SKKN một số phương pháp giải phương trình và hệ phương trình

hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình MỤC LỤC Trang Lí chọn đề tài Chương Chương 12 Kết luận 20 Tài liệu tham khảo 21 Sáng kiến kinh nghiệm Trang Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong trình giảng dạy, ôn thi đại học cao đẳng, bồi dưỡng học sinh giỏi cho em hoc sinh phần phương trình hệ phương trình, gặp số phương trình hệ phương trình mà phương pháp giải đề cập sách giáo khoa lớp 10 hành giải việc giải chúng theo phương pháp khó khăn dài dòng Chẳng hạn, phương trình: 2010(1  2010 x2 )2  x  (1) (Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010-2011) (4 x  1) x  ( y  3)  y  Hay hệ phương trình:  2 7 4 x  y   x (I) (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010) Việc sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giúp giải phương trình (1) cách dễ dàng, hệ phương trình (I), phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số cho ta lời giải hay Ngoài ra, thông qua việc giải đề thi học sinh giỏi cấp, nhận thấy sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải toán phương trình hệ phương trình tỏ hiệu cho lời giải hay Qua hai năm tìm tòi, nghiên cứu thực giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, thấy phương pháp nêu có hiệu chọn viết sáng kiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình” Xin chân thành cảm ơn! Quảng Ngãi, ngày tháng năm 2012 Người thực Huỳnh Đoàn Thuần Sáng kiến kinh nghiệm Trang Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này, sâu khai thác hai phương pháp chủ yếu để giải phương trình hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Mỗi phương pháp trình bày thành chương CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN: Để giải phương trình hay hệ phương trình, thông thường ta tìm cách đưa phương trình hay hệ phương trình dạng quen thuộc biết cách giải, thường phương trình bậc hai, hay hệ phương trình đơn giản Ngoài cách sử dụng phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ cách để đưa phương trình hệ phương trình cho dạng đơn giản Phương pháp giải số dạng phương trình hệ phương trình đơn giản thường gặp: 1/   g ( x)  f ( x)  g ( x )     f ( x)   g ( x ) 2/ Phương trình đẳng cấp bậc hai: au  bu.v  cv2  0, a, b, c  R Cách giải: Xét v = 0, kiểm tra xem phương trình cho có nghiệm không Xét v  , chia hai vế phương trình cho v ta thu phương trình bậc hai biết cách giải 3/ Hệ đối xứng loại 1(2 ẩn): hệ phương trình mà vai trò x y phương trình hệ Sáng kiến kinh nghiệm Trang Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình Cách giải: Đặt S  x  y; P  xy , đưa hệ cho hệ giải phương pháp 4/ Hệ đối xứng loại 2(2 ẩn): hệ mà thay đổi vai trò x y hệ phương trình hệ biến thành phương trình lại Cách giải: sử dụng phương pháp cộng đại số phương trình hệ ta thu phương trình tích với nhân tử (x – y), từ tìm mối liên hệ bậc x y, giải tiếp phương pháp 2.1 THỰC TRẠNG: Như đề cập phần lý chọn đề tài, đứng trước phương trình (1), với phương pháp giải phương trình trình bày chương trình sách giáo khoa lớp 10 hành, học sinh suy nghĩ đến phương pháp biến đổi tương đương để đưa phương trình bậc với hy vọng tìm nghiệm để đưa phương trình bậc thấp giải Tuy nhiên việc làm học sinh không thực phương trình bậc không đặc biệt, nghiệm nguyên, học sinh tỏ lúng túng bế tắc Bằng cách sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ đối xứng loại 2, học sinh gặp dạng toán quen thuộc mà phương pháp giải rõ ràng Vì cần thay đổi bổ sung số kĩ thuật sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình hệ phương trình phức tạp Qua khảo sát, đánh giá học sinh khối 10, 11, 12 trường khả vận dụng kiến thức học chương trình sách giáo khoa để giải tập phương trình hệ phương trình kì thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2009-2010, thu mẫu số liệu