Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ VĂN NHÂN BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Ngun – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ VĂN NHÂN BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng Thái Nguyên – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC MỞ ĐẦU .2 Chương Giải tích thang thời gian 1.1 Thang thời gian……………………………………………………… 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian…………………………………… …4 1.1.2 Các định nghĩa bản………………………………………… 1.2 Không gian tôpô …………………………………………… ……….9 1.3 Hàm qui hàm rd-liên tục 11 1.4 Phép toán vi phân .13 1.4.1 Định nghĩa đạo hàm Hilger……………………………… … 13 1.4.2 Tính chất đạo hàm Hilger ………………………… ………15 1.4.3 Đạo hàm cấp cao………… ………………………… ……… 17 1.5 Phép tốn tích phân…………………………………………… … 19 1.5.1 Tồn tiền nguyên hàm………………………………… …….19 1.5.2 Nguyên hàm……………………………………………….…… 19 1.5.3 Quy tắc xích…………………………………………….……… 21 Chương Bất đẳng thức thang thời gian………………………………25  2.1 Các bất đẳng thức Holder, Cauchy- Schwarz, Minkowski 25 2.2 Bất đẳng thức Jensen…………………….…… ………… …………29 2.3 Các bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli, Bihari…………………… ….31 2.4 Các bất đẳng thức Opial, Wirtinger……………….………………… 40 2.5 Bất đẳng thức Lyapunov………………………………… … ………46 2.6 Một số bất đẳng thức khác………………….……………… ……… 59 KẾT LUẬN…………………………………………………………………….84 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….85 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý thuyết thang thời gian (time scale) trình bày lần Stefan Hilger vào năm 1988 luận án Tiến sĩ khoa học ông (dưới hướng dẫn Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nghiên cứu tốn mơ tả hệ liên tục rời rạc Cho đến có số sách, hàng chục luận án Tiến sĩ hàng nghìn báo nghiên cứu thang thời gian Giải tích (phép tính vi phân tích phân) thang thời gian tác giả nghiên cứu sâu rộng đầy đủ Và từ nhiều kết quen thuộc trường hợp liên tục rời rạc “chuyển dịch” sang thang thời gian Chẳng hạn, có kết sâu sắc tính ổn định, tính dao động, tốn giá trị biên,…của hệ động lực thang thời gian Các bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng tốn học nói chung, nghiên cứu hệ động lực liên tục hệ động lực rời rạc nói riêng Hầu hết bất đẳng thức mở rộng sang cho thang thời gian Với mong muốn tìm hiểu vấn đề mà thời gian gần nhiều nhà toán học quan tâm thang thời gian, đồng thời so sánh bất đẳng thức vi phân sai phân với bất đẳng thức thang thời gian, để từ có nhìn tổng qt bất đẳng thức, chọn Bất đẳng thức thang thời gian Ứng dụng làm đề tài luận văn cao học Luận văn gồm phần Mở đầu, hai chương, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Trong chương 1, nhắc lại khái niệm thang thời gian, khái niệm toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lùi, hàm hạt, điểm trù mật điểm cô lập; khái niệm tính chất phép tính vi phân, tích phân thang thời gian đối chiếu kết số thang thời gian thường gặp Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương chúng tơi trình bày bất đẳng thức quan trọng  thang thời