Thuật toán song song giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động

-„I HÅC TH„I NGUY„N TR ÕNG -„I HÅC S PH„M L„ HI„N H„U THU„T TO„N SONG SONG GI„I B„I TO„N C„N B„NG TR„N T„P -I„M B„T -ËNG LU„N V„N TH„C S„ TO„N HÅC TH„I NGUY„N - 2020 TR ÕNG -„I HC S PHM KHOA TON Lả HiÃn Hêu T26B.228 THUT TO„N SONG SONG GI„I B„I TO„N C„N B„NG TR„N T„P -IM BT -ậNG Chuyản ng nh: ToĂn GiÊi Tẵch M sË: 46 01 02 LU„N V„N TH„C S„ TO„N HC CĂn bẻ hểng dăn khoa hc GS.TSKH NGUYN XUN T„N TH„I NGUY„N - 2020 LÌi cam oan TÊi xin cam oan Luên vôn "Thuêt toĂn song song giÊi b i toĂn cƠn bơng trản têp im bĐt ẻng" l cấng trẳnh GS TSKH Nguyạn XuƠn TĐn nghiản cu khoa hc ca riảng tấi dểi sá hểng dăn trác tiáp ca Ngo i ra, luên vôn tấi cÃn s dng mẻt sậ kát quÊ, nhên xt ca mẻt sậ tĂc giÊ khĂc Ãu c ch thẵch v trẵch dăn ngun gậc Trong quĂ trẳnh nghiản cu, tấi  ká th¯a th nh qu£ khoa hÂc cıa c¡c nh khoa hc vểi sá trƠn trng v biát ẽn Náu phĂt hiằn bĐt k sá gian lên n o tấi xin ho n to n ch‡u tr¡ch nhi»m v· nỴi dung luên vôn ca mẳnh ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 TĂc giÊ Lả HiÃn Hêu XĂc nhên ca khoa chuyản mấn XĂc nhên ca ngèi hểng dăn GS TSKH Nguyạn XuƠn TĐn i Lèi cÊm ẽn Trểc trẳnh b y nẻi dung chẵnh ca luên vôn, tấi xin b y t lÃng biát ẽn sƠu sc tểi GS TSKH Nguyạn XuƠn TĐn ngèi  tên tẳnh hểng dăn, dÔy bÊo tấi ho n th nh tật luên vôn Tấi cng xin b y t lÃng biát ẽn chƠn th nh tĨi to n thº c¡c th¦y cÊ gi¡o khoa ToĂn , -Ôi hc S phÔm- -Ôi hc ThĂi Nguyản  dÔy bÊo, tÔo iÃu kiằn thuên lềi cho tấi suật quĂ trẳnh hc têp tÔi khoa NhƠn d‡p n y tÊi cÙng xin ˜Ịc g˚i lÌi c£m ẽn chƠn th nh tểi gia ẳnh, bÔn b  luấn tấi, c v, ẻng viản, gip ễ tấi suật quĂ trẳnh hc têp v thác hiằn luên vôn tật nghiằp ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 TĂc giÊ Lả HiÃn Hêu ii Danh mc cĂc k hiằu viát tt R Têp sậ thác Thuẻc ca mẻt phƯn t˚ Ëi vĨi tªp hỊp 8x n R H KhÊng gian Euclid thác n-chiÃu Khấng gian Hilbert thác n DÂy hẻi t mÔnh tểi x n DÂy hẻi t yáu tÓi x x !x kxk = MÂi x x *x q hx; xi hx; yi Chuân ca vectẽ x Tẵch vÊ h˜Óng cıa hai vectÏ x v y (EP) (SEP) B i toĂn cƠn bơng Têp nghiằm ca b i toĂn cƠn bơng (DEP) B i toĂn cƠn bơng ậi ngău (SDEP) d(:; :) P C NC (x) domf graf epif Têp nghiằm ca b i toĂn cƠn bơng ậi ngău KhoÊng cĂch gia hai phƯn t khấng gian Hilbert nh xÔ chiáu lản mẻt têp hềp C Nn phĂp tuyán ca C tÔi x MiÃn hu hiằu