sau: Số học sinh giải Số học sinh không giải Khối 10 2/15 13/15 Khối 11 3/10 7/10 Khối 12 4/10 6/10 Sáng kiến kinh nghiệm Trang Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình 2.1 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: a) Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng loại 2: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2010(1  2010 x2 )2  x  (1) (Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010-2011) 2010t  x  ( a) Giải: Đặt t   2010 x , ta hệ:  Đây hệ 2010 x  t  (b) phương trình đối xứng loại biết cách giải t  x Lấy (a) – (b) vế theo vế ta được: x  t  2010( x  t )   t  x  2010 2 + Với t = x, thay vào (a) ta được: 2010 x  x    x  + Với t  1  8041 4020 2009  8037  x , từ (a) ta 2010 x  x  0 x 2010 2010 4020 Vậy phương trình (1) có nghiệm x  1  8041  8037 ; x 4020 4020 Ví dụ 2: Giải phương trình: x  3 x    (2) (Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2008-2009)  x3  3t  (a ) Giải: Đặt t  x   t  x  Ta hệ:  Đây hệ t  x  ( b )  3 đối xứng loại 2, biết cách giải Lấy (a) – (b) vế theo vế ta ( x  t )( x2  xt  t  3)   x  t (vì x2  xt  t  ) x 1 Với t = x thay vào (a) ta được: x  3x     x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1; x  2 Sáng kiến kinh nghiệm Trang Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình Nhận xét: Với hai phương trình trên, sử dụng cách đặt ẩn phụ thông thường, hay phép biến đổi tương đương, toán nên phức tạp, đưa dạng quen thuộc, chí dẫn đến phương trình phức tạp Việc sử dụng cách đặt ẩn phụ mà ta coi ẩn phụ với ẩn ban đầu phương trình hai ẩn hệ phương trình giúp ta đưa toán dạng quen thuộc Cách làm thú vị giúp cho học sinh có cách tư trình giải toán Ngoài cách đặt ẩn phụ giúp ta sáng tác phương trình từ việc xét hệ phương trình đối xứng loại quen 2 x  y  thuộc chẳng hạn, xét hệ phương trình:  Thế y theo x phương 2 y  x  5x2  )  , từ trình thứ vào phương trình thứ hệ ta x  5( ta phương trình mới: 8x  5(5x2  1)2  4 Cũng từ hệ phương trình trên, cách sử dụng phép đặt y  2x  rút từ phương trình thứ hệ, vào phương trình thứ hai ta lại phương trình vô tỷ x  2x   Cứ ta tạo nhiều phương trình từ hệ phương trình quen thuộc Từ nhận xét trên, giúp ta đưa cách giải phương trình dạng tổng quát sau: n * Dạng tổng quát: : (ax  b)  p n a ' x  b '  qx  r , n  N , n  Cách giải: Đặt n a ' x  b '  ay  b p.a’ > Đặt n a ' x  b '  (ay  b) p.a’ < để đưa toán hệ phương trình “gần” đối xứng loại b) Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng loại 1: Ví dụ 3: Giải phương trình: Sáng kiến kinh nghiệm x   10  x  Trang (3) Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình Giải: Điều kiện:  10  x  10 Đặt u  x  3; v  10  x ; u  3;0  v  10 u  v  Khi ta hệ:  2 (*) u  v  13 Đây hệ phương trình đối xứng loại biết cách giải u  u  Giải hệ tìm   v  v  Từ tìm phương trình (3) có nghiệm x   6; x  1  x y  x  y  15  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  2  x  y  x  y   (II)  x ( y  2)  3( y  2)  21  Giải: Hệ phương trình (II)   2 ( x  1)  ( y  2)  10 2 ( x  3)( y  2)  21 ( x   4)( y   4)  21   2 2 ( x  1)  ( y  2)  10 ( x  1)  ( y  2)  10 (u  4)(v  4)  21 Đặt u  x2  1; v  y  2; u  1 , ta hệ:  Đây hệ u  v  10  u  phương trình đối xứng loại 1, giải hệ ta  v  1 u  1  v  Từ tìm hệ phương trình (II) có nghiệm  2,1 ;  2,1 ;  0,5 1 x  y 9  Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  (III)    1   1    18  3 y   x y   x     (Đề Olympic 30/4 lớp 10 năm 2009-2010) Giải: Điều kiện x  0, y  Sáng kiến kinh nghiệm Trang Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình 1 Đặt u  , v  Ta hệ y x u  v3 9 Đây hệ phương  ( u  v )(1  u )(1  v )  18  trình đối xứng loại quen thuộc (đã biết cách giải) Nhận xét: Qua ví dụ trên, ta thấy việc sử dụng ẩn phụ giúp ta chuyển toán từ dạng chưa quen thuộc dạng quen thuộc biết cách giải, đồng thời hạn chế tính toán