Tuyển tập các dạng bài tập hàm số lượng giác phương trình lượng giác toán 11

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản 1 Lý thuyết a) Phương trình sin x = m Trường hợp 1 |m| > 1 Phương trình vô nghiệm Trường hợp 2 m 1 Phương trình có nghiệm Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin c[.]

Cách giải phương trình lượng giác Lý thuyết cos x  1  x    k2  k   c) Phương trình: tan x = m Điều kiện: x  a) Phương trình sin x = m   k  k   Trường hợp 1: |m| > Phương trình vơ nghiệm - Nếu m biểu diễn dạng tan góc đặc biệt thì: Trường hợp 2: m  Phương trình có nghiệm tan x  m  tan x  tan   x    k  k  - Nếu m biểu diễn dạng sin góc đặc biệt thì: - Nếu m khơng biểu diễn dạng tan góc đặc biệt thì:  x    k2 sin x  m  sin x  sin    k   x      k2 tan x  m  x  arctan m  k  k   - Nếu m không biểu diễn dạng sin góc đặc biệt thì:  x  arcsin m  k2 sin x  m   k   x    arcsin m  k2   e) Chú ý:   sin x  1  x    k2  k  Nếu gặp tốn u cầu tìm số đo độ góc lượng giác cho sin (cos, tan, cot) chúng m  Ví dụ: sin  x  20   b) Phương trình cos x = m ta áp dụng cơng thức nghiệm nêu trên, lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ công thức nghiệm Trường hợp 1: |m| > Phương trình vơ nghiệm  x  20  30  k360 Đối với ví dụ ta viết:  k   x  20  180  30  k360 Trường hợp 2: m  Phương trình có nghiệm - Nếu m biểu diễn dạng cos góc đặc biệt thì:  x    k2 cos x  m  cos x  cos    k   x    k2  - Nếu m không biểu diễn dạng cos góc đặc biệt thì:  x  arccos m  k2 cos x  m   k   x   arccos m  k2 - Các trường hợp đặc biệt:   k  k  cos x   x  k2  k   - Nếu m biểu diễn dạng cot góc đặc biệt thì: cot x  m  x  arccot m  k  k    sin x   x   k2  k  cos x   x  d) Phương trình: cot x = m Điều kiện: x  k  k  - Nếu m không biểu diễn dạng cot góc đặc biệt thì: - Các trường hợp đặc biệt: sin x   x  k  k   cot x  m  cot x  cot   x    k  k        x  20  30  k2 không viết  k   x  20  180  30  k2   Phương pháp giải: Sử dụng công thức nghiệm phương trình lượng giác Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) v(x) hai biểu thức x  u(x)  v(x)  k 2 sin u  x   sin v  x    k   u(x)    v( x)  k 2 cos u  x   cos v  x   u  x    v  x   k 2  k  tan u  x   tan v  x   u  x   v  x   k  k     cot u  x   cot v  x   u  x   v  x   k  k    3x  15  60  k180  3x  45  k180 Ví dụ minh họa  x  15  k60  k  Ví dụ 1: Giải phương trình sau:   a) sin  x  Vậy họ nghiệm phương trình là: x  15  k60; k    3      x     x  k  x   k  k  3 3  d) Điều kiện xác định: sin  b) 3cos(x+1) = c) tan  3x  15     cot   x    3     x  1  3  d) cot     cot   x   3  Lời giải     cot   x   cot 3  a)     x    k2      sin  x     sin  x    sin   3 3    x        k2  3 2  x  k2  k     x    k2 Vậy họ nghiệm phương trình là: x      x   k x   k  k  12 2  k2;x    k2;k       c) cos  2x  c) Điều kiện xác định: cos  3x  15  d) cot  x   3x  15  90  k180  3x  75  k180  x  25  k60  k   Ta có: tan  3x  15    tan  3x  15  tan 60 3      sin   x   6  b) cos5x – sinx = Vậy họ nghiệm phương trình là: x  1  arccos  k2;k    k;k  12 Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) sin  3x  1  x    arccos  k2  x  1  arccos  k2  k  3  (Thỏa mãn) Vậy họ nghiệm phương trình là: x  b) 3cos(x+1) =  cos  x  1   (Thỏa mãn)        sin   x   4 3     cot  2x  3 Lời giải   a) sin  3x  3      sin   x   6   3  11 k 11    3x    x  k2  x  48   4x  12  k2    k  3x  3      x  k2  x  19  k  2x  19  k2    12 24 Vậy họ nghiệm phương trình là: x    Ta có: cot  x   x 11 k 19  ;x   k;k  48 24    x 2   k  x    k   (Thỏa mãn) Vậy họ nghiệm phương trình là: x     k  ;k  Ví dụ 3: Giải phương trình sau: a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) =  k  k  ;x    ;k  Vậy họ nghiệm phương trình là: x  12 b) (cotx + 1)sin3x =     c) cos  2x    sin   x   4  3  c) sin 3x 0 cos3x  d) tanx.tan2x =      cos  2x     sin   x  4  3  Lời giải a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) =      cos  2x    sin  x   4 3    cos x   1  2cos x  2  x    k2  k    3 – cos x  cos x   Loai  0       cos  2x    cos   x   4 3  2    13 k2 13     2x    x   k2  x  36  3x  12  k2    k   2x       x    k2  x   7  k2  x   7  k2    12 12 Vậy họ nghiệm phương trình x    2x  k   3x    k b) cos5x – sinx =  cos5x  sin x  cos5x  cos   k       x  12  5x   x  k2 6x   k2    k   x     k 5x     x  k2  4x     k2    2    cot  2x  3 Vậy họ nghiệm phương trình x    2  k2;k  b) Điều kiện xác định: sin x   x  k  k   Ta có: (cotx + 1)sin3x = 13 k2 7  ;x    k2;k  36 12         x    k x   k sin  x     3  d) Điều kiện xác định:    k  k  sin  2x     2x  k  x          x    k cot x   cot x  1     k  k  sin 3x  3x  k    x    Kết hợp với điều kiện xác định ta họ nghiệm phương trình là:   x    k; x    k;k  c) Điều cos3x    cos3x   3x  k2  x  Ta có: xác kiện k2 k  định:  sin 3x k   sin3x   3x  k  x   k  cos3x   k2  k  3     k k   k  tanx.tan2x = (*) Trường hợp 1: tanx = Thay vào (*) (vơ lí) Trường hợp 2: tan x   x  k  k   tan x  tan 2x  cot x    tan 2x  tan   x     2x    x  k 8  k;k  15 C  8  k2;k  15 D   cos  x    với  x  2 : 3  B C   Câu Các nghiệm phương trình sin  2x   D    là: 3    x    k ,k  A   x  5  k  12    x   k ,k  B   x  5  k  12    x   k ,k  C   x     k  12  k  x    ,k  D   x    k  12 Câu Các nghiệm phương trình cos  3x  15    x  25  k.120 là:  x  5  k.120 ,k  A   x  15  k.120 ,k  B   x  15  k.120  x  25  k.120  x  5  k.120 ,k  C   x  15  k.120   3x   k  k  x   k  B  Câu Số nghiệm phương trình: A     x   k  x  cos x    d) Điều kiện xác định:  cos 2x  2x    k x    (*)  tan 2x  8  k;k  15 8  k2;k  15 Kết hợp với điều kiện xác định ta họ nghiệm phương trình là: x A ,k  D   x  15  k.120 Câu Nghiệm phương trình 2sinx.cosx = là:  Kết hợp với điều kiện xác định ta họ nghiệm phương trình  x    k;k  Bài tập tự luyện   Câu Họ nghiệm phương trình tan  x     5  A x  k2;k  B x    k;k  C x  k ;k  D x  k;k  Câu Phương trình tan x  tan A x  k2;k  x   k;k  x có họ nghiệm là: B x  k;k  C x    k2;k  D Câu Nghiệm phương trình sin3x = cosx là: Câu 12 Nghiệm phương trình tan3x.cot2x =  k   ; x   k;k  A x  k; x  k ;k  B x  C x  k; x    k;k  D x  k2; x    k2;k  A k ,k     ; x 18   x ; x 18 