ca h m f -Á th‡ cıa h m f Tr¶n Á th‡ cıa h m f lev f Tªp m˘c dểi ca f tÔi lim ak Giểi hÔn dểi ca dÂy fakg Giểi hÔn trản ca dÂy fakg limak inf A Cên dểi lển nhĐt ca têp sậ thác A iii supA Cên trản nh nhĐt ca têp sậ thác A f (x; y) -Ôo h m ca h m f tÔi x theo hểng y rf(x) @f(x) C dH (A; B) minH f argminf minC f arg minC f F ixT -Ôo h m Frchet ca f tÔi x Dểi vi phƠn ca h m f tÔi x H m ch¿ cıa tªp C Kho£ng c¡ch Hausdorff gia hai têp A v B GiĂ tr tiu ca h m f trản to n khấng gian Têp cĂc im tiu ca h m f trản to n khÊng gian Gi¡ tr‡ c¸c tiºu cıa h m f trản têp C Têp cĂc im tiu ca h m f trản têp C Têp im bĐt ẻng ca Ănh xÔ T iv Mc lc M Ưu L˛ chÂn · t i Mc ẵch nghiản c˘u -ậi tềng v phÔm vi nghiản cu Ph˜Ïng ph¡p nghi¶n c˘u Dá kián kát quÊ nghiản cu Chẽng I: Kián thc chuân b‡ 1.1 C¡c kh¡i ni»m cÏ b£n cıa gi£i t½ch lÁi 1.1.1 Tªp lÁi 4 1.1.2 Tªp ng, têp ng yáu, têp m 1.1.3 Tªp compact 1.2 Mẻt sậ khĂi niằm và tẵnh liản tc cıa h m sË khÊng gian Hilbert 1.3 D˜Ĩi vi ph¥n cıa h m sË 10 1.4 T½nh Ïn i»u cıa h m sË khÊng gian Hilbert 11 Ch˜Ïng II: Thuêt toĂn song song giÊi b i toĂn cƠn bơng trản têp im bĐt ẻng 15 2.1 B i toĂn cƠn bơng v sá tn tÔi nghiằm 2.1.1 GiÓi thi»u b i to¡n 15 17 2.1.2 Sá tn tÔi nghiằm 18 2.1.3 Mẻt sậ b i toĂn liản quan 21 2.1.4 Mẻt sậ thuêt toĂn  biát v tậc ẻ hẻi t cho b i toĂn cƠn bơng 23 v 2.2 Thuêt toĂn song song giÊi b i toĂn cƠn bơng trản têp im bĐt ẻng 32 2.2.1 Thuêt toĂn v sá hẻi t 32 2.2.2 Mẻt sậ trèng hềp riảng 37 Kát luên 43 T i liằu tham khÊo 44 vi M– -„U L˛ chÂn · t i Cho C l mẻt têp khĂc rẩng, f : CC ! R l mẻt h m sậ tha mÂn f(x; x) = 0; 8x C ( ˜Òc gÂi l song h m cƠn bơng) B i toĂn: Tẳm x C cho: f(x ; y) 0; 8y C; (EP ) ˜Ịc gÂi l b i to¡n c¥n bơng, x ềc gi l nghiằm Têp nghiằm ca b i toĂn (EP) ềc kẵ hiằu l (SEP) "CƠn bơng" l thuêt ng t lƠu  ềc s dng rẻng rÂi cÊ thác tiạn v toĂn hc dểi nhiÃu hẳnh thc, quy mấ khĂc B i toĂn cƠn bơng  ềc Nikaido v Isoda nảu t nôm 1955 N«m 1994, b i to¡n ˜Ịc Blum v Oettli phĂt biu rĐt ẽn giÊn nh trản Trong lắnh vác toĂn hc, b i toĂn cƠn bơng bao h m nhi·u lĨp b i to¡n li¶n quan nh˜ b i toĂn tậi u, b i toĂn bĐt ng thc bián phƠn, b i toĂn im yản ngáa, b i toĂn im bĐt ẻng, b i toĂn Nash, B i toĂn cƠn bơng t vĐn à quan trng cƯn giÊi quyát l tẳm iÃu kiằn b i toĂn c nghiằm v xƠy dáng thuêt toĂn tẳm nghiằm ca b i to¡n n y Kh£o s¡t c¡c i·u ki»n º b i to¡n c‚ nghi»m, ta