cồng kềnh Mặt khác, ta sáng tác toán từ hệ phương trình đối xứng loại đơn giản chẳng hạn, từ hệ phương trình (*) ví dụ 3, ta thay u  x2  2, v  y  y   x  y  y   ta hệ phương trình  2  x  y  y  x  y  y   phức tạp c) Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình bậc hai, bậc ba: Ví dụ 6: Giải phương trình:  x  x   (4) Giải: Điều kiện: x  1 Đặt u   x , v  x  2, u  u  v  Ta hệ phương trình:  Dễ dàng giải hệ u  v   phương pháp thế, tìm v  1; u  Từ tìm x =3 Nhận xét: Với phương trình (4) việc sử dụng phương pháp biến đổi tương đương làm toán phức tạp, sử dụng cách đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình cho ta lời giải hay đơn giản nhiều Đặc biệt với toán có chứa bậc cao (căn bậc 4, bậc 5,…) phương pháp đặt ẩn phụ đưa hệ tỏ hiệu nhiều d) Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp: Ví dụ 7: Giải phương trình 10 x3   3( x2  x  6) (5) Giải: Đk: x  2 Phương trình  10 ( x  2)( x  x  4)  ( x  x  4)  ( x  2)  Sáng kiến kinh nghiệm Trang Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình Đặt u  x  2; v  x2  x  4; u  0; v  Phương trình (5) trở thành 10uv  3(u  v ) Đây phương trình đẳng cấp bậc biết cách giải Nhận xét: Với phương trình (5) việc biến đổi tương tương cách bình phương hai vế không thực được, phương trình thu bậc không đặc biệt Dấu hiệu để nhận biết cách phân tích đặt dựa vào biểu thức x3   ( x  2)( x2  x  4) mà ( x  2)  ( x2  x  4)  x2  x  * Dạng tổng quát:  P(x)+ Q(x)+ P(x).Q(x)  (phương trình đẳng cấp) e) Đặt ẩn phụ “không hoàn toàn” đưa phương trình bậc hai: Đặt ẩn phụ “không hoàn toàn” dùng ẩn phụ t, đồng thời ẩn cũ tồn phương trình mà ta coi tham số, để phương trình thu có dạng quên thuộc Ví dụ 8: Giải phương trình:  x   3x   x   x (6) Giải: Điều kiện: 1  x  Phương trình   x   x  (1  x)   x   x  x Đặt t   x ,  t      Khi ta phương trình: t    x t   x   x  (6’) Ta coi phương trình (6) phương trình bậc với ẩn t x coi tham số,  phương trình có biệt thức    x   t   x Khi (6’)   Tới tiếp tục thay t   x ta giải phương t    x  trình chứa thức dạng quen thuộc Nhận xét: Với phương trình này, giải theo cách thông thường, đặt t   x , biểu diễn biểu thức lại x theo t, dẫn đến phương trình phức tạp phương trình ban đầu Vì việc thừa nhận Sáng kiến kinh nghiệm Trang Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình đồng thời hai biến lại giúp ta đưa phương trình dạng quen thuộc Tuy nhiên lưu ý rằng, biệt thức  không biểu diễn dạng A2 toán chưa giải được, cần phải tìm hướng giải khác Đôi ý tưởng vận dụng vào việc giải hệ phương trình  y  ( y  3) x  y  3 Chẳng hạn, giải hệ phương trình:    y  x   (IV) Với hệ này, phải bắt đầu biến đổi từ phương trình thứ nhất, tất nhiên cần tìm mối liên hệ bậc x y Tuy nhiên việc phân tích phương trình thứ thành nhân tử việc làm đơn giản Với ý tưởng coi phương trình y  ( y  3) x  y  3 phương trình bậc theo y, ta viết lại thành y  ( x  4) y   3x  , có biệt thức   ( x  2)2 Vì ta tìm y   y   x Tới việc giải hệ (IV) dễ dàng (xem lại ví dụ 6) * Sau số tập tương tự để vận dụng phương pháp: Bài tập 1: Giải phương trình sau 1) x  x  3 x    x Đặt y + = 3x  2) x   x  3) x  x   4) x  x  2 x  Đặt y – = x  5) x   x  Đặt y =  x 6) 16  x  3x  x  3x  Đặt y = x2  3x  7) x  x    13 x Đặt 3x   (2 y  3) 8) 32 x  32 x  x  15  20 Đặt x  15  y  9) x   x  x   (THTT 8/2011) 10) x  x  Đặt x   ( y  1) x3 (HSG lớp12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2008-2009) Sáng kiến kinh nghiệm Trang 10 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình 11) x3  53 x  36 x  3x   25 12) 1 x  x   13) x 1  2x 1  14) x   x   2x  15) Đặt 2y - = 3x  x   2x   16)  x  3 x    (Đề thi Đại học khối A năm 2009) 17)  2x  2x   5 x 5 x Bài tập2: Giải phương trình sau: 18) 2( x2  x  1)2  7( x  1)2  13( x3  1) 19) 3( x  1)  2( x  x  1)  ( x  1)( x  x  1) 20) x  5x   x3  21) x  14 x   x  x  20  x  (HSG