Các định lý hàm khả vi với bất đẳng thức và một số đánh giá tiệm cận

Mục lục1 Các định lí về hàm khả vi và các bất đẳng thức 4 1.1 Đạo hàm, đạo hàm cấp cao của hàm một biến và các tính chất cơ bản.. Mở đầuTrong bản luận văn “Các định lý hàm khả vi với bất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN TOẢN

CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ

ĐÁNH GIÁ TIỆM CẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN TOẢN

CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ

ĐÁNH GIÁ TIỆM CẬN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS HOÀNG VĂN HÙNG

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1 Các định lí về hàm khả vi và các bất đẳng thức 4

1.1 Đạo hàm, đạo hàm cấp cao của hàm một biến và các tính chất cơ bản 4

1.1.1 Các định nghĩa 4

1.1.2 Các tính chất cơ bản của đạo hàm và đạo hàm cấp cao 5

1.2 Các định lí về hàm khả vi 6

1.2.1 Định lí Fermat 6

1.2.2 Các định lý Cauchy, Lagrange, Rolle, Taylor 7

1.2.3 Một số hệ quả của định lý Rolle 7

1.2.4 Liên hệ giữa tính đơn điệu, tính lồi, lõm với đạo hàm 8

1.3 Đạo hàm riêng, cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số hai biến số trên miền đóng bị chặn 9

1.3.1 Đạo hàm riêng cấp một và đạo hàm riêng cấp cao 9

1.3.2 Phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến Giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số hai biến số trên miền đóng bị chặn 11

1.4 Các ví dụ áp dụng 13

1.4.1 Các ví dụ sử dụng mối liên hệ giữa đạo hàm với tính đơn điệu và cực trị 13

1.4.2 Các ví dụ sử dụng mối liên hệ giữa đạo hàm cấp hai và tính

lồi, lõm của hàm số 211.4.3 Các ví dụ sử dụng định lý Rolle, Lagrange, Taylor 231.4.4 Các ví dụ sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange và quy tắc

tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số hai biến số trênmiền đóng và bị chặn 28

2 Đánh giá tiệm cận của một lớp các dãy số 35

2.1 Khái niệm tiệm cận của một dãy số 352.2 Một số định lý về đánh giá tiệm cận 36

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan mọi thông tin và trích dẫn trong luận văn là trung thực, các sốliệu và kết quả nghiên cứu không trùng lặp với các đề tài khác

Thái Nguyên, ngày 26 tháng 03 năm 2015

Học viên

Nguyễn Văn Toản

Mở đầu

Trong bản luận văn “Các định lý hàm khả vi với bất đẳng thức và một số đánh

giá tiệm cận” tác giả vận dụng các tính chất của các hàm khả vi một biến và nhiềubiến để trình bày chứng minh của một số bất đẳng thức; các bất đẳng thức này đượcchứng minh bằng các phương pháp khác trong các tài liệu tham khảo Các ví dụ chỉ

ra chứng tỏ các định lý về hàm khả vi là một công cụ khá mạnh trong chứng minh cácbất đẳng thức, đặc biệt là đối với các bất đẳng thức chứa số biến nhỏ Trong bản luậnvăn có trình bày chứng minh một số bất đẳng thức khó (ví dụ bất đẳng thức Newton-Maclaurin, bất đẳng thức trong Ví dụ 1.24 Chương 1) dựa trên việc sử dụng các định

lý về giá trị trung gian của các hàm khả vi một biến và lý thuyết cực trị có điều kiệncủa hàm nhiều biến

Đánh giá tiệm cận của các dãy là một chủ đề khó và được nhiều người quan tâmtrong lý thuyết dãy và chuỗi số Trong bản luận văn này tác giả đã trình bày chứngminh một số định lý về đánh giá tiệm cận của một lớp các dãy xác định bằng côngthức truy toán dựa trên khai triển Maclaurin của các hàm số một biến và đưa ra các

ví dụ minh họa Một số trong các ví dụ minh họa này là các bài toán gặp trong các tàiliệu về chủ đề thi Olympic Toán sinh viên và các tài liệu nâng cao về Giải tích toánhọc

