ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHÙNG THỊ THU HUYỀN THUẬT TOÁN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thị Thanh Huyền THÁI NGUYÊN - 2022 ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉ ✶ ✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✹ ✶✳✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì t ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✷✳ ❚➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✷ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✤↕♦ ❤➔♠ t➠♥❣ ❝÷í♥❣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✶✵ ✷✳✶✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✷✳✷✳ ❙ü ❤ë✐ tö ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✷✳✸✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤é♥ ❤ñ♣ ✤❛ trà ✳ ✷✺ ✷✳✹✳ ❱➼ ❞ö sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ❑➳t ❧✉➟♥ ✸✵ ✐ õ t ỗ õ ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ n ❝❤✐➲✉ Rn ✈➔ f : K × K → Rn ∪ {+∞} ❧➔ ♠ët s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣✱ tù❝ ❧➔ t❤ä❛ ♠➣♥ f (x, x) = 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(1 − λ)⟨v, y⟩ ≤ λ.r + (1 − λ)r = r ✹ ✺ t ỗ K Rn ởt t ỗ ởt x ∈ K ✳ ◆â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✭♥❣♦➔✐✮ ❝õ❛ K t↕✐ x ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ NK (x) = {v ∈ Rn : ⟨v, x − x⟩ ≤ 0, ∀x ∈ K} ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ❬✷❪ ❈❤♦ f : Ω → R = R ∪ {+∞} ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ t➟♣ sè t❤ü❝ ♠ð rë♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t ỗ Rn f ữủ ỗ tr f (x + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ Ω, λ ∈ (0, 1) ❱➼ ❞ư ✶✳✷✳ ❍➔♠ g(x) = ∥Ax + b∥ ✈ỵ✐ A Rpìn b Rp ỗ x, y ∈ Ω1 ✱ λ ∈ (0, 1)✱ t❛ ❝â g(λx + (1 − λ)y) = ∥A(λx + (1 − λ)y) + b∥ = ∥λ(Ax + b) + (1 − λ)(Ay + b)∥ ≤ λ∥A(x + b)∥ + (1 − λ)∥Ay + b∥ = λg(x) + (1 − λ)g(y) õ g(x) ỗ ởt tờ qt ỡ t ỗ ữủ tr s❛✉ ✤➙②✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳ ❬✺❪ ❈❤♦ Ω ❧➔ t➟♣ ỗ tr Rn ởt g : R ữủ ỗ ợ số tr➯♥ Ω✱ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ τ > 0✱ x, y ∈ Ω ✈➔ λ ∈ [0, 1] t❤ä❛ ♠➣♥ τ g(λx + (1 − λ)y) ≤ λg(x) + (1 − λ)g(y) − λ(1 − λ)∥x − y∥2 ◆➳✉ g ỗ t s r g ỗ g(x) = 2x2 tr ổ R ỗ ợ số ❧➔ 4✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳ ❬✶❪ ❈❤♦ f : Rn (, +) ởt ỗ x domf ✭tù❝ ❧➔ f (x) < +∞)✮✳ ▼ët ♣❤➛♥ tû v Rn ữủ ởt ữợ ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ x ♥➳✉ ⟨v, x − x⟩ ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ Rn tt ữợ f t x ữủ ữợ f t↕✐ x 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{+∞}✳ ❙♦♥❣ ❤➔♠ f t❤ä❛ ♠➣♥ f (x, x) = ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ K ❣å✐ ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❚➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽✳ ❬✷❪ ❈❤♦ U ✈➔ V t ỗ rộ tr ổ Rn ✱ U ⊆ K ✈➔ f : K × K → R ∪ {+∞}✳ ❙♦♥❣ ❤➔♠ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✐✮ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ U ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè β > ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ ❝➦♣ u, v ∈ U ✱ t❛ ❝â f (u, v) + f (v, u) ≤ −β∥u − v∥2 ; ✐✐✮ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ U ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ ❝➦♣ u, v ∈ U ✱ t❛ ❝â f (u, v) + f (v, u) ≤ 0; ✐✐✐✮ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ U ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ ❝➦♣ u, v ∈ U t❛ ❝â f (u, v) ≥ → f (v, u) ≤ 0; ❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥ t❛ s✉② r❛✿ i) → ii) → iii)✳ ❱➼ ❞ư ✶✳✺✳ ❍➔♠ f : K × K → R ∪ {+∞} f (u, v) = ⟨P u + Qv + q, v u, ợ P, Q ữủ ❝❤å♥ s❛♦ ❝❤♦ Q ✤è✐ ①ù♥❣✱ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ✈➔ Q − P ❧➔ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ➙♠✱ q ∈ Rn ✳ ❑❤✐ ✤â✱ f ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ u, v ∈ K ✱ ❞♦ Q − P ❧➔ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ➙♠ ♥➯♥ f (u, v) + f (v, u) = ⟨(Q − P )(v − u), v − u⟩ ≤ ✶✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ K t ỗ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ n ❝❤✐➲✉ ✈➔ f : K × K → R ∪ {+∞}✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ❚➻♠ x∗ ∈ K s❛♦ ❝❤♦ f (x∗ , y) ≥ 0✱ ∀y ∈ K ✳ ✭P❊P✮ ✽ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ✤é✐ ♥❣➝✉ ✈ỵ✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✭P❊P✮✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❉❊P✮ ♥❤÷ s❛✉✿ ❚➻♠ x∗ ∈ K s❛♦ ❝❤♦ f (y, x∗ ) ≤ 0✱ ∀y ∈ K ✳ ✭❉❊P✮ ❱ỵ✐ ♠é✐ x ∈ K ✱ ✤➦t Lf (x) := {y ∈ K : f (x, y) ≤ 0} ❑❤✐ ✤â✱ x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❉❊P✮ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ x∗ ∈ ∩x∈K Lf (x)✳ ❑➼ ❤✐➺✉ K ∗ ✈➔ K d ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❝→❝ t t PP P ỹ tỗ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❱➻ K d = ∩x∈K Lf (x) ♥➯♥ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ K d ❧➔ t➟♣ ỗ õ f (x, ) t ỗ õ tr➯♥ K ✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ tê♥❣ q✉→t✱ K ∗ õ t ổ ỗ f ỗ õ tr➯♥ K ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜✐➳♥ t❤ù ❤❛✐ ✈➔ ❤❡♠✐✲❧✐➯♥ tư❝ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜✐➳♥ t❤ù ♥❤➜t✱ t❤➻ K ∗ ❧➔ t➟♣ ỗ K d K ỡ ỳ ♥➳✉ f ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ K ✱ t❤➻ K ∗ = K d ✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✱ t❛ ❣✐↔ sû K d ̸= ∅✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❜❛♦ ỗ ợ t q tở ữ t tè✐ ÷✉✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ◆❛s❤✳ ❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❈❤♦ g : K → R ✈ỵ✐ K 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s✉② r❛ ∥xk+1 − x∗ ∥2 ≤ ∥xk − x∗ ∥2 − γk (2 − γk )(δk ∥g k ∥)2 , ∀x∗ ∈ K d ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✐✐✮✱ t❛ →♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ✈ỵ✐ ♠é✐ k tø tỵ✐ m t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ m X ❱➻ ❞➣② {∥x γk (2 − γk )(δk ∥g k ∥)2 ≤ ∥x0 − x∗ ∥2 − ∥xm+1 − x∗ ∥2 k=0 m ∗ − x ∥}m≥0 ❤ë✐ tö ♥➯♥ ❝❤♦ m → ∞ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ m X k=0 γk (2 − γk )(δk ∥g k ∥)2 < ∞ ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✐✐✐✮✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❞➣② {gk } ❜à ❝❤➦♥✱ t ú ỵ r {yk } t ✈➟②✱ ✈➻ yk ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✶✾✮ ❝â ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ t➟♣ ❝❤➜♣ ữủ t ỵ ỹ →♥❤ ①↕ xk → s(xk ) = yk ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝✳ ❱➻ ❞➣② {xk } ❜à ❝❤➦♥✱ ❞➣② {yk } ❜à ❝❤➦♥ ♥➯♥ ❞➣② {uk } ❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ❞♦ uk tờ ủ ỗ xk yk ❱➟② ❦❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ ❣✐↔ sû uk → u∗ ❦❤✐ k → +∞✳ ❉♦ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❤➔♠ f (uk , )✱ ❞➣② {f (uk , )} ❤ë✐ tư tỵ✐ f (u∗ , )✳ ❱➻ g k ∈ ∂2 f (uk , uk ) ♥➯♥ ❞➣② {g k } t ỵ tö ❝❤♦ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳ ❚r♦♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✹✱ ♥➳✉ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷ ❞ø♥❣ t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ✭P❊P✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳ ◆❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ♥➳✉ t❤✉➟t t♦→♥ ❦❤ỉ♥❣ ❞ø♥❣ s❛✉ ❤ú✉ ❤↕♥ ữợ t t õ t q tử s ỵ tt ố tr ✷✳✺ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✷✳✻✱ ❣✐↔ t❤✐➳t t❤➯♠ f ❧✐➯♥ tư❝ 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⟨∇G(x∗ ), y k − x∗ ⟩] ρ f (uk , y k ) + ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ y k ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✶✾✮ ♥➯♥ t❛ ❝â f (xk , y k ) + [G(y k ) − G(x∗ ) − ⟨∇G(x∗ ), y k − x∗ ⟩] ≤ ρ ❙✉② r❛ (1 − ηk )f (xk , y k ) + ≤ α [G(y k ) − G(x∗ ) − ⟨∇G(x∗ ), y k − x∗ ⟩] ρ (αk − + ηk ) [G(y k ) − G(x∗ ) − ⟨∇G(x∗ ), y k − x∗ ⟩] ρ ≤ 0, ✤✐➲✉ ♥➔② s✉② r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr♦♥❣ ữợ t t tọ ợ < ηk ≤ − α✳ ✷✳✸✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤é♥ ❤ñ♣ ✤❛ trà ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❚➻♠ x∗ ∈ K, p∗ ∈ F (x∗ ) s❛♦ ❝❤♦ ⟨p∗ , x − x∗ ⟩ + ϕ(x) − ϕ(x∗ ) ≥ 0, tr♦♥❣ ✤â F : Rn ⇒ Rn ✈➔ ϕ : Rn → R ∪ {+∞} ỗ tữớ õ sỷ F (x) ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ❦❤→❝ ré♥❣ ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ K ✱ ✈➔ K ⊆ domϕ✱ tr♦♥❣ ✤â domϕ ❧➔ ♠✐➲♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ϕ✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ ❝➦♣ x, y ∈ K ✤➦t f (x, y) := max {⟨u, y − x⟩ + ϕ(y) − ϕ(x)} u∈F (x) ✭✷✳✸✹✮ ✷✻ ❑❤✐ ✤â✱ x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭▼❱■P✮ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♥â ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭P❊P✮✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳ ❬✶✶❪ ✐✮ ⑩♥❤ ①↕ F ữủ ỡ tr K ợ ♠å✐ x, y ∈ K ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ u ∈ F (x)✱ v ∈ F (y)✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ⟨u, y − x⟩ + ϕ(y) − ϕ(x) ≥ s✉② r❛ ✐✐✮ ⟨v, y − x⟩ + ϕ(y) − ϕ(x) ≥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ K ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè L ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ K t❛ ❝â F inf ∥u − v∥ ≤ L∥x − y∥ sup u∈F (x) v∈F (y) ❚ø ♣❤➛♥ trữợ t t ổ s r t ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❤➔♠ f ✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♥➳✉ f ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ✭✷✳✸✹✮✱ F ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➔ ϕ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ K t❤➻ f t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✹✮ ♥❤÷ ♣❤→t ❜✐➸✉ tr♦♥❣ ❜ê ✤➲ s❛✉ ✤➙②✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❣✐↔✐ t❤➼❝❤ t↕✐ s❛♦ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✹✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦✐➸✉ ▲✐♣s❝❤✐t③✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✼✳ ❬✶✶❪ ❈❤♦ f ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ✭✷✳✸✹✮✳ ❈→❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣✿ ✐✮ ◆➳✉ F, ϕ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ K ✈➔ F (x) ❝♦♠♣❛❝t ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ K t❤➻ f ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ K × K✳ ✐✐✮ ◆➳✉ F ❧➔ ϕ−❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ K t❤➻ f ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ K ✳ ✐✐✐✮ ◆➳✉ F ❧➔ L−❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ K t❤➻ ✈ỵ✐ ♠é✐ ν > 0✱ t❛ ❝â f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − Lν L ∥x − y∥2 − ∥y − z∥2 , ∀x, y, z ∈ K 2ν ✭✷✳✸✺✮ Pt t ữủ s r tứ ỵ ❝ü❝ ✤↕✐✳ P❤→t ❜✐➸✉ t❤ù ❤❛✐ ✤÷đ❝ s✉② r❛ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✐✐✐✮✱ ❣✐↔ sû F ❧➔ L−▲✐♣s❝❤✐t③ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ K ✳ ▲➜② x, y, z ∈ K ✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ u ∈ F (x) ✈➔ ε > 0✱ ✈➻ F ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♥➯♥ t❤❡♦ tỗ t v F (y) s ∥u − v∥ ≤ L∥x − y∥ + ε✳ ❙✉② r❛ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ⟨u, z − x⟩ − sup ⟨v, z − y⟩ − sup ⟨w, y − x⟩ v∈F (y) w∈F (x) ≤ ⟨u, z − x⟩ − ⟨v, z − y⟩ − ⟨u, y − x⟩ ✷✼ = ⟨u, z − x⟩ − ⟨v, z − y⟩ = ⟨u − z, z − y⟩ ≤ ∥u − v∥∥z − y∥ ≤ (L∥x − y∥ + ε)∥z − y∥ ❱➻ ε > ✈➔ u ∈ F (x) tò② þ ♥➯♥ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ f (x, z) − f (y, z) − f (x, y) ≤ L∥x − y∥∥z − y∥ ❙û ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ 2ab ≤ (a2 /ν) + νb2 ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ a, b ∈ R > t t ữủ ú ỵ r➡♥❣ ❦❤✐ F ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➔ ✤ì♥ trà tr➯♥ K ✱ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶ ✈ỵ✐ f (x, y) = ⟨F (x), y − x⟩✱ ϕ ≡ trð t❤➔♥❤ t❤✉➟t t♦→♥ ✤↕♦ ❤➔♠ t➠♥❣ ❝÷í♥❣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳ ❑❤✐ F ❧✐➯♥ tư❝ ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷ trị♥❣ ✈ỵ✐ t❤✉➟t t♦→♥ ✤↕♦ ❤➔♠ t➠♥❣ ❝÷í♥❣ t❤❡♦ t✐❛✳ ❑❤✐ F ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ tr t t ởt ỵ tt ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ →♣ ❞ư♥❣✳ ✷✳✹✳ ❱➼ ❞ư sè ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ →♣ ❞ư♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ợ K ỗ õ K := {x ∈ Rn |Ax ≤ b|}, ✭✷✳✸✻✮ ✈➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ f : K × K → R ∪ {+∞} ❝❤♦ ❜ð✐ f (x, y) = ⟨F (x) + Qy + q, y − x⟩, ✭✷✳✸✼✮ ✈ỵ✐ F : K → Rn ✱ Q ∈ Rn×n ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ✈➔ q ∈ Rn ✳ ❱➻ Q ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➯♥ f (x, ) ❧➔ ❤➔♠ ỗ ợ ộ x K ố ợ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ♥➔② ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✽✳ ❬✶✶❪ ❈❤♦ F : K → Rn ✐✮ f ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ K ❦❤✐ ζ = ∥Q∥✳ ❧➔ ζ− ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ K ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✐✐✮ f ❧➔ ζ − ∥Q∥ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ K ❦❤✐ ζ > ∥Q∥✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✾✳ ❬✶✶❪ ❈❤♦ F : K → Rn ✷✽ ❧➔ L− ▲✐♣s❝❤✐t③ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ K ✱ tù❝ ❧➔ ∥F (y) − F (x)∥ ≤ L∥y − x∥, ∀x, y ∈ K ❑❤✐ ✤â✱ f t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦✐➸✉ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✭✷✳✹✮✳ ❚ù❝ ❧➔ f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − a1 ∥y − x∥2 − a2 ∥z − y∥2 , ∀x, y, z ∈ K, ✈ỵ✐ ♠å✐ a1 > 0, a2 > t❤ä❛ ♠➣♥ √ a1 a2 ≥ L + ∥Q∥ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❦❤✐ F ❧➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ❞↕♥❣ F (x) = P x ợ P Rnìn f ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✸✼✮ ❝â ❞↕♥❣ ✭✷✳✸✽✮ f (x, y) = ⟨P x + Qy + q, y − x⟩ ●✐↔ sû ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ P, Q ✤÷đ❝ ❝❤å♥ s❛♦ ❝❤♦ Q ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ✈➔ Q − P ❧➔ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ➙♠✳ ❑❤✐ ✤â f ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ✭①❡♠ ❬✶✶❪✮✿ ✐✮ f ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ f (., y) ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔ f (x, ) ỗ tr K ✐✐✮ ❱ỵ✐ ♠é✐ x, y, z ∈ K t❛ ❝â f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − a1 ∥y − x∥2 − a2 ∥z − y∥2 , ∀x, y, z ∈ K, tr♦♥❣ ✤â a1 = a2 = 21 ∥P − Q∥✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶ ✈ỵ✐ ❤➔♠ G = 21 ∥x∥2 ✤➸ ❣✐↔✐ t PP ợ f (x, y) ữủ ✭✷✳✸✽✮✱ K ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✸✻✮✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t ữợ ❜➔✐ t♦→♥ min{ρf (x, y) + ∥y − x∥2 } y∈K ❚❤✉➟t t♦→♥ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư ▼❆❚▲❆❇ ❖♣✐t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❚♦♦❧❜♦①✳ ❚❤❡♦ ✭✷✳✸✽✮✱ f (x, ) ❧➔ ❤➔♠ t ữỡ ỗ t õ t ✤÷đ❝✳ ❳➨t ♠❛ tr➟♥ 1.6 0 1.6 0 Q= 0 1.5 0 ; 0 1.5 0 0 3.1 0 3.6 0 P = 0 3.5 0 0 3.3 0 0 ✷✾ ❱ỵ✐ q = (1, −2, −1, 2, −1)T ✱ K = {x ∈ R | a1 = a2 = ∥P X i=1 xi ≥ −1, −5 ≤ xi ≤ 5, i = 1, , 5}, − Q∥ = 1.4525, ρ = a1 = 0.7262✱ x0 = (1, 3, 1, 1, 2)T ✈➔ ε = 10−3 t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❜↔♥❣ ữợ s t t xk2 xk3 xk4 xk5 ✶ ✸ ✶ ✶ ✶ ✶ ✲✵✳✸✹✹✶✺ ✶✳✺✾✷✸✻ ✵✳✻✽✼✹✷ ✲✵✳✶✺✹✷✼ ✵✳✻✸✹✺✽ ✷ ✲✵✳✻✼✶✾✺ ✶✳✶✵✸✾✸ ✵✳✻✺✵✶✻ ✲✵✳✺✼✽✼✷ ✵✳✸✵✺✻✷ ✸ ✲✵✳✼✸✼✼✺ ✵✳✾✷✸✺✶ ✵✳✻✻✼✹✷ ✲✵✳✼✹✹✺✾ ✵✳✷✷✺✻✼ ✹ ✲✵✳✼✹✷✸✻ ✵✳✽✺✸✹✶ ✵✳✻✽✼✽✺ ✲✵✳✽✶✷✻✶ ✵✳✷✵✻✷✹ ✺ ✲✵✳✼✸✻✻✽ ✵✳✽✷✹✽✻ ✵✳✼✵✶✾✺ ✲✵✳✽✹✶✽✹ ✵✳✷✵✶✺✷ ❦ x ✵ k ◆❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ t❤✉ ✤÷đ❝ s❛✉ ✶✵ ữợ x10 = (0.72567, 0.80354, 0.71931, 0.86598, 0.20000)T ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ t❤✉ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉✿ ✶✮ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ỡ t ỗ ữ t ỗ ỗ ỗ r t ỡ ❝õ❛ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ✸✮ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ✹✮ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ♠ët ❝→❝❤ ❝❤✐ t✐➳t ❤❛✐ t❤✉➟t t♦→♥ ✤↕♦ ❤➔♠ t➠♥❣ ❝÷í♥❣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ✺✮ ❚r➻♥❤ ❜➔② sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❤❛✐ t❤✉➟t t♦→♥ ♥➔② ✈➔ ♠ët ✈➼ ❞ö sè ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ t❤✉➟t t♦→♥✳ ✸✵ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ❚r➛♥ ❱ô ❚❤✐➺✉✱ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤✉ ❚❤õ② ●✐→♦ tr➻♥❤ tè✐ ÷✉ ♣❤✐ t✉②➳♥✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ●✐❛ ❍➔ ◆ë✐✱ ✷✵✶✶✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✷❪ ❇✐❣✐ ●✳✱ ❈❛st❡❧❧❛♥✐ ▼✳✱ P❛♣♣❛❧❛r❞♦ ▼✳✱ P❛ss❛❝❛♥t❛♥❞♦ ▼✳ ✭✷✵✶✾✮✱ ◆♦♥❧✐♥✲ ❡❛r Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ❚❡❝❤♥✐q✉❡s ❢♦r ❊q✉✐❧✐❜r✐❛✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ◆❛t✉r❡ ❙✇✐t③❡r❧❛♥❞✳ ❬✸❪ ❈♦❤❡♥ ●✳ ✭✶✾✽✵✮✱ ✏❆✉①✐❧✐❛r② ♣r♦❜❧❡♠ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ❛♥❞ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ♦♣✲ t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✑✱ ❏✳ ❖♣t✐♠✳ ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✸✷✱ ✷✼✼✲✸✵✺✳ ❬✹❪ ❋❛❝❝❤✐♥❡✐ ❋✳✱ P❛♥❣ ❏✳❙✳ ✭✷✵✵✸✮✱ ❋✐♥✐t❡ ❉✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ ❈♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② Pr♦❜❧❡♠s✱ 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