Bất đẳng thức trên thang thời gian

i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Tạ Duy Phượng, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thơm ii LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành nhờ nỗ lực cố gắng nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phượng, thầy, cô giáo hội đồng bảo vệ đóng góp bạn nhóm Trong trình nghiên cứu tác giả kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan số liệu, kết nghiên cứu luận văn trung thực, giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thơm iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chương Giải tích thang thời gian 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian 1.1.2 Các khái niệm 1.2 Phép toán vi phân 1.2.1 Định nghĩa hàm qui 1.2.2 Định nghĩa hàm rd-liên tục 1.2.3 Định nghĩa đạo hàm .6 1.2.4 Các tính chất đạo hàm 1.3 Phép toán tích phân 1.3.1 Tồn tiền-nguyên hàm 1.3.2 Nguyên hàm 1.3.3 Bảng tổng kết so sánh Chương Bất đẳng thức thang thời gian .10 2.1 Bất đẳng thức Hölder, Cauchy- Schwarz Minkowski 10 2.2 Bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli Bihari 15 2.3 Bất đẳng thức Opial Wirtinger 23 2.4 Bất đẳng thức Jensen 31 2.5 Bất đẳng thức Lyapunov 32 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Năm 1988, luận án Tiến sĩ (dưới hướng dẫn Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nghiên cứu hệ động lực liên tục (hệ phương trình vi phân) hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai phân), Stefan Hilger đưa khái niệm thang thời gian Từ tới nay, có số sách, hàng chục luận án Tiến sĩ hàng nghìn báo nghiên cứu giải tích (phép toán vi phân tích phân) hệ động lực thang thời gian Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt chất thực tế, tính liên tục tính rời rạc Trong toán học, thang thời gian cho phép nghiên cứu thống nhiều mô hình khác (liên tục rời rạc) khái niệm công cụ Giải tích thang thời gian hệ động lực thang thời gian nhiều nhóm nhà toán học nước (GS Nguyễn Hữu Dư học trò, PGS Đặng Đình Châu, ) nước (Đức, Mỹ, Nga, Trung Quốc, ) quan tâm nghiên cứu Đã có số viết ứng dụng thang thời gian nghiên cứu kinh tế vĩ mô, áp dụng vào toán trò chơi, hệ sinh thái, toán tối ưu phép tính biến phân, Các bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng nghiên cứu hệ động lực liên tục hệ động lực rời rạc Hầu hết bất đẳng thức mở rộng sang cho thang thời gian Với mong muốn tìm hiểu vấn đề thời giải tích, đồng thời so sánh bất đẳng thức vi phân sai phân với bất đẳng