Bản luận văn “Các định lý hàm khả vi với bất đẳng thức và một số đánh giá tiệm

cận”gồm Lời nói đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

• Chương 1 Các định lý về hàm khả vi và các bất đẳng thức

• Chương 2 Đánh giá tiệm cận của một lớp các dãy số

Trong Chương 1 tác giả tóm tắt các sự kiện cơ bản nhất của lý thuyết các hàm khả

vi một biến, bài toán cực trị có điều kiện của hàm hai biến, hàm ba biến với một ràngbuộc, bài toán tìm giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm hai biến khả vi trên miến phẳngđóng, bị chặn Các bất đẳng thức trong các Ví dụ 1.1 - 1.12 Chương 1 chủ yếu đượcchứng minh dựa trên mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số với dấu đạo hàm cấp

1 của hàm một biến, các Ví dụ 1.13 - 1.16 trình bày chứng minh các bất đẳng thứcdựa trên mối liên hệ giữa tính lồi, lõm và dấu đạo hàm cấp hai của hàm một biến, các

Ví dụ 1.17 - 1.22 trình bày chứng minh các bất đẳng thức dựa trên các định lý về giátrị trung gian của các hàm khả vi, các Ví dụ 1.22 - 1.25 trình bày chứng minh các bấtđẳng thức nhờ phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực trị có điều kiện vàphương pháp tìm giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm hai biến khả vi trên miến phẳngđóng, bị chặn

Chương 2 định nghĩa khái niệm đánh giá tiệm cận và chứng minh một số định

lý về đánh giá tiệm cận đối với một lớp các dãy số dương xác định bằng công thứctruy toán dạng xn+1 = f (xn) và các khẳng định liên quan Các kết quả chủ yếu củachương này là các Định lý 2.1, Hệ quả 2.1, Định lý 2.2, Định lý 2.3, Hệ quả 2.2, Định

lý 2.4 Các ví dụ áp dụng chủ yếu được đưa ra trong các Mục 2.2.3 và 2.2.7

Danh mục tài liệu tham khảo gồm 05 tài liệu

Để hoàn thành bản luận văn này tác giả đã nhận được sự giúp đỡ của các Thầy Côtrong Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các phòngban chức năng thuộc Đại học Thái Nguyên, các nhà toán học thuộc Viện Toán học -Viện hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam và Thầy hướng dẫn, TS Hoàng VănHùng - Viện Khoa học Cơ bản - Đại học Hàng Hải Việt Nam Tác giả xin bày tỏ lòngcảm ơn chân thành đến tất cả các Thầy Cô, các nhân viên của các phòng ban chứcnăng nói trên và rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ mọi phía đối với bản luậnvăn này

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015

Nguyễn Văn Toản

Học viên Cao học Toán lớp B, khóa 06/2013-06/2015

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

f (x) − f (x0)

x − x0gọi là đạo hàm của hàm f(x) tại x0, ký hiệu là f0(x0) Nếu thay giới hạn được xétbằng giới hạn trái (tương ứng, phải) tại x0 ta có khái niệm đạo hàm trái (tương ứng,

phải) tại x0 , ký hiệu là f0

−(x0) (tương ứng, f0

+(x0) Hàm số có đạo hàm (tương ứng,đạo hàm trái, phải) tại x còn được gọi là hàm khả vi (tương ứng, khả vi trái, phải) tạix

Nếu f(x) có đạo hàm tại mọi x ∈ D1 ⊂ D thì hàm số D1 3 x 7→ f0(x) ∈ R gọi

là đạo hàm của hàm f(x) trên miền D1

Đạo hàm của hàm số f0(x)(nếu có) tại điểm x0 ∈ D1gọi là đạo hàm cấp hai của

f (x) tại x0, ký hiệu là f00(x0) Nếu f00(x0) tồn tại với mọi x ∈ D2 ⊂ D thì hàm số

D2 3 x 7→ f00(x) ∈ R gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f (x) trên miền D2

Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp k − 1 (với k ≥ 2) của f(x) tại điểm trong x

của tập xác định D (nếu tồn tại) được gọi là đạo hàm cấp k của f(x) tại x, ký hiệu là

f(k)(x) Nếu f(k)(x)tồn tại tại mọi x ∈ Dk thì hàm số Dk 3 x 7→ f(k)

(x) ∈ R gọi là

đạo hàm cấp k của hàm số f(x) trên miền Dk Hàm số có đạo hàm cấp k trên miền

Gcũng được gọi là khả vi đến cấp k trên G.