lớp11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2011-2012) 22) 2( x2  2)  x3  23) x  x   x3  x 24) x   x   x2   x  25) x    x  ( x  1)(3  x)  26)  x  x2  3( x   x ) 27) x   x   3x  x  x   16 28) x  x  12 x   36 Đặt t =  x 29)  x   3x   x   x Đặt t =  x Sáng kiến kinh nghiệm Trang 11 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình Đặt t  x  30)  x  x  x   x  (Học sinh giỏi lớp12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2002-2003) 31) x   5x  ( x  4)( x  24) (Học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2003-2004) 2.1 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Qua hai năm triển khai thực thử nghiệm đề tài, nhận thấy: sau áp dụng phương pháp nói để bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh, phần lớn em đội tuyển nắm phương pháp vận dụng tốt kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh Kết cụ thể sau: Qua khảo sát học sinh khả vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình hệ phương trình kì thi học sinh giỏi cấp trường cấp tỉnh hai năm học 2010-2011 2011-2012 thu mẫu số liệu sau: Kì thi HSG cấp Kì thi HSG cấp Thành tích đạt trường Kết đạt 12/20 tỉnh cấp tỉnh 5/6 Đạt giải Ba Năm 2010-2011 Kết đạt 7/10 giải KK 6/6 Năm 2011-2012 Đạt giải Ba giải KK 2.1 TIỂU KẾT: Trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng đề thi học sinh giỏi cấp, toán phương trình hệ phương trình thường xuyên xuất mà phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp giải chủ yếu Việc trang bị cho học sinh cách có hệ thống kĩ thuật phương pháp đặt ẩn phụ cần thiết có ý nghĩa to lớn; giúp em giải toán phương trình, hệ phương trình kể Sáng kiến kinh nghiệm Trang 12 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình toán khác như: bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, toán tính tích phân, bất đẳng thức,… Việc sử dụng ẩn phụ để giải toán phương trình hệ phương trình giúp cho ta có lời giải rõ ràng, tính linh hoạt cao, có khả đưa toán lạ dạng quen thuộc cách dễ dàng, có khả sáng tạo nhiều toán hay độc đáo từ toán quen thuộc ban đầu Sáng kiến kinh nghiệm Trang 13 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 2.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Tính đơn điệu hàm số: a Định nghĩa: - Hàm số f gọi đồng biến (tăng) khoảng (a;b) x1 , x2  (a, b), x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) - Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) khoảng (a;b) x1 , x2  (a, b), x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) b Tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) f ( x1 )  f ( x1 )  x1  x2 , x1 , x2  (a, b) (suy từ định nghĩa) Tính chất 2: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khoảng (a;b) phương trình f ( x)  có không nghiệm khoảng (a;b) Chứng minh: a) Trường hợp hàm số f tăng khoảng (a;b) Giả sử có hai số x1 , x2 ( x1  x2 ) cho f ( x1 )  f ( x2 )  (*) Điều (*) gặp phải mâu thuẫn, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ), x1 , x2  (a, b) (do hàm số f tăng khoảng (a;b)) b) Trường hợp hàm số f giảm khoảng (a;b) Lập luận tương tự a) , ta gặp mâu thuẫn Vậy phương trình f(x) = có nhiều nghiệm khoảng (a;b) Sáng kiến kinh nghiệm Trang 14 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình 2.2 THỰC TRẠNG: Trong năm gần đây, đề thi tuyển sinh đại học đề thi học sinh giỏi thường xuất toán phương trình hệ phương trình mà học sinh toán khó lạ, phần lớn học sinh lúng túng sử dụng phương pháp giải biết phương pháp biến đổi tương đương, hay phương pháp đặt ẩn phụ Chẳng hạn, với hệ phương trình (I) đề cập phần lý chọn đề tài, việc sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, phát cách chọn ẩn phụ để đưa hệ phương trình dạng quen thuộc, sử dụng phép biến đổi tương đương, hay phương pháp toán trở nên phức tạp Với hệ (I), dễ dàng phát dạng phương trình thứ hệ sau (2 x)3  