gian Bất đẳng thức Holder , Bất đẳng thức Gronwall, Bất đẳng thức Bihari, Bất đẳng thức Opial, Bất đẳng thức Wirtinger, Bất đẳng thức Lyapunov số bất đẳng thức khác; đồng thời tham chiếu bất đẳng thức trường hợp thang thời gian liên tục thang thời gian rời rạc Để hoàn thành luận văn này, trước tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Tạ Duy Phượng, người thầy dành thời gian hướng dẫn, tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học, Phịng Đào tạo, Khoa Tốn-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin cảm ơn Trường trung học phổ thông Quảng Hà, Tỉnh Quảng Ninh, nơi công tác, tạo điều kiện để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến người thân, đồng nghiệp người bạn tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Người thực Đỗ Văn Nhân Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian Định nghĩa 1.1 Thang thời gian (time scale) tập đóng khác rỗng tập hợp số thực  Thang thời gian thường kí hiệu  Ví dụ 1.1 1.1.1) Các tập , , ,  , [1;2]  [3;4], [1;2]    tập số tự nhiên,   1,2,3,  , 0  0,1,2,  thang thời gian  1.1.2) Các tập     2k , 2k  1 , k  0,k0    02  n2 : n   ,   2z : z       thang thời gian 1.1.3) Cho q  số hữu tỉ cố định Khi tập hợp q  q n : n    1, q, q , q , thang thời gian     1.1.4) Cho n   , số điều hòa H n xác định sau n H  0, H n   k 1 k Khi    H n : n  0  thang thời gian 1.1.5) Các tập ,  \ ,  0;1 thang thời gian chúng nằm  khơng phải tập đóng  1.1.6) Mặt phẳng phức  khơng phải thang thời gian tập đóng khơng nằm  Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Hai thang thời gian quan trọng thường gặp chứng minh trước tập số thực  tập số nguyên  1.1.2 Các định nghĩa Định nghĩa 1.2 Cho  thang thời gian, với t   ta có định nghĩa sau: Toán tử nhảy tiến (forward jump) toán tử  :    xác định  (t ) : inf s  , s  t Toán tử nhảy lùi (backward jump) toán tử  :    xác định  (t ) : sups  , s  t Trong định nghĩa quy ước inf : sup sup : inf ,  tập hợp rỗng Ví dụ 1.2 1.2.1) Cho thang thời gian t   Khi với t   ta có  (t )  inf s   : s  t  inf  t ,    t Tương tự,  (t )  sup s   : s  t  sup  , t   t Như vậy,  (t )   (t )  t với t   1.2.2) Cho thang thời gian    Khi với t   ta có  (t )  inf s   : s  t  inf t  1, t  2, t  3,   t  Tương tự  (t )  t  với t   1 n  1.2.3) Cho thang thời gian    : n    Ta có  (t )  t   (t )  t  2 2  Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.2.4) Cho thang thời gian    02  n : n   Nếu t   tồn số n    cho t  n hay  t  n Ta có:  (t )   (n )   n  1    t 1 2  (t )   (n )   n  1    t 1 1.2.5) Cho thang thời gian   2z : z   Nếu t   tồn số z     cho t  z  hay z  log t Ta có:  (t )   (2 z )  z 1  2log t 1  2t  (t )   (2 z )  z 1  2log t 1  t Định nghĩa 1.3 Cho  thang thời gian Điểm t   gọi điểm cô lập phải (right-scattered) t   (t ) Điểm t   gọi điểm cô lập trái (left-scattered)  (t )  t Điểm t   gọi điểm cô lập (isolated)  (t )  t   (t ) Ví dụ 1.3 1.3.1) Cho thang thời gian    điểm t   điểm cô lập n  1.3.2) Cho thang thời gian    : n    (xem ví dụ 1.2.3) Ta có điểm t  2  