Ta quy ước ký hiệu f(0)(x)chỉ chính hàm f(x) Nếu tổng, hiệu, tích, thương củahai hàm f(x), g(x) có nghĩa ở lân cận điểm x và tồn tại f0(x) và g0(x)thì đạo hàmcủa các hàm này tại x cũng tồn tại và được ký hiệu tương ứng là

(f (x) + g(x))0, (f (x) − g(x))0, (f (x)g(x))0,  f (x)

g(x)

0

1.1.2 Các tính chất cơ bản của đạo hàm và đạo hàm cấp cao

Tính chất 1.1 Đạo hàm cấp bất kỳ có tính chất tuyến tính, tức là nếu các hàm số

f (x) và g(x) đều có đạo hàm cấp k trên miền D thì

(αf (x) + βg(x))(k) = αf(k)(x) + βg(k)(x)

với mọi số thực α, β và mọi x ∈ D.

Tính chất 1.2 Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm cấp n trên miền D thì

đạo hàm cấp n của tích f (x)g(x) cũng tồn tại trên D và

(f (x)g(x))(n) =

nXk=0

Cnkf(k)(x)g(n−k)(x), trong đó Cnk = n!

k!(n − k)!.

Tính chất 1.3 Giả sử f(x) có đạo hàm tại x0 và f (u) có đạo hàm tại u0 = g(x0).

Khi đó hàm hợp (f ◦ g)(x) = f (g(x)) được xác định ở lân cận x0và có đạo hàm tại

x0 Đạo hàm của hàm f (g(x)) tại x0được tính theo công thức

0

= f

0(x)g(x) − g0(x)f (x)

1.2 Các định lí về hàm khả vi

Mục này trình bày các định lý quan trọng nhất nói về tính chất của các hàm mộtbiến khả vi Chứng minh của các định lý này có trong hầu hết các giáo trình giải tíchtoán, chẳng hạn trong tài liệu [4] của tác giả Jean-Marie Monier Tác giả chỉ đưa rachứng minh Hệ quả 1.2 của Định lý Rolle

1.2.1 Định lí Fermat

Định nghĩa 1.1 Hàm f(x) gọi là có cực đại tại x0 nếu x0 là điểm trong của tập xácđịnh và tồn tại một lân cận (x0− δ, x0+ δ)của x0sao cho

∆f = f (x) − f (x0) ≤ 0 với mọi x ∈ (x0− δ, x0+ δ)\ {x0} (1.1)Khi đó giá trị f(x0)gọi là một cực đại của f(x) Nếu

∆f = f (x) − f (x0) < 0 với mọi x ∈ (x0− δ, x0+ δ)\ {x0} (1.2)thì f(x0)gọi là một cực đại thực sự tại x0.

Khái niệm cực tiểu (tương ứng, cực tiểu thực sự) tại x0 được định nghĩa tương tựbằng cách thay bất đẳng thức (1.1) (tương ứng, (1.2)) bằng các bất đẳng thức

∆f = f (x) − f (x0) ≥ 0 với mọi x ∈ (x0− δ, x0+ δ)\ {x0}

tương ứng,

∆f = f (x) − f (x0) > 0 với mọi x ∈ (x0− δ, x0+ δ)\ {x0}

Cực đại, cực tiểu của hàm f(x) được gọi chung là cực trị của f(x).

Định lí 1.1 (Fermat) Nếu f(x) có cực trị tại x0và đồng thời khả vi tại x0thì f0(x0) =

0.

1.2.2 Các định lý Cauchy, Lagrange, Rolle, Taylor

Định lí 1.2 (Cauchy) Cho các hàm f(x), g(x) liên tục trên khoảng đóng [a, b], khả

vi trên khoảng mở (a, b), g0(x) 6= 0 trên (a, b) Khi đó tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f (a)g(b) − g(a) =

f0(c)

g0(c).

Hệ quả của định lý Cauchy là các định lý Lagrange và Rolle phát biểu như sau:

Định lí 1.3 (Lagrange) Nếu f(x) liên tục trên khoảng đóng [a, b] , khả vi trên khoảng

mở (a, b) thì tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho:

f (b) − f (a) = f0(c)(b − a)

Định lí 1.4 (Rolle) Nếu f(x) liên tục trên khoảng đóng [a, b] , khả vi trên khoảng mở

(a, b) và f (a) = f (b) thì tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = 0.

Định lí 1.5 (Taylor) Giả sử f(x) có đạo hàm đến cấp n + 1 trên khoảng (a, b),

x0 ∈ (a, b) Khi đó với mọi x ∈ (a, b) tồn tại điểm c = c(x) nằm giữa x0 và x sao cho biểu diễn sau đúng:

n +f

(n+1)(c)(n + 1)! (x − x0)

n+1

1.2.3 Một số hệ quả của định lý Rolle

Hệ quả 1.1 Giả sử f(x) có đạo hàm đến cấp n trên khoảng (a, b) và có m không

điểm phân biệt trên (a, b) (x∗ gọi là một không điểm của f (x) nếu f (x∗) = 0), trong

đó m ≥ n + 1 Khi đó trên (a, b) đạo hàm f(n)(x) có ít nhất m − n không điểm phân

biệt.

Hệ quả 1.2 Nếu f(x), g(x), có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì giữa hai không điểm

α, β ∈ (a, b) của f (x) có ít nhất một không điểm của hàm f0(x) + f (x).g0(x).

Chứng minh. Xét hàm eg(x).f (x) Hàm này liên tục trên khoảng đóng [α, β], khả vitrong khoảng mở (α, β) và nhận α, β làm các không điểm Áp dụng định lý Rolle tasuy ra trong khoảng (α, β) có ít nhất một không điểm của hàm

(eg(x).f (x))0= eg(x).(f0(x) + g0(x).f (x))

Từ đó ta suy ra khẳng định của hệ quả

1.2.4 Liên hệ giữa tính đơn điệu, tính lồi, lõm với đạo hàm

Định lí 1.6 Nếu f(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b), liên tục trên khoảng đóng [a, b]

(c) f0(x) ≡ 0 trên (a, b) kéo theo f (x) là hằng số trên khoảng đóng [a, b].

Ngược lại, nếu f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b), liên tục trên khoảng đóng [a, b] thì

(a’) f(x) đơn điệu tăng trên [a, b] kéo theo f0(x) ≥ 0 trên (a, b).

(b’) f(x) đơn điệu giảm trên [a, b] kéo theo f0(x) ≤ 0 trên (a, b).

Nhắc lại rằng, hàm f(x) gọi là lồi trên khoảng (a, b) (tương ứng [a, b]) nếu

f (αx + βy) ≤ αf (x) + βf (y),với mọi x, y ∈ (a, b) (tương ứng, mọi x, y ∈ [a, b]), và với mọi số thực không âm

α, β thỏa mãn α + β = 1 Hàm f(x) gọi là lõm trên khoảng (a, b) (tương ứng [a, b])

nếu

f (αx + βy) ≥ αf (x) + βf (y)

với mọi x, y ∈ (a, b) (tương ứng, mọi x, y ∈ [a, b]), và với mọi số thực không âm

α, βthỏa mãn α + β = 1

Định lí 1.7 Giả sử f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a, b) và liên tục trên

khoảng đóng [a, b] Khi đó:

(a) f00(x) ≥ 0 trên (a, b) kéo theo hàm số f (x) lồi trên khoảng đóng [a, b].

(b) f00(x) ≤ 0 trên (a, b) kéo theo hàm số f (x) lõm trên khoảng đóng [a, b].