ph£i °t c¡c iÃu kiằn lản têp hềp C h m sậ f CĂc thuêt toĂn ềc biát hiằn cẽ bÊn dáa trản kắ thuêt tẳm nghiằm ca b i toĂn tậi u, nh thuêt toĂn chiáu, thuêt toĂn chiáu tông cèng, ph˜Ïng ph¡p ¡nh gi¡ ( h m gap), h m phÔt, phẽng phĂp hểng giÊm, hoc cĂc kắ thuêt hiằu ch¿nh nh˜ ph˜Ïng ph¡p g k 1 33 k g , xuĐt phĂt t mẻt im x0 H, tÔi mẩi bểc lp, ta tẵnh: y00 = x0 < yi := (1 i )yi + i Tiyi 1; i = 1; :::; N N : xk+1 := (1 0)x + 0(I k k k k F )yk ; k k vÓi c¡c h» sË k k k k tha mÂn mẻt sậ iÃu kiằn Êm bÊo sá hẻi t ca i k; k; i = 0; :::; N thuêt toĂn C th thĐy thuêt toĂn n y, tÔi mẩi bểc lp ta phÊi tẵnh tuƯn tá lƯn k+1 i lềt cĂc giĂ tr yk ; i = 1; :::; N rÁi mÓi c‚ thº tẵnh án x Thuêt toĂn 2.2.1, tÔi mẩi bểc ta c th tẵnh ẻc lêp cng lc cĂc k+1 k CÃn Tj(x ) ri t hềp lÔi ta ềc x -i·u n y giÛp ta th¸c nghi»m c‚ th tẵnh song song cĂc giĂ tr, tiát kiằm thèi gian tẵnh toĂn hẽn - chng minh sá hẻi t ca Thuêt toĂn 2.2.1, chng tấi cƯn thảm giÊ thiát: k k k k (B5) DÂy g @2f(x ; x ) b chn náu dÂy x b chn - tha mÂn giÊ thiát (B5), mẻt iÃu kiằn ˜Ịc tr¼nh b y nh˜ sau: M»nh · 2.2.1 Cho H v song h m f : ! R th‰a mÂn iÃu kiằn (B2), v liản tc yáu ng thèi trản , l mẻt têp li m cha C, theo nghắa náu x; y ; fxng v fyng l c¡c d¢y m xn * x, yn * y th¼ f(xn; yn) ! f(x; y) Gi£ s˚ u; v ,fung v fvng l c¡c d¢y m un * u,vn * v Khi ‚, vÓi mẩi > 0, tn tÔi > v n N cho: n n @2f(u ; v ) @2f(u; v) + B vÓi mÂi n > n , ‚ B l hẳnh cƯu ẽn v H: Sá hẻi tˆ cıa thuªt to¡n ˜Ịc kh¯ng ‡nh ‡nh l˛ sau: -‡nh l½ 2.2.1 Gi£ s˚ f l song h m ẽn iằu mÔnh vểi hằ sậ v mÂn cĂc giÊ thiát (B1)-(B5) Khi dÂy hẻi t mÔnh và nghiằm nhĐt x tha xk sinh b i Thuêt to¡n 2.2.1 cıa (BEF) Ch˘ng minh 34 N -°t T = l m ba b˜Ĩc P T Theo BÍ · 2.1.7, ta c‚ S = F ixT: Ch˘ng minh ˜Ịc chia j j j=1 B˜Ĩc 1: Ta ch˘ng minh rơng cĂc dÂy k k+1 ; T (xk) b chn khÊng gi¢n cıa , ta c‚ T ; y xk v tẵnh Thêt vêy, t nh nghắa ca y ; x xk+1 k k = = x y ky k + (1 )+(1 x k + (1 x (y k x k k) k k k)T (x ) x k) ( ) T (x k k k + (1 x x Tx k) (2:2) ) T (x ) k x x g k ) -°t L, theo x Do f ẽn iằu mÔnh vểi hằ sậ v g = r2 f(x ; BÍ · 2.2.1, ta c‚ xk k x @2f(x; x) li¶n tˆc Lipschitz vĨi h» sË (g g) = y y k 2 (1 q x xk suy ‚0< =1 g xk L + (g k g) x ) k x 2; 2) x x x < Do ‚ k + = (1 k L k k x xk ) x (1 x ; g ) + kg k (g (2:3) k (1 ) x x + k g k : Thay (2.3) v o (2.2), ta ˜Òc x = (1k) xk k + xk+1 t , bơng quy nÔp ta ˜Òc max