điểm cô lập phải, t   , t  điểm cô lập 1.3.3) Cho thang thời gian   2z : z     (xem ví dụ 1.2.5) Ta có t   (t )  t   (t )  2t với t   Do điểm t   điểm lập Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.4 Cho  thang thời gian Điểm t   gọi điểm trù mật phải (right-dense) t   (t ) Điểm t   gọi điểm trù mật trái (left-dense)  (t )  t Điểm t   gọi điểm trù mật (dense)  (t )  t   (t ) Ví dụ 1.4 1.4.1) Cho thang thời gian    điểm t   điểm trù mật 1.4.2) Cho thang thời gian     [2k ,2k  1] Ta có k  0,k Nếu t  (2k ,2 k  1)  (t )  t   (t ) nên t điểm trù mật Nếu t  2k   (t )  t   2k   t  (t )  t nên t điểm cô lập phải điểm trù mật trái Nếu t  2k  (t )  t  2k  (t )  t   2k   t nên t điểm cô lập trái điểm trù mật phải 1.4.3) Cho thang thời gian    H n : n  0  (Xem ví dụ 1.1.4) Ta có n1 n1 1 1  ( H n )  H n 1    H n  ,  ( H n )  H n 1    H n  n 1 n k 1 k k 1 k   H0   H0 Suy H điểm trù mật trái cô lập phải Mọi điểm H n  H  điểm cô lập 1.4.4) Cho q  , ta xác định q  : q k : k   q  : q   0 Xét   q    Ta có  (t )  inf q n : n   m  1,    q m1  q.q m  qt Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ t  q m  rõ ràng     Vì ta   t   qt   t   t với t   q Do điểm trù mật phải điểm khác  điểm lập Ta có bảng tóm tắt 1.1 t điểm cô lập phải t   (t ) t right-scattered t điểm trù mật phải t   (t ) t right-dense t điểm cô lập trái  (t )  t t left-scattered t điểm trù mật trái  (t )  t t left-dense t điểm cô lập  (t )  t   (t ) t isolated t điểm trù mật  (t )  t   (t ) t dense Bảng 1.1 Bảng 1.2 mơ tả hình ảnh hình học điểm t1 : Điểm trù mật t1 t2 : Điểm trù mật trái cô lập phải t3 : Điểm trù mật phải cô lập trái ● t2 t3 t4 : Điểm lập ● Bảng 1.2 Số hóa Trung tâm Học liệu ● ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ● t4 ● 73 b f  ( s)s  F (b  a )   ba a F   cho f1 ( s )  f (s )  F (b  a ) Ta có b b 1  f ( s )  s  f  ( s)  F (b  a ) s   ba a ba a   b  f  ( s )s  F (b  a )   ba a với f1 ( s )   m1  F (b  a ), M  F (b  a ) Do f1 thỏa mãn giả thiết ban đầu chứng minh 1 D ( f1 , f1 )   M  F (b  a )   m1  F (b  a )     M  m1  4 Hơn ta lại có b D ( f1 , f1 )  f  ( s )  F (b  a ) s  ba a   b    3    f ( s) s  F (b  a )  F (b  a )  baa    b   f ( s ) s  F (b  a )2  D( f , f )  ba a   D ( f , f )  D ( f1 , f1 )   M  m1  Bây ta xem xét trường hợp hàm f , g nói chung giả sử m1  f ( s)  M m2  g ( s )  M Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 74 b b b 1   Khi D ( f , g ) : f ( s ) g ( s )  s  f  ( s) s  g  ( s ) s   ba a ba a a b 1    b  a a  f  ( s )  g  ( s)    f  (s)  g  (s)   s b b     f ( s )  s g ( s )  s   (b  a )2 a a  Chú ý D ( f  g , f  g )  ( M  M  m1  m2 ) theo chứng minh trước Bằng cách kí hiệu b b 1  f ( s )  s  f , g  ( s )s  g   ba a ba a ta viết  b    ( f ( s )  g ( t ))  s  f  g       b  a a   Áp dụng Bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi bậc hai b    ( f ( s )  g ( t ))  s   b        f  g 2 , a ( f ( s )  g ( t ))  s    b  a a ba     ta nhận b  1    D ( f , g )    M  M  m1  m2   f ( s )  g ( s )  s   4 (b  a )  a   b     f ( s )  g ( s )  s  fg  b  a a    Số hóa Trung tâm Học liệu  ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/  75 b  2 1     M  M  m1  m2    f  g   f ( s )  g ( s )  s  16 4 b  a a    M1  M  m1  m2 2 16 1 2  (M1  m1 )( M  m2 )   M  m1  M  m2   4   Nếu M  m1  M  m2 rõ ràng D( f , g )   M  m1  M  m2  Nhưng M  m1  M  m2 ta đặt p M  m2 , M  m1 q M  m1 M  m2 cho f1 ( s )  pf ( s ), g1 ( s)  qg ( s) đạt m1  pm1  f1 ( s )  pM  M , m2  qm2  g1 ( s)  qM  M Bây ta có M  m1   M  m2  M  m1   M  m1  M  m2  M1  m1  M1  m1  M  m2   M  m2 M  m2  M  m1  M  m2  1  pq  M  m1  M  m2    M1  m1  M  m2  4 D ( f , g )  pqD ( f , g )  D( f1 , g1 )  Nếu xét trường hợp  f có kết luận Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/  76 D( f , g )   D( f , g )   m1  M  M  m2  , cuối ta kết luận D( f , g )   M  m1  M  m2  (đpcm) Xem xét Bất đẳng thức Grüss với hai thang thời gian       ta lại thu kết sau Hệ 2.27 Nếu    từ Định lí 2.26 ta có kết b b b 1 f (s ) g ( s )ds  f (s )ds  g (s )ds  (M  m1)(M  m2 ) ,   ba a (b  a ) a a m1  f ( s)  M m2  g ( s )  M Hệ 2.28 Nếu    , a  , b  n, s  j f (k )  xk từ Định lí 2.26 ta có kết n n n x y  x y  (M  m1 )( M  m2 ) ,  j j  j j n j 1 n j 1 j 1 m1  x j  M m2  y j  M Dưới chúng tơi trình bày Bất đẳng thức Ou-Iang, bất đẳng thức đóng vai trị cơng cụ hữu ích lí thuyết dao động, lí thuyết ổn định… Định lí 2.27 (Bất đẳng thức Ou-Iang, xem [11], Theorem 2.3) Cho t0  đặt  t0  t   : t  t0  Cho y g hàm số không âm rd-liên tục  t0 Cho  , M, N số không âm     Nếu Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 77 t 2 t   t0 , y (t )  M y (t0 )    y ( )  Ng ( ) y ( )  (2.12) t0 t t   t0 y (t )  My (t0 )e(  ) (t , t0 )   Ng ( )e (  ) (t , )  (2.13) t0 Chứng minh Đặt t 2 z (t )  M y (t0 )    y ( )  Ng ( ) y ( )  t0 Khi ta có z  (t )  2 y (t )  Ng (t ) y (t )  2 z (t )  Ng (t ) z (t )   z   (t )    z (t )  z  (t )   Ng (t )   z (t )  z  (t )  Suy z  (t ) z (t )  z  (t )    z  (t )   Ng (t ) Nhân hai vế bất đẳng thức với e (t , t0 ) ta    ze (., t0 ) (t )  Ng (t )e (t , t0 ) (2.14) Lấy tích phân từ t0 đến t hai vế (2.14) ta kết t z (t )e (t , t0 )  My (t0 )   Ng ( )e ( , t0 ) (2.15) t0 Vì     nên e (t , t0 ) với t   (Theorem 2.48, [6]) Kết hợp (2.12) (2.15) sử dụng Định lí 2.6 ta thu (2.13) (đpcm) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 78 Sau ta xét thêm dạng khác bất đẳng thức tích phân phi tuyến thang thời gian Ở phần ta giả thiết p  q  , p q số thực t  t0 , t0  Bổ đề 2.7 (Lemma 3.1, [12]) Cho a  Khi ta có q p  q p /q  a q / p   K ( q  p )/ p a  K  với K  p p  (2.16) Chứng minh Nếu a  ta dễ thấy bất đẳng thức (2.16) Do ta chứng minh bất đẳng thức (2.16) trường hợp a  Đặt f (K )  q ( q  p )/ p p  q p/ q K a K , p p K  0, có f ( K )  q  p  q  ( q 2 p )/ p K  K  a  p2 Dễ thấy f ( K )  0, f ( K )  0, f ( K )  0, K  a, K  a,  K  a Do f ( K )  f ( a)  a q / p Suy Bổ đề 2.7 chứng minh Định lí 2.28 (Theorem 3.2, [12]) Cho p, q số thực p  q  Giả sử u , a, b, g , h  Crd , với u(t), a(t), b(t), g(t) h(t) khơng âm Khi ta có Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 