i MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Mục lục i Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iii MỞ ĐẦU 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1 1 Không gian các tập đóng của một không gian metric 5 1 2 Trường hợp của khô[.]
i MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Mục lục i Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khơng gian tập đóng không gian metric 1.2 Trường hợp không gian đều, đồng Hausdorff 12 1.3 Khơng gian tập lồi đóng không gian lồi địa phương 15 1.4 Tính liên tục hàm đa trị lồi 20 1.5 Định nghĩa hàm đa trị đo 25 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỊA PHƯƠNG, NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN 33 2.1 Mở đầu 33 2.2 Sự tồn nghiệm địa phương 34 2.3 Sự tồn nghiệm toàn cục 38 2.4 Trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm 43 ii Chương TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA TẬP NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN 45 3.1 Mở đầu 45 3.2 Sự phụ thuộc tập nghiệm vào điều khiện ban đầu 46 3.3 Sự phụ thuộc tập nghiệm vào tham số 52 3.4 Ứng dụng vào toán điều khiển tối ưu 56 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN DẠNG CỰC BIÊN 61 4.1 Mở đầu 61 4.2 Sự tồn nghiệm địa phương 63 4.3 Sự tồn nghiệm toàn cục 71 KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 iii Danh mục số kí hiệu chữ viết tắt tập số thực tập số tự nhiên n không gian Euclide n-chiều x trị tuyệt đối số thực x x chuẩn Euclide x x, y tích vơ hướng vecto x, y x := y x định nghĩa y Gph S đồ thị ánh xạ S int C phần C C bao đóng C d(x,C) khoảng cách từ x đến tập C h(A,B) khoảng cách Hausdorff hai tập A B C* nón đối ngẫu C f* hàm liên hợp f ∀x với x ∃x tồn x xk → x dãy { x k } hội tụ tới x h.k.n (h.k) hầu khắp nơi (hầu khắp) n.l.t.d (n.l.t.t) nửa liên tục (nửa liên tục trên) FDI bao hàm thức vi phân MỞ ĐẦU Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay gọi phương trình vi phân đa trị, lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh lý thuyết tổng quát phương trình vi phân Như người biết, lĩnh vực toán học xuất phát triển, mục đích phát triển tự nhiên tốn học, hướng đến khái niệm kết ngày tổng quát hơn, nhu cầu ứng dụng đòi hỏi Lí thuyết bao hàm thức vi phân khơng phải trường hợp ngoại lệ qui luật Xuất ban đầu mở rộng khái niệm phương trình vi phân thường, lý thuyết bao hàm thức vi phân ngày thâm nhập mạnh mẽ vào lĩnh vực khác toán học ngành khoa học khác nhờ ứng dụng to lớn Một cách tổng quát, lý thuyết bao hàm thức vi phân nghiên cứu phương trình dạng: • x(t ) ∈ G (t , x(t )), x(0) = x0 , (0.1) • x(.) hàm chưa biết, x(.) đạo hàm x(.) theo nghĩa G hàm đa trị từ khơng gian tích [0, T ] × E đoạn [0, T ] khơng gian Banach E vào E Có thể nói vấn đề nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân thường đặt toán tương tự lý thuyết bao hàm thức vi phân Các vấn đề nghiên cứu nhiều vấn đề tồn nghiệm, tính chất định tính cấu trúc tập nghiệm, tính chất phụ thuộc liên tục vào tham số điều kiện ban đầu, nghiệm tuần hoàn, lý thuyết rẽ nhánh lí thuyết nhiễu,… Các nghiên cứu vấn đề tồn nghiệm lí thuyết định tính bao hàm thức vi phân phát triển theo hai hướng rõ rệt Đầu tiên, nghiên cứu tập trung vào dạng bao hàm thức vi phân với vế phải lồi (tức hàm đa