x k+1 k ) f x x x x x ;k k k g k = (1 + x (2:4) kg k g k maxf x kg k x g ; k k g 35 suy xk b chn Do giÊ thiát (B5), dÂy gk b‡ ch°n v ‚ c¡c d¢y yk ; T cÙng b‡ ch°n ( ·u l Ta ch˘ng minh mÂi im t yáu ca dÂy xk ca T: mẻt im bĐt ẻng Bểc 2: T giÊ thiát lim k xk k k y ; T ( x ) , ta c = v tẵnh b chn ca cĂc dÂy k!1 k k ky T (x )jj = = xk+1 k x xk+1 k = x k g k g k + (1 k 1)T (xk k ( k 1xk 1 k g + (1 k k k (2:5) (x ) T (x ) T (x ) k : ! T (x ) < 1, t˜Ïng t¸ B˜Ĩc 1, ta k)T k yk x c‚ k k M°t kh¡c, °t K := supk + (1 k)T k k (x ) ) k = x +( k + j k 1) k x k xk x x k) k =0 k = +1; k x (g 1 k j k k (1 T¯ P k x P k g k g k k k (g k ! g xk k + ) + (1 T (x k j k k =0 j k k ) k) T (x k k 1j k T (x ) k k T (x ) k g ) ) + (1 ) j T (xk 1) T (xk 1) K: < +1, theo BÍ · 2.1.6, ta suy xk ! k ! 1: xk+1 (2:6) T¯ (2.5),(2.6) ta ˜Òc xk Gi£ s˚ T (xk) xk+1 xk k xk+1 cho xkj * x Theo BÍ · x T (x ) 2.1.2, ta ˜Òc T (x) = x, tc l mẻt im t yáu ca dÂy Bểc 3: Ta ch˘ng minh r¬ng x ! 0: x kj k l xk + x k Khi ‚ tÁn tÔi mẻt dÂy x 36 F ix(T ): x ! k !1: ca dÂy ) Thêt vªy, ta c‚ xk+1 x = xk+1 = x k xk k+1 x + (gk g k+1 k +2 k k x g;x xk k x x g ) + (1 2 2 k2 g k + (1 L i k xk x2 +2 g; xk+1 k k) T (x ) k) T (x ) k x+ k k g (2:7) T (x ) T (x ) k+1 x : x g 2k g (gk g ) g ; xk+1 h k k k = x+ kg + k k g;x v kj l k kj Gi x mẻt dÂy ca x cho x ! x kj lim sup g;x x =h g ; xk+1 x = lim k!1 g; x x i : (2:8) k!1 Theo B˜Óc 2, x ta c‚: F ix(T ) = S Do x l nghi»m cıa (BEF) v g = r2f(x ; x ), x = arg ff(x ; x) : x Sg ) g + NS(x ) ) h g ; x x i 0; 8x S: Suy h g ; x x i Do ‚, t¯ (2.7) v (2.8), ¡p dˆng BÍ · 2.1.6 vĨi k x ! k ! 1: k 0, ta suy rax ChÛ ˛ 2.2.1 N¸u Tj ch¿ x¡c ‡nh trản cĂc têp Cj; j = 1; :::; N , ta c‚ thº m rỴng to n khÊng gian bơng cĂch t Tj(x) = Tj(PCj (x)) náu x 6= Cj, m têp im bĐt ẻng ca n khấng thay i 2.2.2 Mẻt sậ trèng hềp riảng Cho : H ! R l mẻt h m mÔnh li khÊ vi, c¡c tªp Cj(j = 1; :::; m) l lÁi, ‚ng, ta c‚ thº ˜a v· b i to¡n (BEF) b¬ng c¡ch °t f(x; y) := hr (x); y xi ; Tj(x) := P Cj (x); j = 1; :::; m: 37 B i toĂn tiu ca mẻt h m li mÔnh trản mẻt têp li n \m ’(x) : x C := o j=1 ; Cj (M P ) Do l h m li mÔnh nản f l song h m ẽn iằu mÔnh Vẳ vêy Thuªt to¡n 2.2.2.1 c‚ thº ¡p dˆng º gi£i b i toĂn quy hoÔch (MP), m mẩi php chiáu trản mẩi têp li ng Cj ềc tẵnh song song riảng biằt Tc l , xuĐt phĂt t mẻt phƯn t x H, Thuêt toĂn 2.2.1 tr th nh k k y := x