x    2y   y , từ nhận dạng f (2 x)  f (  y ) , với f (t )  t  t Vì chọn giải pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số tự nhiên hợp lí Qua khảo sát, đánh giá học sinh khối 11, 12 trường khả vận dụng kiến thức học chương trình sách giáo khoa để giải tập phương trình hệ phương trình kì thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2009-2010, thu mẫu số liệu sau: Số học sinh giải Số học sinh không giải Khối 11 3/10 7/10 Khối 12 4/10 6/10 2.3 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: (4 x  1) x  ( y  3)  y  ( a) Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:  2  (b ) 4 x  y   x (I) (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010) Giải: Điều kiện: x  ; y  Sáng kiến kinh nghiệm Trang 15 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình Ta có phương trình (a)  x3  x  1   y   y   2x   2x    2y   y (*) Đến ta thấy, đặt f (t )  t  t phương trình viết lại thành f (2 x)  f (  y ) Ta chứng minh f(t) hàm số tăng R x   f '(t )  3t   0, t  R Do suy x   y    x2 y   2 5  Thế vào phương trình (b) ta x    x    x   (c) 2  Dễ thấy x =0 x = không nghiệm phương trình (c) Xét 5  g ( x)  x    x    x  7, x  (0, ) Ta 2  hàm số có 4 5  g '( x)  x  x   x    x(4 x  3)   0x  (0, )  4x  4x 2  nên hàm số g(x) giảm (0, ) , mặt khác g ( )  nên phương trình (c ) có nghiệm x  1 , suy y = Vậy hệ (I) có nghiệm ( ,2) 2 Nhận xét: Với hệ học sinh gặp khó khăn sau: biểu diễn x qua y hay y qua x (theo quan hệ bậc nhất) nên việc sử dụng phương pháp không thể; hai hệ chưa có dạng đặc biệt có chứa thức nên khả sử dụng ẩn phụ khó Việc biến đổi phương trình (a) để đưa dạng (*) nên nghĩ đến, nhận dạng phương pháp giải sử dụng tính đơn điệu hàm số Ngoài ra, giải phương trình (c ) nên chọn lựa phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số phương trình phức tạp sử dụng phương pháp biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ Sáng kiến kinh nghiệm Trang 16 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình (3  x)  x  y y   (a) Ví dụ 10: Giải hệ phương trình   (b) 2  x  (2 y  1) (V) (Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010-2011) Giải: Điều kiện: x  2; y  Ta có (a)  1     2  x   x  1      2 y   y  (c )  Xét hàm số f (t )  (1  t )t  t  t , t  , phương trình (c ) trở thành f (  x )  f ( y  1) Ta có f '(t )  3t   0, t  nên f(t) hàm số tăng [0;+) Do  x  2y 1   x  y 1 x  Thay vào phương trình (b) ta được: 2  x  (2  x)3    x  Với x = suy y = (thõa điều kiện) Với x = suy y = (thõa điều kiện) Vậy hệ phương trình (V) có nghiệm (0, );(2; ) 2 Ví dụ 11: Giải phương trình: x2  x   x2    x (7) Giải: Phương trình (7)  ( x  1)2   ( x  1)  (2 x)2   x (*) Xét hàm số f(t) = Ta có f’(t) = t   t , (*) trở thành f(x-1) = f(2x) t t2 1 1 t  t2 1 t2 1  0, t  R nên f(t) đồng biến R Do f(x-1) = f(2x)  x   x  x  1 Vậy (7) có nghiệm x  1 Ví dụ 12: Giải phương trình: 16 x3  x  x   2(4 x  1) x  (8) (Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010 – 2011) Sáng kiến kinh nghiệm Trang 17 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình Giải: Điều kiện: x  Đặt y  x  1, y   x   y (*) Thay y  x  vào (8) ta được: 16 x3  x2  x   y3 (**) Lấy (*) cộng (**) vế theo vế ta 16 x3  x2  y3  y  2(2 x)3  (2 x)2  y3  y (***) Xét hàm số f (t )  2t  t , t  , (***) trở thành f (2 x)  f ( y) Ta có f '(t )  6t  2t  0, t  nên hàm số f(t) tăng [0,+) 2 x  Do f (2 x)  f ( y)  y  x Thay vào (*) ta có   x  2 4 x   x Vậy phương trình (8) có nghiệm x  * Sau số tập tương tự để vận dụng phương pháp: Bài tập Giải phương trình sau: 1) 3x   x  x   2) x3   x   x  3) x   x  x   x  16  14 4) x  15   3x  x  Bài tập Giải phương trình sau: 5) ( x  1; x   ) x   x   2x2  2x2  1 (x ) 6) (2 x  1)(2  x2  x  4)  3x(2  x2  3)  (Tạp chí Toán học tuổi trẻ tháng 5/2007) 7) x   x  x   (Tạp chí THTT tháng 8/2011) 8) 3x(2  x2  3)  (4 x  2)( x2  x   1)  