Định lí 1.8 (Jensen) Cho f là hàm lồi trên khoảng (a, b) và xi ∈ (a, b) với i =

1, , n Với n số dương λi , i = 1, , n tuỳ ý thoả mãn

nPi=1

λi = 1, ta có bất đẳng

thức

f

nXi=1

λixi

!

≤

nXi=1

λif (xi)

Nếu f là hàm lõm trên khoảng (a, b) ta có bất đẳng thức

f

nXi=1

λixi

!

≥

nXi=1

λif (xi)

1.3 Đạo hàm riêng, cực trị có điều kiện của hàm số nhiều

biến Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số hai biến số trên miền đóng bị chặn

1.3.1 Đạo hàm riêng cấp một và đạo hàm riêng cấp cao

Để tránh cồng kềnh về mặt ký hiệu, chúng ta sẽ chỉ định nghĩa đạo hàm riêng cấpmột và cấp cao cho hàm hai biến Đạo hàm riêng cấp một và cấp cao của các hàm với

số biến lớn hơn hoàn toàn tương tự

Định nghĩa 1.2 Xét hàm hai biến z = f(x, y) với miền xác định D Điểm A(x∗, y∗)

là một điểm trong của D Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

limh→0

f (x∗+ h, y∗) − f (x∗, y∗)

h

thì giới hạn này gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm z = f(x, y) tại điểm

A(x∗, y∗) và được ký hiệu bởi một trong các ký hiệu sau

∂x, ∂z∂x, fx0, zx0 (tương ứng, ∂f

∂y, ∂y∂z, fy0, zy0) Các đạo hàm riêng này gọi là các

đạo hàm riêng cấp mộtcủa hàm z = f(x, y)

Định nghĩa 1.3 Giả sử các đạo hàm riêng cấp một của hàm z = f(x, y) tồn tại trong

miền mở D nào đó của Đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một này (nếu tồn

tại) gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của z = f(x, y) Ký hiệu và định nghĩa của các

đạo hàm riêng cấp hai của z = f(x, y) như sau:

∂x∂y, ∂y∂x∂2z gọi là các đạo hàm hỗn hợp Ngoài các kí hiệu trên ta

còn có thể dùng các kí hiệu

z00xx, zxy00 , z00yx, zyy00

để thay thế (tương ứng) cho bốn kí hiệu trên

Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp hai của z = f(x, y) gọi là các đạo hàm

riêng cấp bacủa z = f(x, y), kí hiệu của các đạo hàm riêng cấp ba tuân theo các quytắc tương tự như đối với đạo hàm riêng cấp hai Các đạo hàm riêng cấp lớn hơn nữađược định nghĩa bằng quy nạp

1.3.2 Phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị có điều kiện

của hàm số nhiều biến Giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số hai biến số trên miền đóng bị chặn

A Phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến số

Trong bản luận văn này phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm nhiềubiến chỉ được trình bày cho trường hợp số biến bằng hai và số biến bằng ba với mộtràng buộc

Định nghĩa 1.4 Giả sử z = f(u) với u ∈ D ⊂ Rn là một hàm n-biến với tập xác

định D và G là một tập con của có tính chất D ∩ G 6= ∅ Hàm z = f(u) gọi là có cực

trị với điều kiện Gtại điểm u0 nếu u0 ∈ D ∩ Gvà tồn tại một lân cận U của u0 trong

Rn sao cho f(u0) là giá trị lớn nhất hoặc bé nhất của hàm z = f(u), u ∈ D ⊂ Rntrên tập U ∩ D ∩ G Nếu f(u0) là giá trị lớn nhất trên tập U ∩ D ∩ G ta nói f(u0)là

một cực đại của với điều kiện G, nếu f(u0) là giá trị bé nhất trên tập U ∩ D ∩ G tanói f(u0)là một cực tiểu của với điều kiện G.