C x     2 ; x 18 Câu Giải phương trình sin  4x  7 k   x  72  A  k   x    k  24 7 k   x  72  C  k   x  11  k  C x     ; x 18 D      sin  2x    4 3   7 k   x  72  D  k   x  11  k  24     x  k k    x    k2   x  k2 C  k    x    k2      x  k k    x    k  B  D x     k2;k    k;k  Câu 11 Nghiệm phương trình tanx = cotx A x   k  ;k  B x   C x    k;k  D x   k  ;k  4 B   k2;k  D x   A x    k,  k  C x  3  k2,  k    k2;k  cos 2x 0  sin 2x   B x  3  k,  k  14  D x  3  k,  k     Câu 15 Tìm tổng nghiệm phương trình sin  5x       cos  2x   3 3  [0; ] Câu 10 Nghiệm phương trình sin x 2cos x   là: A   D Vô    k2;k    x    k2 , x    k;k  Câu 14 Giải phương trình 7 k   x  72  B  k   x  11  2k  24 C k,k  Câu 13 Phương trình  sin x  1 sin x   có nghiệm là: A x   B x    k  ,k  nghiệm Câu Nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trình sin 4x + cos5x = theo thứ tự là: A x   B  A  7 18 B 4 18 C 47  D 47  18 Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 B B C D B A B C D A A D A D D Cách tính giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số lượng giác Vậy hàm số y = 4sin2xcos2x +1 có giá trị lớn giá trị nhỏ -1 c) Ta có:  cos2 3x  1x  Lý thuyết a) Cho hàm số y = f(x) xác định miền D  - Số thực M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) D   3cos2 3x  3x   3  3cos2 3x  0x  f  x   M, x  D  x  D,f  x   M Vậy hàm số y = – 3cos23x có giá trị lớn giá trị nhỏ - Số thực m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:    3cos2 3x  5x   f  x   m, x  D   x  D,f  x   m a) y   sin 2x b) y = cos2x + 4sinx - b) Tính bị chặn hàm số lượng giác: c) y = 4|cos(3x-1)| + 1  sin x  1x  Lời giải 1  cos x  1x  a) Điều kiện xác định:  sin 2x   sin 2x  (Luôn với x) Các dạng tập Tập xác định D = R Dạng Sử dụng tính bị chặn hàm số lượng giác Ta có: 1  sin 2x  1x  Phương pháp giải:  1   sin 2x  1x  1  sin  u(x)  ;  sin  u(x)  ;  sin  u(x)     sin 2x  3x  1  cos  u(x)  ;  cos2  u(x)  ;  cos  u(x)     sin 2x  3x  Ví dụ minh họa: Vậy hàm số y   sin 2x có giá trị lớn Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: b) y = cos2x + 4sinx – a) y = sin2x + = – 2sin2x + 4sinx – b) y = 4sin2xcos2x +1 = -2sin2x + 4sinx – c) y = – 3cos23x = -2(sin2x – 2sinx + 1) – 2 Lời giải = -2(sinx – 1)2 – a) Ta có: 1  sin 2x  1x  Ta có: 1  sin x  1x    sin 2x   4x   2  sin x   0x  Vậy hàm số y = sin2x + có giá trị lớn giá trị nhỏ    sin x  1  4x  b) y = 4sin2xcos2x +1 = 2sin4x + giá trị nhỏ Ta có: 1  sin 4x  1x   8  2  sin x  1  0x   2  2sin 4x  2x   10  2  sin x  1   2x   1  2sin 4x   3x  Vậy hàm số y = cos2x + 4sinx – có giá trị lớn -2 giá trị nhỏ -10 2 c) Ta có:  cos  3x  1  1x     2  2sin  2x    2x  3    cos  3x  1  4x    cos  3x  1   5x     1  2sin  2x     3x  3  Vậy hàm số y = 4|cos(3x-1)| + có giá trị lớn giá trị nhỏ Vậy hàm số y  sin 2x  cos 2x  có giá trị lớn giá trị nhỏ -1 Dạng Hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c (với a, b khác 0) 3 5 b) y = 3sinx + 4cosx +   sin x  Phương pháp giải: Bước 1: Ta đưa hàm số dạng chứa sin[u(x)] cos[u(x)]:  y = asinx + bcosx + c  a  