x k+1 := ky k + (1 k r’(x ) m jPCj k (x ); j=1 k) P ‚ j; k v˜Òc chÂn nh Thuêt toĂn 2.2.1 Mẻt trèng hềp c biằt l b i toĂn tẳm phƯn t c chuân nh nhĐt 2, Vểi (x) := 12 kxk thuêt toĂn cho ta dÂy xk hẻi t mÔnh án mẻt phƯn t c chuân nh nhĐt C Tiáp theo, ta xt mẻt sậ trèng hềp riảng ca b i toĂn (BEF) m têp r ng buẻc l têp nghiằm chung ca cĂc b i toĂn cƠn bơng ẽn iằu hay têp khấng im ca cĂc Ănh xÔ ẽn iằu Ôi B i toĂn cƠn bơng vểi têp r ng buẻc l têp nghiằm ca cĂc b i toĂn bĐt ng thc bián phƠn ẽn iằu mÔnh ngềc a) -°t b i to¡n T¼m x (BEV I) S cho f(x ; y) 0; 8y S; ‚ S l tªp nghi»m chung cıa c¡c b i to¡n bĐt ng thc bián phƠn Tẳm x Cj cho hFj(x); y xi 0; 8y Cj vÓi Cj H l c¡c tªp lÁi ‚ng v Fj : H ! H; j = 1; 2; :::; m: BÍ · sau cho ph²p biºu di¹n b i to¡n (BEVI) d˜Ĩi dÔng ca (BEF) B à 2.2.2 GiÊ s cĂc Ănh xÔ Fj l ẽn iằu mÔnh ngềc trản H vểi h» sË j > 0; j = 1; 2; :::; m Khi cĂc Ănh xÔ Tj; j = 1; 2; :::; m; x¡c ‡nh b i Tj(x) = PCj (x Fj(x)); 8x H 38 l Ănh xÔ khấng giÂn trản H vểi mi < j Hẽn na, têp im bĐt ca T j trng vểi têp nghiằm ca b i toĂn bĐt ng thc bián phƠn T¼m x Cj : hFj(x ); y x i ; 8y Cj; Ỵng V I(Cj; Fj) Ch˘ng minh T giÊ thiát ẽn iằu mÔnh ngềc trản Hvểi hằ sË j cıa Fj, ta c‚, vÓi mÂi x; y H k Tj(x) T (y) x Fjj(x) k Do2 j = kx = kx kx kx n¶n = PC (x Fj(x) PC k (yFj j(y)) (y Fj(y)) j k2 y (Fj(x) Fj(y))k (x) Fj(y)k yk 2 hx y; Fj(x) Fj2(y)i + 2kFj kF (x) yk 2 jkFj(x) Fj(y)k + j Fj(y)k yk + ( j)kFj(x) Fj(y)k kTj(x) Tj(y)k kx yk : HÏn n˙a , x Tj(x ) v ch¿ hx Fj(x ) x ; y x i vÓi mÂi y Cj Do > 0, ta c‚ hFj(x ); y x i 0; 8y Cj, iÃu c nghắa x l mẻt nghiằm cıa (VI) (Cj; Fj): -°t S l giao cıa c¡c tªp nghi»m cıa c¡c b i to¡n VI (Cj; Fj)(j = 1; :::; m), b i to¡n (BEVI) ˜Òc ˜a và dÔng ca (BEF) Khi , mẻt thuêt toĂn giÊi b i to¡n (BEVI) suy t¯ Thuªt to¡n 2.2.1 nh˜ sau: b) Thuªt to¡n m fj > 0; =1 j = 1; := v chÂn d¢y f k g k Pj (0; 1) cho Thuªt to¡n 2.2.2 ChÂn L ;0< lim = 0; k X j k k=0 !1 Xk k = +1; jk k 1j k @2f(x cho x ); 39 < +1: =0 XuĐt phĂt t mẻt phƯn t x0 H, tÔi mẩi bểc lp k k : j = 1; ::; m; > g k = 0; 1; :::; l§y g g k k gk ( L y := k x k k xk v t½nh g x m j =1 jPCj xk+1 := kyk + (1k) (xk Fj(xk)) hP i B i toĂn cƠn bơng vểi cĂc r ng buẻc cƠn bơng ẽn iằu a) -t b i toĂn Tẳm x (BEE) S : f(x ; y) 0; 8y S; vÓi S = fx Cj : fj(x; y) 0; 8y Cj(j = 1; :::; m)g ; ¥y fj l c¡c song h m Ïn i»u tr¶n Cj vĨi mÂi j = 1; :::; m MỴt