Ta sẽ chỉ xét các bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm hai biến hoặc ba biếnkhi tập G là tập con của R2 hoặc R3 cho bởi các hệ thức dạng

g(x, y) = 0 hoặc g(x, y, z) = 0trong đó x, y, z là các số thực làm cho vế trái của các hệ thức trên có nghĩa

Các bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm hai biến và ba biến với một ràngbuộc được phát biểu như sau:

Bài toán 1.1 Tìm cực trị của hàm số z = f(x, y) với (x, y) ∈ D ⊂ R2 với điều kiện

g(x, y) = 0.

Bài toán 1.2 Tìm cực trị của hàm số u = f(x, y, z) với (x, y, z) ∈ D ⊂ R3 với điều kiện g(x, y, z) = 0.

Với giả thiết f, g là các hàm có các đạo hàm riêng cấp một liên tục và các đườngcong g(x, y) = 0 (tương ứng các mặt cong g(x, y, z) = 0) không có điểm kỳ dị, điềukiện cần để có cực trị điều kiện tại một điểm nào đó đối với các Bài toán 1.1 và Bàitoán 1.2 được cho bởi định lý sau:

Định lí 1.9 Đặt

L1(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y),

L2(x, y, z, λ) = f (x, y, z) + λg(x, y, z)

Khi đó

1 Nếu (x0, y0) là điểm tại đó có cực trị đối với Bài toán 1.1 thì tồn tại số thực λ0

sao cho (x0, y0, λ0) là một nghiệm của hệ phương trình

2 Nếu (x0, y0, z0) là điểm tại đó có cực trị đối với Bài toán 1.2 thì tồn tại số thực

λ0 sao cho (x0, y0, z0, λ0) là một nghiệm của hệ phương trình

Các hàm L1, L2 gọi là các hàm Lagrange của các Bài toán 1.1 (tương ứng, Bài toán 1.2) Tham số λ có mặt trong các hàm này gọi là nhân tử Lagrange Phương pháp tìm cực trị có điều kiện nhờ các điều kiện cần cho bởi định lý trên gọi là phương pháp

nhân tử Lagrange

B Giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm số hai biến số trên miền đóng bị chặn

Cho hàm hai biến z = f(x, y) liên tục trên miền đóng và bị chặn D ∈ R2, có cácđạo hàm riêng tại các điểm trong của miền D Ta gọi mỗi nghiệm của hệ phương trình

là một điểm dừng của hàm z = f(x, y) Ta có định lý sau về giá trị lớn nhất và bé nhất

của hàm z = f(x, y) trên miền D

nó hoặc tại một điểm dừng của nó bên trong D hoặc tại một điểm trên biên D.

Nhận xét 1.1 Các đa thức hai biến liên tục trên tập con bất kỳ của R2

Mối liên hệ giữa đạo hàm với tính đơn điệu và cực trị là một trong những công

cụ mạnh thường được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức chứa một biến Tuynhiên, nhiều bất đẳng thức chứa nhiều biến lại là hệ quả của các bất đẳng thức chứamột biến này Các ví dụ đưa ra dưới đây cho ta thấy điều đó

xj ≥ n

vuut

nYj=1

(b) Bất đẳng thức bên phải của (b) suy ra từ bất đẳng thức (a) bằng cách lấy logaritNaper hai vế Ta cũng nhận xét rằng thực ra bất đẳng thức bên phải của (b) đúng vớimọi x > −1 Để chứng minh bất đẳng thức bên trái ta đặt

g(x) = ln(1 + x) − x + x

2

2

(c) Đặt

A = 1n

nXj=1

xj, G = n

vuut

nYj=1

A = 1 ⇔ xj = A

Vì các xj đều là các số dương nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra

nYj=1

exiA −1 ≥

nYj=1

xj ≥ n

vuut

nYj=1

Từ bảng biến thiên suy ra f(x) ≤ 1

e với x > 0, điều này tương đương với x1/x ≤ e1/evới x > 0

Ví dụ 1.3 Chứng minh rằng mn > nm nếu n > m ≥ 3 và là các số nguyên dương

Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức m1/m > n1/n

Từ bảng biến thiên trong Ví dụ 1.2 suy ra hàm x1/x = eln xx thực sự giảm trên khoảng[e, +∞).Vậy bất đẳng thức m1/m > n1/n đúng do n > m ≥ 3 > e

Ví dụ 1.4 (xem [3, Bài toán 15.2]) Chứng minh rằng aa > 12 với mọi a > 0.