thức thang thời gian, chọn Bất đẳng thức thang thời gian làm đề tài luận văn cao học .2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trình bày chứng minh bất đẳng thức thang thời gian khuôn khổ luận văn cao học Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu trình bày chi tiết chứng minh bất đẳng thức thang thời gian luận văn cao học Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức thang thời gian Phạm vi nghiên cứu: Các sách, báo tài liệu tiếng Anh viết bất đẳng thức thang thời gian Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức công cụ giải tích giải tích hàm để tiếp cận giải vấn đề Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp trình bày tài liệu có liên quan, đặc biệt báo tiếng Anh vấn đề mà luận văn đề cập tới Đóng đóng góp luận văn Cố gắng xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan tham khảo tốt cho sinh viên học viên cao học bất đẳng thức thang thời gian Chương Giải tích thang thời gian 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian Thang thời gian tập đóng T khác rỗng tập hợp số thực ℝ ∞ Ví dụ: Các tập ℝ, ℤ, ℕ, ℕ , T = ∪ [ 2k, 2k + 1] thang thời gian; k =0 Các tập ℚ, ℝ \ ℚ, ℂ, [ 0;1) thang thời gian Ta giả thiết thang thời gian T trang bị tôpô cảm sinh từ tôpô không gian số thực, nghĩa tập mở T giao tập mở ℝ với T Các khái niệm lân cận, giới hạn, hiểu lân cận, giới hạn tôpô cảm sinh 1.1.2 Các khái niệm Cho T thang thời gian, với t ∈ T ta có định nghĩa sau 1.1.2.1 Toán tử nhảy tiến (forward jump) toán tử σ : T → T xác định bởi: σ(t) := inf { s ∈ T, s > t } Hàm µ : T → T xác định µ(t) = σ(t) − t, t ∈ T gọi hàm hạt (graininess) thang thời gian T Toán tử nhảy lùi (backward jump) toán tử ρ : T → T xác định bởi: ρ(t) := sup { s ∈ T, s < t } 1.1.2.2 Một số thuật ngữ định nghĩa quan trọng t điểm phân tán phải t < σ(t) t right-scattered t điểm trù mật phải t = σ(t) T right-dense t điểm phân tán trái ρ(t) < t T left-scattered t điểm trù mật trái ρ(t) = t T left-dense t điểm cô lập ρ(t) < t < σ(t) T isolated t điểm trù mật ρ(t) = t = σ(t) T dense 1.2 Phép toán vi phân 1.2.1 Định nghĩa hàm qui Hàm f : T → ℝ gọi qui giới hạn phải tồn (hữu hạn) điểm trù mật phải T giới hạn trái tồn (hữu hạn) điểm trù mật trái T 1.2.2 Định nghĩa hàm rd-liên tục Hàm f : T → ℝ gọi rd-liên tục liên tục điểm trù mật phải T giới hạn trái tồn (hữu hạn) điểm trù mật trái T Không gian hàm rd-liên tục kí hiệu kí hiệu sau: C rd = Crd (T)= Crd (T, ℝ ) Thí dụ: Hàm σ rd-liên tục T \ {supT} , supT < +∞; Kí hiệu T κ :=  supT = +∞ T, Hàm rd-liên tục f : T → ℝ gọi hồi qui (regressive) + µ(t)f (t) ≠ với t ∈ T Tập tất hàm rd-liên tục thỏa mãn + µ(t)f (t) > với t ∈ T kí hiệu ℜ+ Với hai hàm hồi qui p,q : T → ℝ ta xác định phép toán p ⊕ q := p + q + µ pq; Θ p := − p 1+ µ p ; p Θ q := p ⊕ ( Θ q ) Nhận xét tập tất hàm rd-liên tục hồi qui với phép toán cộng ⊕ tạo thành nhóm Abel 1.2.3 Định nghĩa đạo hàm Giả sử f : T → ℝ t ∈ T κ Delta đạo hàm (đạo hàm Hilger) hàm f điểm t ∈ T κ số (nếu tồn tại), kí hiệu f ∆ (t) , với ε > cho trước tồn lân cận U t (nghĩa là, U = ( t − δ, t + δ ) ∩ T với δ đó) cho:  f ( σ ( t ) ) − f (s)  − f ∆ (t) [ σ(t) − s ] ≤ ε σ(t) − s với s ∈ U Hàm f gọi ∆ -khả vi (ngắn gọn, khả vi) T κ có đạo hàm điểm t ∈ T κ 1.2.4 Các tính chất đạo hàm Định lí 1.1 Xét hàm số f : T → ℝ t ∈ T κ Khi ta có: 1) Nếu f ∆ -khả vi t ∈ T κ f liên tục t 2) Nếu f liên tục t ∈ T κ t điểm cô lập phải f ∆ -khả vi t ∈ T κ f ∆ (t) = f (σ(t)) − f (t) µ(t) 3) Nếu t ∈ T κ điểm trù mật phải f ∆ -khả vi t ∈ T κ tồn giới hạn hữu hạn lim s →t f (t) − f (s) f (t) − f (s) f ∆ (t) = lim s→ t t −s t −s 4) Nếu f ∆ -khả vi t ∈ T κ f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f ∆ (t) Nhận xét 2.1 Từ Định lí 1.1 ta có 1) Nếu T = ℝ điểm t ∈ ℝ điểm trù mật phải Do f ∆ -khả vi t ∈ ℝ tồn giới hạn hữu hạn lim s →t f ∆ (t) = lim s→t f (t) − f (s) t −s f (t) − f (s) = f ′(t) , tức ∆ -đạo hàm trùng với đạo hàm thông t −s thường 2) Nếu T = ℤ điểm t ∈ ℤ điểm cô lập Do f ∆ -khả vi điểm t ∈ ℤ f ∆ (t) = f (t + 1) − f (t) , tức ∆ -đạo hàm trùng với sai phân f t Định lí 1.2 Cho hàm số f : T → ℝ g : T → ℝ hàm ∆ -khả vi t ∈ T κ Khi ta có: ∆ 1) Hàm f + g ∆ -khả vi t ∈ T κ ( f + g ) (t) = f ∆ (t) + g ∆ (t) 2) Hàm fg ∆ -khả vi t ∈ T κ ( fg ) ∆ (t) = f ∆ (t)g(t) + f (σ(t))g ∆ (t) = f (t)g ∆ (t) + f∆(t))g(σ(t)) 31 b b b = ∫ M y 2y − µy ∆t ≤ ∫ M y y ∆t + ∫ µM ( y ∆ ) ∆t ∆ σ ∆ ∆ a a MM σ ∆ y M∆ b = 2∫ a  MM ≤ ∫ ∆  a M b Đặt C = σ (y ) ∆ 2 σ a M µM ∆ MM σ ∆ ∆ σ M y ∆t + ∫ σ ( y ) ∆t Mσ M M∆ a b   b M 2 ∆t   ∫ σ M ∆ ( y σ ) ∆t  + β B ≤ α AB + β B M    a A , ta C − 2αC − β ≤ B Giải phương trình với C ≥ ta được: ( A = C2 ≤ α + α + β B ) = Ψ Thay trở lại ta điều phải chứng minh 2.4 Bất đẳng thức Jensen Chứng minh bất đẳng thức Jensen thang thời gian gần với chứng minh bất đẳng thức Jensen cổ điển Nếu T= ℝ bất đẳng thức Jensen trình bày bất đẳng thức Jensen cổ điển Nhưng T= ℤ trở thành bất đẳng thức quen thuộc trung bình cộng trung bình nhân Định lí 2.4.1 (Bất đẳng thức Jensen, xem [2], trang 7) Cho a, b ∈T c, d ∈ℝ Nếu g:[ a,b ] → ( a,d ) rd- liên tục F : ( c, d ) → ℝ liên tục lồi b  b  ∫ g ( t ) ∆t  ∫ F ( g ( t ) ) ∆t ≤ a F a  b−a  b−a     Chứng minh 32 Lấy x ∈ ( c,d ) tồn β∈ℝ cho: F ( x ) − F ( x ) ≥β ( x − x ) (2.4.1) với x ∈ ( c,d ) b Từ g ∈ C rd suy tồn x = ∫ g ( τ ) ∆τ a hàm F g hàm rd- liên tục b−a Do ta áp dụng công thức (2.4.1) với x = g(t) lấy tích phân từ a đến b ta : b   ∫ g ( τ ) ∆τ  b b ∫a F ( g ( t ) ) ∆t − ( b − a ) F  a b − a  = ∫a F ( g ( t ) ) ∆t − ( b − a ) F ( x )     b b = ∫  F ( g ( t ) ) − F ( x )  ∆t ≥ β ∫  g ( t ) − x  ∆t a a   = β  ∫ g ( t ) ∆t − x ( b − a )  a  = b □ 2.5 Bất đẳng thức Lyapunov (xem [7], trang 271-278) Bất đẳng thức Lyapunov chứng tỏ công cụ hữu ích lí thuyết hệ động lực, toán giá trị riêng nhiều ứng dụng khác lí thuyết phương trình vi phân sai phân Trong phần chứng minh tìm hiểu số ứng dụng bất đẳng thức Lyapunov thang thời gian Trong suốt trình ta giả sử có a, b ∈T a < b Giả sử T thang thời gian bất kỳ, hàm q : T → ℝ rd-liên tục có q(t) > với t ∈ T, xét phương trình động lực Sturm- Liouville, 33 x ∆∆ q ( t ) x σ = (2.5.1) Cùng với hàm bậc hai { b F( x ) = ∫ ( x∆ ) − q ( xσ ) a 2 }( t ) ∆t, để chứng minh bất đẳng thức Lyapunov cho ( 2.5.1), cần đến hai kết phụ trợ sau Bổ đề 2.5.1 Nếu x nghiệm (2.5.1) F(y) xác định F ( y ) − F ( x ) = F ( y − x ) + ( y − x )( b ) x ∆ ( b ) − ( y − x )( a ) x ∆ ( a ) Chứng minh Theo giả thiết ta có b F ( y ) − F ( x ) − F ( y − x ) = ∫ {( y ∆ ) − q ( yσ ) − ( x ∆ ) + q ( x σ ) 2 2 a − ( y∆ − x b ) ∆ + q ( yσ − x ) }( t ) ∆t σ = ∫ { ( y ∆ ) − q ( y σ ) − ( x ∆ ) + q ( x σ ) − ( y ∆ ) + 2y ∆ x ∆ − ( x ∆ ) 2 2 2 a +q ( y ) σ − 2qy x + q ( x σ σ ) } ( t ) ∆t = ∫ { y x b σ ∆ − qyσ x σ + q ( x σ ) − ( x ∆ ) ∆ a b { = 2∫ y x − y x a b ∆ ∆ σ ∆∆ σ +x x ∆∆ − (x ) }( t ) ∆t = ∫ {yx ∆ b ∆ } ( t ) ∆t − xx ∆ } ∆t ∆ a = ∫ {( y − x ) x ∆ } ∆t = ( y ( b ) − x ( b ) ) x ∆ ( b ) − ( y ( a ) − x ( a ) ) x ∆ ( a ) ∆ □ a Bổ đề 2.5.2 Nếu F(y) xác định với r , s ∈ T mà a ≤ r < s ≤ b , ta có 34 s ∫ ( y ( t )) ∆ ( y (s ) − y ( r )) ∆t ≥ s−r r Chứng minh Với giả thiết ta xác định x(t) = y (s ) − y ( r ) sy ( r ) − ry ( s ) t+ s−r s−r Từ ta có x ( r ) = y ( r ) , x (s ) = y (s ) , x ∆ ( t ) = y (s) − y ( r ) , x ∆∆ ( t ) = s−r Do x nghiệm phương trình Sturm- Liouville (2.5.1) với q=0, áp dụng Bổ đề 2.5.1 với s F0 ( x ) = ∫ ( x ∆ ) ( t ) ∆t r ta F0 ( y ) = F0 ( x ) + F0 ( y − x ) + ( y − x )( s ) x ∆ ( s ) − ( y − x )( r ) x ∆ ( r )  y (s ) − y ( r )  = F0 ( x ) + F0 ( y − x ) ≥ F0 ( x ) = ∫   ∆t s r −  s  r ( y (s ) − y ( r )) = s−r 2 □ Sử dụng Bổ đề 2.5.2 ta chứng minh bất đẳng thức Lyapunov cho phương trình Sturm- Liouville dạng (2.5.1) Định lí 2.5.1 (Bất đẳng thức Lyapunov phương trình động lực SturmLiouville) Cho q: T → ( 0, ∞ ) hàm nhận giá trị dương rd- liên tục Nếu 35 phương trình động lực Sturm-Liouville (2.5.1) có nghiệm không tầm thường x thỏa mãn điều kiện biên x(a) = x(b) = 0, bất đẳng thức Lyapunov b ( 2.5.2) ∫ q ( t ) ∆t ≥ a b−a f (d) Trong f :T → ℝ xác định f(t) = (t-a) (b-t) d∈ T cho a+b a+b − d = dist ( ,T) 2 Chứng minh Giả sử x nghiệm không tầm thường phương trình (2.5.1) thỏa mãn điều kiện biên x(a) = x(b) = Từ Bổ đề 2.5.1 (với y = 0) ta có: b { F( x ) = ∫ ( x∆ ) − q ( xσ ) a 2 }( t ) ∆t = Từ x nghiệm không tầm thường, nên M xác định công thức (2.5.3) M = max { x ( t ): t ∈ [ a, b ] ∩ T} dương Chọn c ∈ [ a,b ] ∩ T cho x ( c ) = M Áp dụng hai lần Bổ đề 2.5.2 (lần thứ với r =a s = c lần thứ hai với r = c s = b ) ta 36 b b a a { M ∫ q ( t ) ∆t ≥ ∫ q ( x c = ∫(x a ) } ( t ) ∆t = ∫ ( x ) ( t ) ∆t b σ b a ) ( t ) ∆t + ∫ ( x ) ( t ) ∆ ∆ ∆ ( x (c) − x ( a )) ∆t ≥ c−a c ( x ( b) − x (c)) + b−c  b−a b−a  = x2 (c)  + ≥M = M f (c) f (d) c − a b − c  Bất đẳng thức cuối f ( d ) = max {f ( t ) : t ∈[ a, b ]} Định lí chứng minh Một áp dụng Định lí 2.5.3 chứng minh tính liên hợp phương trình (2.5.1) Ta có Định lí 2.5.2 (Điều kiện đủ cho tính liên hợp phương trình (2.5.1)) Nếu q thỏa mãn bất đẳng thức b (2.5.4) ∫ q ( t ) ∆t a < b−a f (d) phương trình (2.5.1) liên hợp [a, b] Chứng minh Giả thiết q thỏa mãn bất đẳng thức (2.5.4) giả sử ngược lại phương trình (2.5.1) không liên hợp [a,b] Khi tồn nghiệm không tầm thường x mà x ( a ) = x ( b ) = cho F ( x ) ≤ Với nghiệm x này, ta đặt M = max { x ( t ): t ∈ [ a, b ] ∩ T} Theo Bổ đề 2.5.2 ta có 37 b M ∫ q ( t ) ∆t ≥ a ∫{ b q(x ) }( t ) ∆t ≥ ∫ ( x ) ( t ) ∆t ≥ b σ a ∆ a M(b − a ) f (d) Chia hai vế bất đẳng thức cho M > ta b ∫ q ( t ) ∆t ≥ a b−a f (d) Điều mâu thuẫn với giả thiết q thỏa mãn bất đẳng thức (2.5.4) Do điều giả sử sai Tức phương trình (2.5.1) có tính liên hợp □ Chú ý 2.5.1 Trong hai điều kiện (2.5.2) (2.5.4) ta thay (b − a) f (d) mà Định lí 2.5.3 Định lí 2.5.4 Có điều b−a với a ≤ c ≤ b ta có: 1 ( a + b − 2c ) 4 + = + ≥ c − a b − c ( b − a )( c − a )( b − c ) b − a b − a Bây ta chuyển sang nghiên cứu bất đẳng thức Lyapunov hệ động lực tuyến tính Hamilton (2.5.5) x ∆ = A ( t ) x σ + B ( t ) u; u ∆ = −C ( t ) x σ − A* ( t ) u A, B, C ∈Crd hàm ma trận cấp n × n T cho I − µ ( t ) A ( t ) khả nghịch B(t), C(t) nửa xác định dương T Cặp (x, u) gọi chấp nhận thỏa mãn phương trình x ∆ = A ( t ) x σ + B ( t ) u Phiếm hàm bậc hai tương ứng cho 38 F ( x, u ) = ∫{ b } u *Bu − ( x σ ) Cx σ ( t ) ∆t * a Bổ đề 2.5.3 Nếu (x, u) nghiệm hệ (2.5.5) (y, v) nghiệm chấp nhận * * F ( y, v ) − F ( x,u ) = F ( y − x, v − u ) + 2Re ( y − x ) ( b ) u ( b ) − ( y − x ) ( a ) u ( a )    Chứng minh Với giả thiết ta có: b F ( y, v ) − F ( x,u ) − F ( y − x, v − u ) = ∫ {v*Bv − ( y σ ) Cy σ − u *Bu * a * * * + ( x σ ) Cx σ − ( v − u ) B ( v − u ) − ( y σ − x σ ) C ( y σ − x σ )  ( t ) ∆t   b { } = ∫ −2u *Bu + v*Bu + u *Bv + ( x σ ) Cx σ − ( y σ ) Cx σ − ( x σ ) Cy σ ( t ) ∆t a b * * * { } * * = ∫ −2u *Bu + Re  u *Bv  + ( x σ ) Cx σ − Re ( yσ ) Cx σ  ( t ) ∆t   a { = Re ∫ {u ( y − Ay − x b = Re ∫ u * ( Bv − Bu ) + ( x σ ) − ( y σ )  a * b * a ∆ σ ∆ * }  Cx σ ( t ) ∆t  + Ax σ ) + ( x σ ) − ( y σ )  * * }   − u ∆ − A * u  ( t ) ∆t    39 b { } * * = Re ∫ u * ( y ∆ − x ∆ ) + ( yσ − x σ ) u ∆ + 2i Im  u *Ax σ + ( yσ ) A*u  ( t ) ∆t   a { = Re ∫ {u ( y b }( t ) ∆t − x )} ( t ) ∆t = Re ∫ u* ( y ∆ − x ∆ ) + ( y σ − x σ ) u ∆ * a b * ∆ − x ∆ ) + ( u ∆ ) ( yσ * a b { = Re ∫  u * ( y − x )  a ∆ σ } ( t ) ∆t { } = 2Re u * ( b )  y ( b ) − x ( b )  − u* ( a )  y ( a ) − x ( a )  { } = Re [ y − x ] ( b ) u ( b ) − [ y − x ] ( a ) u ( a ) * * □ Kí hiệu W( , r) nghiệm toán giá trị ban đầu W ∆ = − A* ( t ) W , W ( r ) = I, r ∈ [ a,b ] , W ( t,r ) = e − A* ( t,r ) Chú ý W xác định giả thiết tính khả nghịch I − µA W ( t, r ) ≡ I A ( t ) ≡ Đặt s F ( s,r ) := ∫ W * ( t,r ) B ( t ) W ( t, r ) ∆t r Bổ đề 2.5.4 Cho W F xác định Nếu (y,v) nghiệm chấp nhận r, s∈ T, thỏa mãn điều kiện a ≤ r < s ≤ b cho F ( s,r ) khả nghịch s ∫ ( v Bv ) ( t ) ∆t ≥  W ( s,r ) y ( s ) − y ( r ) * r Chứng minh Đặt * * F−1 ( s,r )  W * ( s, r ) y ( s ) − y ( r )  40 x ( t ) = W* −1 ( t, r ){y ( r ) + F ( t, r ) F−1 ( s,r )  W* ( s,r ) y ( s ) − y ( r ) } u ( t ) = W ( t, r ) F−1 ( s,r )  W * ( s,r ) y ( s ) − y ( r )  Từ ta có x ( r ) = y ( r ) , x ( s ) = y ( s ) , u ∆ ( t ) = − A* ( t ) u ( t ) , ( σ ( t ) , r ) ( W ( t, r ) ) x ( t ) + W ( σ ( t ) ,r ) W ( t, r ) B ( t ) u ( t ) = W ( σ ( t ) ,r ) W ( t,r ) A ( t ) x ( t ) + W ( σ ( t ) ,r ) W ( t, r ) B ( t ) u ( t ) =  W ( t,r ) W ( σ ( t ) , r )   A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t )  x ∆ ( t ) = − W* −1 * ∆ *−1 * −1 *−1 * *−1 * * Nhưng