tr˜Ìng hỊp ri¶ng, f(x; y) = hx u; y xi, (BEE) tr th nh b i toĂn tẳm hẳnh chiáu ca phƯn t u lản têp nghiằm ca cĂc b i toĂn cƠn bơng, ềc à cêp án phẽng phĂp hiằu chnh cho b i toĂn cƠn bơng  ềc nghiản cu Mẻt sậ giÊ thiát cho cĂc song h m fj; j = 1; 2; :::; m b i to¡n tr¶n l : (H1) fj(x; x) = vÓi mÂi x Cj; (H2) fj Ïn i»u tr¶n Cj, t˘c l fj(x; y) + fj(y; x) vÓi mÂi x; y Cj; (H3) fj(:; y) n˚a li¶n tˆc tr¶n theo tia, t˘c l vĨi mÈi x; y; z Cj lim sup fj( z + (1 )x; y) fj(x; y); #0 (H4) vÓi mÈi x Cj; fj(x; :) l h m lÁi v n˚a li¶n tˆc d˜Ĩi tr¶n Cj: BÍ · sau cho ph²p b i toĂn (BEE) c th biu diạn dểi dÔng ca (BEF) BÍ · 2.2.3 Cho fj : H H ! R tha mÂn cĂc giÊ thiát (H1) - (H4) Vểi r > v x H, ta x¡c ‡nh Ănh xÔ T fj : H ! Cj nh sau: f T j (x) = z Cj : fj(z; y) + r hy z; z xi 0; 8y Cj vÓi mÂi x H Khi ‚: (i) T fj x¡c ‡nh v Ïn tr‡ tr¶n H; 40 1, t˘c l , vÓi mÂi (ii) T fj l Ănh xÔ ẽn iằu mÔnh ngềc vểi hằ sậ l x; y H; f T j (x) T f j (y) T f j f (x) T j y ; (y); x (iii) Têp im bĐt ẻng ca T fj trÚng vĨi tªp nghi»m cıa b i to¡n cƠn bơng Tẳm x Cj cho fj(x ; y) 0; 8y Cj: „p dˆng bÍ · tr¶n, ta a b i toĂn (BEE) và dÔng (BEF) v Thuêt toĂn 2.2.1 cho trèng hềp n y c dÔng nh˜ sau: b) Thuªt to¡n m (0; 1) cho Thuêt toĂn 2.2.3 Chn P k L2 v dÂy f g k k X k=0 = 1; l§y > j j=1 lim = 0; k > 0; j Xk k = +1; =0 !1 k 1j jk < +1: XuĐt phĂt t mẻt phƯn t x H, tÔi mẩi bểc lp k = 0; 1; :::; l§y g k k @2f(x ; x ) chok ( y gk := x k k g 11 k L xk xk g jm=1 xk+1 := kyk + (1k) k hP ˜Òc suy t¯ -‡nh l 2.2.1 -iÃu Ăng ni án Ơy l Sá hẻi t mÔnh ca cĂc dÂy x j thay jT f j (xk) : i Thuªt to¡n 2.2.3 Thuªt to¡n 2.2.2 ch cƯn vẳ tẵnh trản têp giao ca f chng Tẽng tá Thuêt toĂn 2.2.3 l giĂ tr ca cĂc Ănh xÔ gƯn kà T j : B i toĂn cƠn bơng vểi r ng buẻc bao h m thc ẽn iằu Ôi 41 v tẵnh cĂc Thuêt toĂn 2.2.2 v tẵnh hẳnh chiáu ca mẻt im trản tng C k H Cho Tj : H ! ; j = 1; :::; m l cĂc toĂn t ẽn iằu Ôi GiÊ s domTj = C 6= Do T Ïn i»u c¸c Ôi, nản C li ng.Xt b i toĂn cƠn bơng vĨi r ng bc h» bao h m th˘c Ïn iằu Ôi sau: j j Tẳm x jl S : f(x ; y) 0; 8y S; (BEI) ‚ S l tªp nghi»m cıa h» Tj(x); j = 1; :::; m GiÊ thiát rơng S khấng rÈng Ta x¡c ‡nh to¡n t˚ gi£i vÓi mÈi Tj b¬ng c¡ch °t Pj(x) := (I + Tj) (x) Mẻt kát quÊ quen thuẻc cho ta P jl cĂc toĂn t ẽn tr, khấng giÂn trản to n khấng gian v tªp nghi»m cıa bao h m th˘c Tj(x) trng vểi têp im bĐt ẻng Pj Do b i toĂn (BEI) c th a và dÔng b