Lời giải Đặt f(a) = aa ta có f0(a) = (ea ln a)0 = aa(ln a + 1) Ta có bảng biến thiên

Nhận xét 1.2 Trong [3] tác giả Trần Phương chứng minh bất đẳng thức trên nhờ các

kỹ thuật phức tạp dựa trên bất đẳng thức Cauchy

(b) Với 0 < α < 1 ta có bảng biến thiên

Lời giải Bất đẳng thức hiển nhiên đúng nếu max(a, b) ≥ 1 Giả sử max(a, b) < 1 Áp

dụng bất đẳng thức Bernoulli trong trường hợp (b) với α = 1

Nhận xét 1.3 Trong [3] tác giả Trần Phương không đưa ra lời giải của Bài toán 15.3

mà chỉ bình luận rằng có thể sử dụng các kỹ thuật liên quan đến bất đẳng thức Cauchy

Ví dụ 1.7 (xem [3, Bài toán 11.3]) Chứng minh rằng nếu 0 < x < π

2 thì

22 sin x+ 2tan x > 23x2 +1

Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

22 sin x+ 2tan x ≥ 2p22 sin x.22 tan x = 22 sin x+tan x2 +1.Đặt f(x) = 2 sin x + tan x − 3x , ta có:

2x

2 − cos2x)

= 4sin

2 x 2cos2x sin

2) Suy ra

f (x) > f (0) = 0 (với x ∈ (0,π

2)) ⇔ 2 sin x + tan x > 3x (với x ∈ (0,π

2))

Vì hàm 2xđồng biến nên từ bất đẳng thức nhận được ta có

22 sin x+ 2tan x ≥ 2p22 sin x.22 tan x = 22 sin x+tan x2 +1 > 23x2 +1

Ví dụ 1.8 (xem [3, Bài toán 11.3]) Giả sử phương trình x4+ ax3+ bx2+ cx + 1 = 0(với a, b, c là các số phức) có nghiệm thực Chứng minh rằng

|a| + |b| + |c| ≥ 4

3

4

√3

Lời giải Giả sử phương trình đã cho có nghiệm thực x0 Khi đó x0 6= 0và

x40+ ax30+ bx20+ cx0+ 1 = 0 ⇒ ax20+ bx0+ c = 1 + x

4 0

|x0| . (1.4)Xét hàm

Bảng biến thiên của f(t) trên miền t > 0 là

4

√3

Nếu |x0| ≤ 1thì từ (1.4) ta có

|a| + |b| + |c| ≥ |a| |x0|2+ |b| |x0| + |c| ≥ a x20+ bx0+ c = 1 + x

4 0

|x0| ≥

43

4

√3

và bất đẳng thức của bài toán được chứng minh Nếu |x0| > 1thì phương trình

Nhận xét 1.4 Khẳng định của bài toán này mạnh hơn khẳng định của [3, Bài toán

12.4], trong đó vế phải của bất đẳng thức trên chỉ là 4

3 và tác giả để cho bạn đọc tựgiải

Ví dụ 1.9 (xem [3, Bài toán 11.6]) Cho p và q là các số thực Chứng minh rằng

x4+ px + q ≥ 0với mọi x ∈ R ⇔ 256q3 ≥ 27p4

Lời giải Đặt f(x) = x4+ px + q, suy ra f0(x) = 4x3+ p, f0(x) = 0 ⇔ x = −pp/4.3

%+∞

Từ bảng biến thiên ta suy ra

2 .

Lời giải Từ giả thiết suy ra a, b, c ∈ (0, 1) Bất đẳng thức cần chứng minh tương

đương với bất đẳng thức

a2a(1 − a2) +

b2b(1 − b2) +

c2c(1 − c2) ≥ 3

√3

2 .Xét hàm f(a) = a(1 − a2) Ta có f0(a) = −3a2+ 1, f0(a) = 0 ⇔

a>0a = √1

3 Lập bảngbiến thiên:

& 0

Từ bảng biến thiên suy ra

0 < f (a) ≤ 2

3√

3 với mọi a ∈ (0, 1)suy ra

a2

f (a) =

a2a(1 − a2) ≥ 3

√3a2

2 .Vậy

a2

a(1 − a2) +

b2b(1 − b2) +

c2c(1 − c2) ≥ 3

√3

2 (a

2+ b2+ c2) = 3

√3

2 .