9) x3  x  12 x    x3  x  19 x  11 Sáng kiến kinh nghiệm Trang 18 (x ) Đặt y   x3  x2  19 x  11 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình 10) x3  x  x   x  x  Đặt y  x2  x  11) x3  3x  x   (3x  2) 3x  Đặt y = 3x  (Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010) 12) 27 x  27 x  13 x   x  (Đề học sinh giỏi lớp 12 thành phố Hải Phòng năm 2010) Bài tập 3: Giải hệ phương trình sau:  y  x    x    x (1) 13)  3 2 2 x  y  x y  xy  3x  y (2) (Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2011 – 2012 ) 2 x x   (4 y  2) y  14)   x   y  3 x  y    y  x  12 x    15)  z  y  12 y    x3  z  12 z    (Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 1995 – 1996 ) 2 x3  x  x   y  16) 2 y  y  y   z 2 z  z  z   x  2.4 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Qua hai năm triển khai thực thử nghiệm đề tài, nhận thấy: sau áp dụng phương pháp nói để bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh, phần lớn em đội tuyển nắm phương pháp vận dụng tốt kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh Kết cụ thể sau: Qua khảo sát học sinh khả vận dụng phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình hệ phương trình kì thi Sáng kiến kinh nghiệm Trang 19 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình học sinh giỏi cấp trường cấp tỉnh hai năm học 2010-2011 20112012 thu mẫu số liệu sau: Kì thi HSG cấp Kì thi HSG cấp Thành tích đạt trường Kết đạt 10/20 tỉnh cấp tỉnh 4/6 Đạt giải Ba Năm 2010-2011 Kết đạt 7/10 giải KK 5/6 Năm 2011-2012 2.5 Đạt giải Ba giải KK TIỂU KẾT: Những năm gần đây, trình xây dựng biên soạn đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng, đề thi học sinh giỏi cấp, người ta thường tâm đến phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải toán phương trình hệ phương trình, số toán khác bất đẳng thức, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, Nên việc trang bị cho em học sinh số kĩ thuật sử dụng phương pháp có ý nghĩa lớn, giúp em có nhìn đầy đủ ý nghĩa phần hàm số chương trình toán phổ thông, giúp em có khả vận dụng linh hoạt “phương pháp hàm số” việc giải phương trình hệ phương trình nói riêng giải toán nói chung Sáng kiến kinh nghiệm Trang 20 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình PHẦN III: KẾT LUẬN Phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số hai phương pháp chủ đạo phổ biến việc giải dạng toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nói riêng hầu hết dạng toán khác nói chung chương trình toán phổ thông Vì việc trang bị cho em học sinh khả vận dụng linh hoạt thành thạo hai phương pháp có ý nghĩa lớn việc bồi dưỡng lực môn toán cho học sinh, tạo cho học sinh khả tư sáng tạo Sáng kiến kinh nghiệm kết trình tự tìm tòi, nghiên cứu, đúc kết rút kinh nghiệm trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường cấp tỉnh hai khối 11 khối 12 hai năm học 2010 – 2011 2011 – 2012 Qua hai năm triển khai thực đề tài này, thấy tính hiệu đề tài cao, đạt thành tích định kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, áp dụng để giảng dạy luyện thi đại học, cao đẳng, bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh cho năm Trong năm học tới, tiếp tục nghiên cứu bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh để dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh đạt kết Tôi mong hội đồng chuyên môn Nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, khả thể triển khai áp dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp cho năm Nhà trường đạt hiệu cao Trong trình biên soạn đề tài có nhiều cố gắng, nhiên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn Nhà trường để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Quảng Ngãi tháng 05 năm 2012 Sáng kiến kinh nghiệm Trang 21 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình hệ phương trình TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thái Hòe, Dùng ẩn phụ để giải toán, Nhà xuất Giáo dục (2003) [2] Tạp chí toán học tuổi trẻ, Việt Nam Sáng kiến kinh nghiệm Trang 22 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần [...]