trị vế phải có giá trị lồi) với cơng trình Filippov (1959,1960), Plis (1965), Lasota Opial (1965), Castaing (1966,1969)… Đối với bao hàm thức vi phân với vế phải không lồi, kết đời muộn hơn, thu nhiều kết thú vị, kết Olech (1975), Antosiewicz Cellina (1975), Aubin Cellina (1983), DeBlast Piagiaru (1982, 1987), P.V Chương (1985),… Một lĩnh vực khơng phần quan trọng lí thuyết bao hàm thức vi phân nghiên cứu tính chất tập nghiệm, có ý nghĩa quan trọng phương diện ứng dụng Các kết Aubin Clarke (1981), Haddad (1981), Bressan (1982), Tolstonogov (1986),… đóng góp đáng kể lĩnh vực Trong nhiều toán điều khiển hệ thống người ta thường giả thiết rằng, hệ xét điều khiển nguyên lí nhân quả, tức trạng thái tương lai hệ xét độc lập với trạng thái khứ hệ xác định Trong trường hợp đó, mơ hình tốn học hệ mơ tả phương trình vi phân thường, bao hàm thức vi phân thường Có nhiều vấn đề khơng xét đến mối liên hệ với q khứ khơng có nghĩa Chính lẽ xuất lí thuyết phương trình vi phân với biến số lệch, hay tổng quát hơn, lí thuyết phương trình vi phân phiếm hàm, sau đời tự nhiên bao hàm thức vi phân phiếm hàm Nội dung luận văn định lí tồn nghiệm địa phương tồn nghiệm toàn cục bao hàm thức vi phân phiếm hàm, nghiên cứu tính chất định tính tập nghiệm nó, ứng dụng vào toán điều khiển tối ưu định lí tồn nghiệm bao hàm thức vi phân dạng cực biên Các nội dung viết báo “N.D Huy and N.K Son, On the Existence of Solutions for Fucctional Differential Inclusions Banach Spaces ( ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA, Volume 16, Number 1, (1991), 49-60) On The Qualitative Properties Of The Solution Set To Functional Differential Inclusions In Banach Spaces (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA 19(2)(1991), 45-58) On The Existence of Solution to Functional Differential Inclusions with Boundary Values (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA 25:4 (1997) 331340)” Luận văn sử dụng đắc lực công cụ giải tích hàm, giải tích đa trị giải tích lồi; đặc biệt sử dụng kết lí thuyết ánh xạ đa trị đo Các định lí sử dụng nhiều chứng minh luận văn định lí điểm bất động Kakutani-Ky Fan, định lí Ascoli, định lí Baire phạm trù, định lí Krein- Milmann, định lí tách Hahn – Banach, định lí ánh xạ đa trị đo được,… Ngồi lời nói đầu tài liệu tham khảo luận văn chia làm chương Chương nhắc lại số kiến thức khoảng cách Hausdorff, tính liên tục hàm đa trị khái niệm hàm đa trị đo Chương phát biểu trình bày chứng minh định lí tồn nghiệm bao hàm thức vi phân phiếm hàm, trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm Chương xét tính chất định tính tập nghiệm bao hàm thức vi phân: phụ thuộc tập nghiệm vào điều kiện ban đầu tham số, ứng dụng vào toán điều khiển tối ưu Chương phát biểu trình bày chứng minh định lí tồn nghiệm bao hàm thức vi phân dạng cực biên Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Đình Huy hết lịng hướng dẫn, giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn PGS,TS khoa Toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, hướng dẫn cho học viên chúng tơi hồn thành mơn học kiến thức chương trình đào tạo cao học khóa 21, chun ngành Tốn giải tích Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng sau đại học Trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho học viên chúng tơi có điều kiện học tập nghiên cứu suốt trình vừa qua Tơi xin chân thành cảm ơn Nguyễn Hồng Trúc Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tập đóng khơng gian metric Cho X không gian metric với metric d Chúng ta không giả thiết: d ( x, y ) < ∞ Định nghĩa 1.1 Cho A, B hai tập hợp X , độ dôi A B xác định sau = e( A, B) sup{d ( x, B) / x ∈ A} ( cận nhận giá trị [0, ∞] , sup ∅ =0 ) Khoảng cách Hausdorff A B h( A, B) = max{e( A, B), e( B, A)} Những tính chất i) e( A, ∅) =∞ A ≠ ∅ e(∅, B) = ii) e( A, B) =0 ⇔ A ⊂ B h( A, B ) =0 ⇔ A =B iii) e( A, C ) ≤ e( A, B) + e( B, C ) h( A, C ) ≤ h( A, B) + h( B, C ) Do f ( X ) , tập tất tập đóng X , với khoảng cách Hausdorff trở thành không gian metric Chú ý Trong tập f ( X ) , ∅ điểm cô lập Nếu d bị chặn, h bị chặn f ( X ) − {∅} Định lí 1.1 Nếu An → A không gian metric f ( X ) , = A = Am B= ( Am , ε ) n m≥ n ε >0 n m≥ n W ( Am ) W ∈ n m ≥ n Trong B( Am , ε ) = {x ∈ X / d ( x, Am ) ≤ ε } , tập tất lân cận cấu trúc X W ( Am ) = { y ∈ X / ∃x ∈ Am cho ( x, y ) ∈ W } Chứng minh 1) Giả sử B = Am Cho ε > 0, n ∈ , x ∈ A tồn m ≥ n cho n m≥ n h( Am , A) ≤ ε , suy d ( x, Am ) ≤ ε tồn xm ∈ Am cho d ( x, xm ) ≤ 2ε Bởi x ∈ Am với n ∈ Điều chứng tỏ A ⊂ B m≥ n Giả sử x ∈ B , ta chứng minh An → A ∪ {x} (điều chứng tỏ B ⊂ A ) Từ An → A , suy e( An , A ∪ {x}) → Tiếp theo kiểm tra e= ( A ∪ {x}, An ) max{e( A, An ), d ( x, An )} → Nó chứng minh d ( x, An ) → Cho p ∈ cho m, n ≥ p h( An , Am ) ≤ ε Từ x ∈ B suy tồn m ≥ p cho d ( x, Am ) ≤ ε , n ≥ p d ( x, An ) ≤ d ( x, Am ) + h( Am , An ) ≤ 2ε 2) Cho B = B( Am , ε ) Nếu x ∈ A , d ( x, Ap ) → , dễ thấy x ∈ B ε >0 n m≥ n Ngược lại, x ∈ B , với ε > 0, ∃n ∈ cho ∀m ≥ n , d ( x, Am ) ≤ ε , e( A ∪ {x}, An ) → Và dễ thấy e( An , A ∪ {x}) → Vậy h( An , A ∪ {x}) → A= A ∪ {x} 3) Đẳng thức thứ ba rõ ràng lân cận sở họ = Wε {( x, y ) / d ( x, y ) ≤ ε }(ε > 0) ∧ Wε ( Am ) ⊂ B( Am , ε ) ⊂ W2ε ( Am ) Định lí 1.2 Nếu X khơng gian metric đầy đủ, f ( X ) không gian metric đầy đủ Chứng minh Giả sử ( An ) dãy Cauchy f ( X ) 1) Thứ lưu ý có N cho n ≥ N , m ≥ N kéo theo h( An , Am ) ≤ Khi đó, An = ∅ ∀n ≥ N An ≠ ∅ ∀n ≥ N Trong trường hợp thứ dãy ( An ) hội tụ ∅ Giả sử có trường hợp thứ hai 2) Chúng ta chứng tỏ Am ≠ ∅ n m≥ n Cho ε > (điều sử dụng đầy đủ 3)).Chọn ε = đủ Với k ∈ tồn N k cho m, n ≥ N k có h( An , Am ) < 2− k ε Giả sử (nk ) dãy tăng nghiêm ngặt cho nk ≥ N k Cho xo ∈ An , giả sử chúng o ta chọn xo , x1 , , xk với tính chất xi ∈ An , d ( xi , xi +1 ) < 2− i ε Khi xk +1 i chọn An k +1 thỏa d ( xk , xk +1 ) < 2− k ε (điều thu d ( xk , Ank +1 ) ≤ h( Ank , Ank +1 ) < 2− k ε ) ... chứng minh định lí tồn nghiệm bao hàm thức vi phân phiếm hàm, trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm Chương xét tính chất định tính tập nghiệm bao hàm thức vi phân: phụ thuộc tập nghiệm vào điều... toàn cục bao hàm thức vi phân phiếm hàm, nghiên cứu tính chất định tính tập nghiệm nó, ứng dụng vào tốn điều khiển tối ưu định lí tồn nghiệm bao hàm thức vi phân dạng cực biên Các nội dung vi? ??t báo... trên) FDI bao hàm thức vi phân MỞ ĐẦU Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay cịn gọi phương trình vi phân đa trị, lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh lý thuyết tổng quát phương trình vi phân Như