i to¡n (BEF) p dˆng Thuªt to¡n 2.2.1 cho b i toĂn k (BEI), ta ềc dÂy x hẻi t mÔnh và nghiằm ca b i toĂn (BEI), m ‚, mÈi b˜Ĩc l°p, ta c‚ thº t½nh gi¡ tr‡ cıa t¯ng to¡n t˚ gi£i Pj: Trong thuªt to¡n im gƯn kà ca Rockafellar giÊi b i toĂn tẳm khấng im ca toĂn t ẽn iằu Ôi trản khấng gian Hilbert, dÂy lp ch hẻi t yáu Ơy, nhè cĂch tiáp cên hai cĐp, ta thu ềc mẻt dÂy lp hẻi t mÔnh ềc mẻt dÂy lp hẻi t mÔnh án nghiằm chung ca b i toĂn ni trản 42 KT LUN B i toĂn cƠn bơng l mỴt b i to¡n kh¡ tÍng qu¡t v c‚ th tiáp cên dểi nhiÃu hểng khĂc Luên vôn n y trẳnh b y thuêt toĂn song song giÊi b i toĂn cƠn bơng trản têp im bĐt ẻng Nẻi dung chẵnh ềc trẳnh b y luên vôn bao gm: Nhc lÔi mẻt sậ kián thc cẽ b£n v· gi£i t½ch lÁi Ph¡t biºu b i toĂn cƠn bơng, phĂt biu, chng minh mẻt sậ nh l, mằnh à và iÃu kiằn tn tÔi nghiằm ca n Nghiản cu m rẻng thuêt toĂn song song  ềc Ăp dng cho b i toĂn cƠn bơng khÊng gian Hilbert th¸c H 43 T„I LI„U THAM KHO Tiáng Viằt 1.Nguyạn Vôn HiÃn, Lả Dng Mu, Nguyạn Hu -in: GiĂo trẳnh GiÊi tẵch li ng dng, Nh xuĐt bÊn -Ôi hc Quậc gia H Nẻi (2015) Tiáng Anh Bauschke H H., Combettes P H.: Convex Analysis and Monotone Op-erator in Hilbert Spaces, Springer (2010) 3.Cencor Y., Segal A.: The split common fixed point problem for di-rected operators, J Convex Anal., 16, 587-600 (2009) Nguyen V.H.: Lecture Notes on Equilibrium Problems, Nha Trang: CIUFCUD Summer School on Optimization and Applied Mathemat-ics (2002) 5.Phung M Duc, Le D Muu: A splitting algorithm for a class of bilevel equilibrium problems involving nonexpansive mappings, Optimization, Vol 65, pages 1855-1866, 2016 Phung M Duc, Le D Muu, Nguyen V Quy: Solution-existence and algorithms with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilibrium problems, Pacific Journal of Optimization, Vol 12 No.4, pages 833-845,2016 44 ...TR ÕNG -„I HÅC S PH„M KHOA TO„N L¶ Hi·n Hªu T26B.228 THU„T TO„N SONG SONG GI„I B„I TO„N C„N B„NG TR„N T„P -I„M B„T -ËNG Chuy¶n ng nh: To¡n GiÊi Tẵch M sậ: 46 01... hc GS.TSKH NGUY„N XU„N T„N TH„I NGUY„N - 2020 LÌi cam oan Tấi xin cam oan Luên vôn "Thuêt toĂn song song giÊi b i toĂn cƠn bơng trản têp im bĐt ẻng" l cấng trẳnh GS TSKH Nguyạn XuƠn TĐn nghiản... 10 1.4 T½nh Ïn i»u cıa h m sË khÊng gian Hilbert 11 Ch˜Ïng II: Thuªt to¡n song song gi£i b i toĂn cƠn bơng trản têp im bĐt ẻng 15 2.1 B i toĂn cƠn bơng v sá tn tÔi nghi»m