b  a  a b 2 sin x   cos x   c a b  b 2  y  a  b2 sin  x     c với  thỏa mãn cos  a a  b2 ; sin   b Đặt cos    cos x    3  4 sin   (vì       1) 5 5  5 Ta được: y   sin x cos   cos xsin     5sin  x     Ta có: 1  sin  x     1x   5  5sin  x     5x  a  b2 Bước 2: Đánh giá 1  sin  x     1x    5sin  x      11x    a  b2  a  b2 sin  x     a  b2 x  Vậy hàm số y = 3sinx + 4cosx + có giá trị lớn 11 giá trị nhỏ   a  b2  c  a  b2 sin  x     c  a  b2  cx  Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Ví dụ minh họa: y  3sin 2x  sin x  cos x  Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: Lời giải a) y  sin 2x  cos 2x  y  3sin 2x  sin x  cos x  b) y = 3sinx + 4cosx +  3sin 2x   cos x  sin x   Lời giải a) 1  cos 2x   y  sin 2x  cos 2x    sin 2x  2         sin 2x cos  cos 2x sin    2sin  2x    3 3     Ta có: 1  sin  2x     1x  3  3sin 2x  cos2x     2 sin 2x  cos 2x          sin 2x cos  cos 2x sin   6     2sin  2x    6    Ta có: 1  sin  2x  Tập xác định: D = R    1x  6 Ta có y     2  2sin  2x    x  6   ysin x  ycos x  2y  sin x  2cos x    y  1 sin x   y   cos x   2y (*)    1  2sin  2x     3x  6  Để phương trình (*) có nghiệm x  y  1   y    1  2y  Vậy hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ -1  2y2  2y   Lý thuyết: Phương trình asin x  bcos x  c có nghiệm a  b2  c2 (Lý thuyết có phần 7) Phương pháp giải: Bước 1: Điều kiện xác định: a sin x  b2 cos x  c2  a1 sin x  b1 cos x  c1 a sin x  b2 cos x  c2   y  1 y     y    y  (Loai)   y    y  2    2  y     y    y      y     y  2  ya sin x  yb2 cos x  yc2  a1 sin x  b1 cos x  c1 Vậy hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ -2   ya  a1  sin x   yb2  b1  cos x   yc2  c1 (*) Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y  Bước 3: Để phương trình (*) có nghiệm x  ya  a1    yb2  b1     yc2  c1  Điều kiện xác định: sin x  cos x   Tìm đoạn chứa y, sau đưa kết luận giá trị lớn giá trị nhỏ Ví dụ minh họa: sin x  2cos x  sin x  cos x  Lời giải Điều kiện xác định: sin x  cos x   Ta có: sinx + cosx +       2 sin x  cos x     sin x cos  cos x sin   4       sin  x        4  Do sin x  cos x   0x  2sin x  2cos x sin x  cos x  Lời giải Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y   y2  2y   y2  4y    4y  y2 a sin x  b1 cos x  c1 Dạng 3: Hàm số có dạng y  a sin x  b cos x  c Bước 2: y  sin x  2cos x  sin x  cos x  Ta có: sinx – cosx +       2 sin x  cos x     sin x cos  cos x sin   4 2       sin  x        4  Do sin x  cos x   0x  Tập xác định: D = R Ta có: y  2sin x  2cos x sin x  cos x   ysin x  ycos x  3y  2sin x  2cos x   y   sin x   y   cos x  3y (*) Để phương trình (*) có nghiệm x  y     y     3y  2 C y   2,max y   y   2,max y   3  y2  4y   y2  4y   9y2 Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = – 2cos23x 8 56 56  7y   y   y   y 7 7 D Vậy hàm số có giá trị lớn A y = 1, max y = B y = 1, max y = C y = 2, max y = D y = -1, max y = 56 56 giá trị nhỏ  7 Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin2x – 4sinx + A max y = 9, y = Bài tập tự luyện C max y = 6, y = D max y = 5, y = Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y=2sin5x – A y = -3, max y = B max y = 10, y = Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = cos2x + 4cosx – B y = -1, max y = C y = -1, max y=3 D y = -3, max y =    3x  4  Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y   3cos  A y = -2, max y = B y = 2, max y = C y = -2, max y = D y = -1, max y =   Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  cos  2x    1 3 A max y = 3, y = -7 B max y = -1, y = -5 C max y = 4, y = -1 D max y = 3, y = -5 Câu 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = 3sin x + 4cosx + A max y = 6, y = -2 B max y = 4, y = -4 C max y = 6, y = -4 D max y = 6, y = -1 Câu 11 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  cos x  sin x  A y = 2, max y = B y = 2, max y = A max y = 1, y = B max y = 2, y = C y = 4, max y = D y = 2, max y = C max y = 1, y = -1 D max y = 2, y = Câu 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = 4sin 6x + 3cos 6x   Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  2cos  x   3 3 A y = -5, max y = B y = -4, max y = C y = -3, max y = D y = -6, max y = Câu 13 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = 2sin2x + 3sin2x – 4cos2x A y = 2, max y = B y = 1, max y = C y = 1,max y = D y = 1, max y = A y  3  1,max y   Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  2sin x  y  3  1,max y   A max y  , y = B max y  , y  C y  3 2,max y   C max y  , y = D max y  , y = Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y   2  sin 2x A y   2,max y   y   2,max y   B D y  3  2,max y   Câu 14 Giá trị lớn hàm số y  B A B sin x  cos x sin x  cos x  C D Câu 15 Gọi M, m giá trị nhỏ hàm số y  cos x  2sin x  Giá 2cos x  sin x  trị M+m là: Các tốn phương trình bậc hai hàm số lượng giác Lý thuyết Một số dạng phương trình bậc hai hàm số lượng giác 20 A 11 24 B 11 15 D C 11 a.sin x  b.sin x  c  0,(a  0) a.cos2 x  b.cos x  c  0,(a  0) Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 a.tan x  b.tan x  c  0,(a  0) D A D C A A B B D C B A B A B a.cot x  b.cot x  c  0,(a  0) Phương pháp giải: Phương trình dạng Điều kiện xác định Cách làm Điều kiện ẩn phụ (ẩn t) f(sinx) Đặt t = sinx 1  t  f(cosx) Đặt t = cosx 1  t  f(tanx) x f(cotx)   k;k  x  k;k  Đặt t = tanx Đặt t = cotx Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình: a) 2sin2x – 5sinx + = b) 5cos2x – 6cosx + = c) tan2x + 2tanx – = Lời giải a) Đặt t = sinx với 1  t  Ta phương trình: 2t2 – 5t + =  t  2t  4t  t     2t  1 t        t   Loai  ... 2cos x  sin x  trị M+m là: Các toán phương trình bậc hai hàm số lượng giác Lý thuyết Một số dạng phương trình bậc hai hàm số lượng giác 20 A 11 24 B 11 15 D C 11 a.sin x  b.sin x  c  0,(a... Đặt t = tanx Ta phương trình: t    1  sin x  1  x    k2  k  sin x Vậy họ nghiệm phương trình là: x     k2;k  Bài tập tự luyện Câu Nghiệm phương trình lượng giác: 2cos2x +... 13 14 15 C C D A C D D C A D D D D B A Tất tần tật phương trình bậc hàm số lượng giác Lý thuyết Nhắc lại cơng thức nghiệm phương trình lượng giác  x    2k sin x  sin    k   x   