin3x = (6sin5xcosx − 6cosxsin3x) + 6sinxcos3x − 6cos5xsinx = 6sin3xcosx(sin2x − 1) + 6sinxcos3x(1 − cos2x) = 6sin3xcosx.(−cos2x) + 6sinxcos3xsin2x = −6sin3xcos3x + 6sin3xcos3x =0  y′ = 0, x Vậy y′ = với x, tức y′ không phụ thuộc vào x Cách khác: sin6x + cos6x = (sin2x)3 + (cos2x)3 = (sin2x + cos2x)3 − 3sin2xcos2x(sin2x + cos2x) = 13 − 3sin2xcos2x.1 = − 3sin2xcos2x  y = sin6x + cos6x + 3sin2xcos2x =  y′ = (1)′ = Vậy y′ = với x, tức y′ không phụ thuộc vào x      2   2   x   cos   x   2sin x b) y  cos   x   cos   x   cos  3  3       1  2  1  2  1  4   cos   2x    cos   2x    cos   2x   2   2   2   1  cos 2x  4   cos   2x    2    2   2   4   4    cos   2x   cos   2x   cos   2x   cos   2x   cos 2x            2   2   2x       sin   2x   Do y   (2)    sin           4   4    (2)    sin   2x        sin   2x    2sin 2x        2   2   4   4   sin   2x   sin   2x   sin   2x   sin   2x   2sin 2x          2cos 2 4  sin(2x)  2cos  sin(2x)  2sin 2x 3 = sin2x + sin2x – 2sin2x = (Vì cos 2  cos   ) Vậy y′ = với x, y′ khơng thuộc vào x Cách khác:   2   4  y   cos   2x   cos   2x   2       2   4   cos   2x   cos   2x    cos 2x 2          2cos(  2x)cos   2cos(  2x)cos  cos 2x 3 1   cos 2x   cos 2x   cos 2x 2   cos2x  cos2x   y  1, x  y  0, x Vậy y′ = với x, y′ khơng thuộc vào x Bài tập trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình f′(x) = 0, biết rằng: a) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x;  2  x  b) y   sin    x   2cos  ;   Lời giải: a) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x f′(x) = –3sinx + 4cosx + Do đó: f′(x) =  –3sinx + 4cosx + =  3sinx – 4cosx =  sin x  cos x  (1) 5     Đặt cos   ,    0;    sin   , ta có:    (1)  sin x.cos   cos x.sin    sin(x  )   x   k2  x    k2,k   2  x  b) y   sin    x   2cos       x   f (x)  (1)  [sin(  x)]  cos         x   x     (  x) cos(  x)        sin      2      x     cos(  x)      sin         x x  f (x)   cos(  x)  sin      cos x  sin 2  f (x)   cos x  sin  sin x x   sin   cos x 2 x    sin  x   2    x  x   x     k2  k2   x    k4 2  k4 2    k4  x    x     x    x    k2  3x  3  k2    2 Cách khác:  2  x  f (x)   sin    x   2cos     x    sin x  2cos     2    sin x  2cos x x   f (x)  1  sin x  2cos  2  x    (1)  (sin x)   cos  2  1 x   cos x     sin  2 2  cos x  sin x f (x)   cos x  sin  cos x   sin x 0 x  x   cos    2 2    x   cos x  cos         2    x  cos x  cos    2 2   x  3x   x    k4     k2  x    k2     k4  x   x x       k2  x     k2 3   2  2 Bài tập trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải bất phương trình f′(x) > g′(x) biết rằng: a) f (x)  x  x  , g(x)  3x  x  b) f (x)  2x  x  , g(x)  x  x2  Lời giải: a) f (x)  x  x  , g(x)  3x  x  f′(x) = 3x2 + g′(x) = 6x + f′(x) > g′(x)  3x2 + > 6x +  3x2 – 6x >  3x(x – 2) > x   x   x   ;0    2;   b) f (x)  2x  x  , g(x)  x  f′(x) = 6x2 – 2x g′(x) = 3x2 + x f′(x) > g′(x)  6x2 – 2x > 3x2 + x  3x2 – 3x >  3x(x – 1) > x   x   x   ;0   1;   x2  ...   3x  y   (2x  3) (7  3x)  (2x  3) (7  3x) 2(7  3x)  (2x  3) (? ?3)  (7  3x) (7  3x) 2(7  3x)  3( 2x  3) 14  6x  6x  23   2 (7  3x) (7  3x) (7  3x) Vậy y  c) y  23 ... (3  4x) 4x  6x  18 Vậy y  (3  4x) x  7x  d) y  x  3x x  y      7x  3? ??  x  3x    x  7x  3? ?? x  3x  x  3x  (2x  7)  x  3x    x  7x  3? ?? (2x  3) x  3x... 23 (7  3x) x  2x  3  4x x y   (5x  2) 2  2x  3? ?? (3  4x)   x  2x  3? ?? (3  4x) (3  4x) (2x  2) (3  4x)   x  2x  3? ?? (4) (3  4x)  6x  8x   8x  4x  8x  12 (3  4x)