W ( t,r ) W −1 ( σ ( t ) ,r ) =  W ( σ ( t ) , r ) − µ ( t ) W ∆ ( t, r )  W −1 ( σ ( t ) , r ) = I + µ ( t ) A* ( t ) W ( t, r ) W −1 ( σ ( t ) , r ) Và  I − µ ( t ) A* ( t )  W ( t,r ) W −1 ( σ ( t ) , r ) = I Vậy  I − µ ( t ) A ( t )  x ∆ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) Suy x ∆ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + µ ( t ) A ( t ) x∆ ( t ) + B( t ) u ( t ) = A ( t ) x σ ( t ) + B ( t ) u ( t ) Do (x, u) nghiệm hệ Hamilton đặc biệt với C = 41 s Áp dụng Bổ đề 2.5.3 với F0 ( x,u ) = ∫ ( u *Bu ) ( t ) ∆t ta r { } F0 ( y,v) = F0 ( x,u) + F0 ( y − x,v − u) + 2Re u* ( s) y( s) − x( s)  − u* ( r) y( r) − x( r) s = F0 ( x,u) + F0 ( y − x,v − u) ≥ F( x,u) = ∫( u*Bu) ( t) ∆t r = W* ( s,r) y( s) − y( r)  F ( r,s) W* ( s,r) y( s) − y( r)  * −1 □ Chú ý 2.5.2 Giả thiết sử dụng Bổ đề 2.5.4 F(s, r) khả nghịch với r < s bỏ trường hợp B xác định dương thay cho giả thiết cũ B nửa xác định dương Định lí 2.5.3 (Bất đẳng thức Lyapunov hệ Hamilton) Giả sử hệ Hamilton (2.5.5) có nghiệm không tầm thường (x, u) thỏa mãn điều kiện biên x(a)=x(b)=0 W F xác định giả sử F(b,c), F(c,a) khả nghịch, x ( c ) = max x ( t ) Cho λ giá trị lớn t∈[ a,b ] b F = ∫ W * ( t,c ) B ( t ) W ( t,c ) ∆t a ν ( t ) giá trị lớn C(t), ta có bất đẳng thức b ∫ ν ( t ) ∆t ≥ λ a Chứng minh Giả sử ta có (x, u) nghiệm hệ (2.5.5) thỏa mãn x(a)=x(b)=0 Áp dụng Bổ đề 2.5.4 với y = v = ta 42 b ( ) Cx }( t ) ∆t = { F ( x, u ) = ∫ u *Bu − x a * σ σ Lại áp dụng Bổ đề 2.5.7 hai lần (lần thứ với r = a s = c, lần thứ hai với r=c s = b ) ta b b c b ( x σ )* Cx σ  ( t ) ∆t = ( u *Bu ) ( t ) ∆t = ( u*Bu ) ( t ) ∆t + ( u*Bu ) ( t ) ∆t ∫a  ∫a ∫a ∫c  ≥ x * ( c ) W ( c,a ) F−1 ( c,a ) W * ( c,a ) x ( c ) + x * ( c ) F−1 ( b,c ) x ( c ) = x * ( c )  F−1 ( b,c ) − F−1 ( a,c )  x ( c ) ≥ 4x* ( c ) F−1x ( c ) Áp dụng định lý Rayleigh- Ritz ta b b ∫ ν ( t ) ∆t ≥ ∫ ν ( t ) a ≥ a b x (c) x (c) 2 ∆t = * b ν t x σ ( t ) ) x σ ( t ) ∆t ∫ ( )( x (c) ∫ ( x ( t ) ) C ( t ) x ( t ) ∆t ≥ σ xσ ( t ) a σ a * x (c) 4x * ( c ) F−1x ( c ) x *F−1x ≥ * = x ≠0 xx λ □ Định lí 2.5.4 (Điều kiện đủ cho tính liên hợp hệ phương trình (2.5.5)) Với b kí hiệu Định lí 2.5.3 Nếu ∫ ν ( t ) ∆t < a hệ phương trình λ (2.5.5) liên hợp [a, b] Định lý 2.5.5 Giả sử (2.5.5) có nghiệm (x, u) thỏa mãn x nghiệm không tầm thường x(a)=x(b)=0 Với kí hiệu Định lí 2.5.3 bất đẳng b thức Lyapunov ∫ ν ( t ) ∆t ≥ a Chứng minh λ 43 Giả sử (2.5.5) có nghiệm (x, u) thỏa mãn x nghiệm không tầm thường x(a)=u(b)=0 với a