79 t p u (t )  a (t )  b(t )   g ( )u p ( )  h( )u q ( )  , t   k , (2.17) t0 t    K ( p  q )  qa ( )   u (t )  a (t )  b(t )   g ( )u p ( )  h( )     eF (t , ( ))  ( p  q )/ p pK   t0   với K  0, t  k , (2.18)  qh(t )  F (t )  b(t )  g (t )   pK ( p q )/ p   (2.19) Chứng minh Trước hết ta xác định hàm z (t ) cho t z (t )    g ( )u p ( )  h( )u q ( )  , t   (2.20) t0 Khi z (t0 )  (2.17) viết lại sau t   u p (t )  a(t )  b(t ) z (t ), (2.21) Áp dụng Bổ đề 2.7, từ (2.21), K  ta dễ dàng có u q (t )   a (t )  b(t ) z (t )   q/ p K ( p  q )  qa (t ) qb(t ) z (t )  pK ( p q )/ p pK ( p q )/ p Kết hợp (2.20) - (2.22) ta z  (t )  g (t )u p (t )  h(t )u q (t )  K ( p  q )  qa (t ) qb(t ) z (t )   g (t )  a (t )  b(t ) z (t )   h(t )    ( p  q )/ p pK pK ( p q )/ p   Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.22)  p   80   K ( p  q )  qa (t )   a (t ) g (t )  h ( t )   F (t ) z (t ), ( p  q )/ p pK   t   , (2.23) F (t ) xác định từ (2.19) Dễ thấy F (t )  R  Vì vậy, áp dụng Định lí 2.8-Định lí so sánh lưu ý z (t0 )  , từ (2.23) ta suy t   K ( p  q )  qa ( ) z (t )    a ( ) g ( )  h (  ) eF (t , ( ))  , ( p  q )/ p pK  t0  Từ (2.21) (2.24) dễ dàng suy (2.18) t   (2.24) (đpcm) Hệ 2.29 Cho    giả sử u (t ), a (t ), b(t ), g (t ), h(t )  C    ,    Khi ta có bất đẳng thức t p u (t )  a (t )  b(t )   g ( s )u p (s )  h( s)u q (s ) ds t    , t  t    K ( p  q )  qa ( )   p u (t )  a (t )  b(t )   g ( )u ( )  h( )   exp F ( s ) ds   d  ( p  q )/ p  pK    t0      p   với K  0, t    , F  t  xác định tương tự Định lí 2.28 Hệ 2.30 Cho    giả sử u (t ), a (t ), b(t ), g (t ) h(t) hàm không âm, xác định với t   Khi ta có bất đẳng thức t 1 p u (t )  a (t )  b(t )  g ( s)u p ( s)  h( s)u q ( s)  , s 0 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ t  0 , 81 t 1    1p  K ( p  q )  qa ( )   t 1 p u (t )  a (t )  b(t )  g ( )u ( )  h( )      1  F ( s )   pK ( p q )/ p  0      s  1  với K  0, t  , F  t  xác định tương tự Định lí 2.28 Định lí 2.29 (Theorem 3.2, [12]) Cho p số thực dương Giả sử u , a, b, g , hi  Crd , u  t  , a  t  , b  t  , g  t  , hi  t  không âm, với i  1,2, , n Cho dãy số thực dương q1 , q2 , , qn thỏa mãn p  qi  Khi ta có t n   p u (t )  a (t )  b(t )   g ( )u ( )   hi ( )u qi ( )  , i 1  t0  p t  k , (2.25) t n    K ( p  qi )  qi a ( )  p u (t )  a (t )  b(t )   g ( )u ( )   hi ( )    eF * (t , ( )) ( p  qi )/ p pK i     t0  với K  0, t  k , (2.26) n  qi h (t )  F * (t )  b (t )  g (t )   ( p  qi )/ p  pK i 1   (2.27) Chứng minh Trước hết ta xác định hàm z (t ) cho t n   p z (t )    g ( )u ( )   hi ( )u qi ( )  , i 1  t0  t   (2.28) Khi z (t0 )  (2.25) viết lại sau u p (t )  a(t )  b(t ) z (t ), t   Tương tự chứng minh Định lí 2.28 ta có Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.29)  p   82 u qi (t )   a(t )  b(t ) z (t )   qi / p (2.30) K ( p  qi )  qi a (t ) qi b(t ) z (t )  , pK ( p qi )/ p pK ( p qi )/ p với K  0, i  1,2, , n Do n z  (t )  g (t )u p (t )   hi (t )u qi (t ) i 1 n  K ( p  qi )  qi a (t ) qi b(t ) z (t )   g (t )  a (t )  b(t ) z (t )    hi (t )   (2.31) ( p  qi )/ p ( p  qi )/ p  pK pK i 1   n   K ( p  qi )  qi a (t )   a (t ) g (t )   h ( t )  F * (t ) z (t ), i  ( p  qi )/ p pK i 1   t   Dễ thấy F * (t )  R  Vì vậy, áp dụng Định lí 2.8-Định lí so sánh lưu ý z (t0 )  , từ (2.31) ta suy t n   K ( p  qi )  qi a ( ) z (t )    a ( ) g ( )   hi ( ) eF * (t , ( ))  , ( p  qi )/ p pK i 1  t0  Từ (2.29) (2.32) dễ dàng suy (2.26) t   (2.32) (đpcm) Hệ 2.31 Cho    giả sử u (t ), a (t ), b(t ), g (t ), hi (t )  C    ,    với i  1,2, , n Khi ta có bất đẳng thức t n   p u (t )  a (t )  b(t )   g ( )u ( )   hi ( )u qi ( ) d , i 1  t0  p t    , t n    K ( p  qi )  qi a( )   u (t )  a (t )  b(t )   g ( )u p ( )   hi ( )     eF * (t ,  ( )) d ( p  qi )/ p pK i    t0   Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/  p   83 với K  0, t    , F *  t  xác định tương tự Định lí 2.29 Hệ 2.32 Cho    giả sử u (t ), a (t ), b(t ), g (t ) hi  t  với i  1,2, , n hàm không âm, xác định với t   Khi ta có bất đẳng thức t 1 n   p u (t )  a (t )  b(t )   g ( s)u ( s )   hi ( s )u qi ( s )  , s 0  i 1  p t  0 , t 1  n   1p  K ( p  qi )  qi a ( )   t 1 p u (t )  a (t )  b(t )  g ( )u ( )   hi ( )      1  F ( s )   ( p  qi )/ p pK  0  i 1    s  1   với K  0, t  , F *  t  xác định tương tự Định lí 2.29 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 84 KẾT LUẬN Luận văn trình bày tổng quan bất đẳng thức thang thời gian, chủ yếu dựa tài liệu [1], [2], [6] Nội dung luận văn nằm hai chương Chương trình bày khái niệm giải tích thang thời gian Chương trình bày bất đẳng thức thang thời gian, suy kết biết bất đẳng thức vi phân bất đẳng thức sai phân Với khn khổ luận văn cao học, có nhiều kết bất đẳng thức thang thời gian chưa đề cập đến luận văn (xem, thí dụ, [5], [14], [17]) Hi vọng đề tài tiếp tục nghiên cứu quan tâm Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp quý Thầy Cơ bạn để luận văn hồn thiện Hy vọng luận văn bất đẳng thức thang thời gian bạn sinh viên đại học học viên cao học quan tâm đến Giải tích Hệ động lực thang thời gian tham khảo Xin chân thành cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ravi Agarwal, Martin Bohner, and Allan Peterson, Inequalities on time scale: A Survey, Mathematical Inequalities and Applications, Vol 4, No (2001), 535-557 [2] R P Agarwall (2000), Difference Equations and Inequalities- Theory, Methods, and Applications, second ed, Dekker, New York [3] Martin Bohner, Stephen Clark and Jerry Redenhous, Lyapunov Inequalities for time scales, Journal of Inequalities & Applications, Vol 7(1), 2002, 61-77 [4] Martin Bohner and Billur Kaymaksalan, Opial Inequalities on time scales, Annales Polonici Mathematici, LXXVII.1 (2001), 11-20 [5] Martin Bohner and Thomas Matthews, The Grüss Inequalities on time scales, Communications in Mathematical Analysis, Vol 3, No1, 2007, 1-8 [6] Martin Bohner, Allan Peterson (2003), Dynamic Equations on Time Scales, Birkhauser, Boston (Chương Chương 6) [7] Rabia Bibi, Martin Bohner, Josip Pečarić, and Sanja Varošanec, Minkowski