Ví dụ 1.11 Cho n số thực tùy ý a1, a2, , an Chứng minh rằng nếu x > y ≥ 0 thì

nXi=1

nXj=1

aiaj

i + jx

i+j ≥

nXi=1

nXj=1

aiaj

i + j ≥ 0(xem[2])

Lời giải Xét hàm số f(x) = Pn

i=1

Pnj=1

nXj=1

aiajxi+j = 1

x

nXi=1

Ví dụ 1.12 (xem [3, Bài toán 2.6]) Cho a, b ≥ 1 Chứng minh rằng

plog2a +plog2b ≤ 2

rlog2(a + b

2 .

Lời giải Xét hàm f(x) = sin x với 0 < x < π Ta có f00(x) = − sin x với mọi

0 < x < πnên hàm f(x) = sin x là lõm trên (0, π) Các góc A, B, C có các giá trịthuộc khoảng (0, π) vì là các góc trong của một tam giác Vậy theo định lý Jensen đốivới hàm lõm ta có:

sin A + sin B + sin C ≤ 3 sinA + B + C

π

3 =

3√3

Ví dụ 1.15 (xem [3, Bài toán 5.8]) Cho a, b, c, M, N là các số dương tùy ý Chứng

bS(M c + N a) +

cS(M a + N b)

1.4.3 Các ví dụ sử dụng định lý Rolle, Lagrange, Taylor

Các định lý Rolle, Lagrange, Cauchy, Taylor đôi khi còn được gọi là các định lý

về giá trị trung gian (intermediate value theorems) của các hàm khả vi Việc các giátrị trung gian này (giá trị của số c trong phát biểu của các định lý trên) không đượcxác định một cách rõ ràng dẫn đến việc phải thay giá trị của các hàm liên quan đếnchúng bằng các ước lượng bất đẳng thức Chính điều này làm cho các định lý về giátrị trung gian trở thành một công cụ khá mạnh trong chứng minh các bất đẳng thứcliên quan đến các hàm khả vi Dưới đây là một số ví dụ

Ví dụ 1.16 (xem [3, Bài toán 11.11]) Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì a−b

a <

lnab < a−bb

Lời giải Xét hàm f(x) = ln x ta có f0(x) = 1x Áp dụng định lý Lagrange cho hàm

f (x) = ln xtrên khoảng đóng [b, a] ta suy ra tồn tại số c ∈ (b, a) sao cho

Ví dụ 1.17 Cho x, y ∈ (0,π

2) Chứng minh bất đẳng thức:

tan xtan y +

tan ytan x ≥ 2 + (x − y)2

Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh rõ ràng đúng với x = y ∈ 0,π

2

Vậychỉ cần chứng minh bất đẳng thức với x 6= y Không giảm tổng quát có thể xem

0 < x < y < π2 Đặt f(x) = tan x, g(x) = cot x suy ra

2 − tan xtan y − tan y

tan x

... cịn gọi định lý

về giá trị trung gian (intermediate value theorems) hàm khả vi Việc giátrị trung gian (giá trị số c phát biểu định lý trên) không đượcxác định cách rõ ràng dẫn đến vi? ??c phải... phải thay giá trị hàm liên quan đếnchúng ước lượng bất đẳng thức Chính điều làm cho định lý giátrị trung gian trở thành công cụ mạnh chứng minh bất đẳng thứcliên quan đến hàm khả vi Dưới số ví dụ...

√3

và bất đẳng thức tốn chứng minh Nếu |x0| > 1thì phương trình

Nhận xét 1.4 Khẳng định tốn mạnh khẳng định [3, Bài toán

12.4], vế phải bất đẳng thức 4