and Beckenbach-Dresher inequalities and functionals on time scales, Journal of Mathematical Inequalities, Volume 7, Number (2013), 299–312 [8] S Hilger, Linear Hamiltonian Systems on Time Scales: Positivity of Quadratic Functionals, Mathematical and Computer Modelling 32 (2000) 507-527  [9] Chen-Huang Hong, Cheh-Chih Yeh, Rogers- Holder 's inequality on time scales, International Journal of Pure and Applied Mathematics, Volume 29, No 3, 2006, 289-309 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 86 [10] Roman Hilscher, A time scales version of a Wirtinger-type inequality and applicationsk, Journal of Computational and Applied Mathematics, 141 (2002) 219–226 [11] Ailian Liu, and Martin Bohner, Gronwall-OuIang-Type Integral Inequalities on Time Scales, Journal of Inequalities and Applications, Volume 2010, 1-4 [12] Wei Nian Li and Weihong Sheng, Some Nonlinear Integral Inequalities on Time Scales, Journal of Inequalities and Applications, Volume 2007, Article ID 70465, 3-8, Hindawi Publishing Corporation [13] Wei Nilian Li and Weihong Sheng, Some Gronwall type Inequalities on time scales, Mathematical Inequalities and Applications, Vol 4, No (2010), 67-76 [14] Weijun Liu, Adnan Tuna and Yong Jiang, On weighted Ostrovski type, Gruss type and Ostrovski-Gruss like Inequalities on time scales, 2011 (Web) [15] J A Oguntuase, On Integral Inequalities of Gronwall-Bellman-Bihari type in several variables, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Volume 1, Issue 2, 2000 [16] J Michael Steele (2004), The Cauchy–Schwarz master class, University of Pennsylvania, The Mathematical association of America, Cambridge University press [17] Menmet Zeki Sarikaya, Neship Aktan and Huseyin Indirim, On weighted Chebyshev-Grüss type Inequalities on time scales, Mathematical Inequalities and Applications, Vol 2, No (2008), 185-195 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 87 XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN Xác nhận chỉnh sửa luận văn thạc sỹ học viên cao học Đỗ Văn Nhân Tên đề tài luận văn Bất đẳng thức thang thời gian ứng dụng Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 Bảo vệ ngày 21.06.2014 Đã chỉnh sửa theo kết luận Hội đồng Khoa Toán, Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Giáo viên hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... Gronwall, Bất đẳng thức Bihari, Bất đẳng thức Opial, Bất đẳng thức Wirtinger, Bất đẳng thức Lyapunov số bất đẳng thức khác; đồng thời tham chiếu bất đẳng thức trường hợp thang thời gian liên tục thang. .. 2.2 Bất đẳng thức Jensen Bất đẳng thức sau mở rộng Bất đẳng thức Jensen cổ điển sang cho thang thời gian Việc chứng minh Bất đẳng thức Jensen thang thời gian gần với chứng minh Bất đẳng thức. .. http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 25 Chương BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN THANG THỜI GIAN  2.1 Các bất đẳng thức Holder , Cauchy- Schwarz, Minkowski  Trước phát biểu chứng minh Bất đẳng thức Holder thang thời gian ta xét bổ đề