... mới và đầy đủ hơn về ý nghĩa phần hàm số trong chương trình toán phổ thông, giúp các em có khả năng vận dụng linh hoạt phương pháp hàm số trong việc giải phương trình và hệ phương trình nói riêng và giải toán nói chung Sáng kiến kinh nghiệm Trang 20 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình PHẦN III: KẾT LUẬN Phương pháp đặt ẩn phụ và phương. .. đặt ẩn phụ là rất cần thiết và có một ý nghĩa to lớn; giúp các em không những giải quyết được những bài toán về phương trình, hệ phương trình và kể cả những Sáng kiến kinh nghiệm Trang 12 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình bài toán khác như: bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, bài toán tính tích phân,... trình xây dựng và biên soạn các đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng, đề thi học sinh giỏi các cấp, người ta thường chú tâm đến phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết các bài toán về phương trình và hệ phương trình, và một số bài toán khác như bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, Nên việc trang bị cho các em học sinh một số kĩ thuật sử dụng phương pháp. .. để giải các bài toán về phương trình và hệ phương trình giúp cho ta có được lời giải rõ ràng, tính linh hoạt cao, có khả năng đưa một bài toán lạ về dạng quen thuộc một cách dễ dàng, có khả năng sáng tạo được nhiều bài toán mới hay và độc đáo từ những bài toán quen thuộc ban đầu Sáng kiến kinh nghiệm Trang 13 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương. .. Đạt 1 giải Ba Năm 2010-2011 Kết quả đạt được 7/10 2 giải KK 6/6 Năm 2011-2012 Đạt 1 giải Ba 1 giải KK 2.1 TIỂU KẾT: Trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và các đề thi học sinh giỏi các cấp, bài toán phương trình và hệ phương trình thường xuyên xuất hiện mà phương pháp đặt ẩn phụ vẫn là phương pháp giải chủ yếu Việc trang bị cho học sinh một cách có hệ thống các kĩ thuật cơ bản của phương pháp. .. sinh đại học và các đề thi học sinh giỏi thường xuất hiện bài toán về phương trình và hệ phương trình mà đối với học sinh là những bài toán khó và lạ, phần lớn học sinh đều lúng túng khi sử dụng các phương pháp giải đã biết như phương pháp biến đổi tương đương, hay phương pháp đặt ẩn phụ Chẳng hạn, với hệ phương trình (I) đã đề cập trong phần lý do chọn đề tài, thì việc sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ,... kiến thức đã học trong chương trình sách giáo khoa để giải các bài tập phương trình và hệ phương trình trong kì thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2009-2010, tôi thu được mẫu số liệu sau: Số học sinh giải được Số học sinh không giải được Khối 11 3/10 7/10 Khối 12 4/10 6/10 2.3 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: (4 x 2  1) x  ( y  3) 5  2 y  0 ( a) Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:  2 2  7 (b ) 4 x  y... hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình học sinh giỏi cấp trường và cấp tỉnh trong hai năm học 2010-2011 và 20112012 tôi thu được mẫu số liệu sau: Kì thi HSG cấp Kì thi HSG cấp Thành tích đạt trường Kết quả đạt được 10/20 tỉnh được ở cấp tỉnh 4/6 Đạt 1 giải Ba Năm 2010-2011 Kết quả đạt được 7/10 2 giải KK 5/6 Năm 2011-2012 2.5 Đạt 1 giải Ba 1 giải KK TIỂU KẾT:... Phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số là hai phương pháp chủ đạo và khá phổ biến trong việc giải các dạng toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nói riêng và hầu hết các dạng toán khác nói chung trong chương trình toán phổ thông Vì vậy việc trang bị cho các em học sinh khả năng vận dụng linh hoạt và thành thạo hai phương pháp này có ý nghĩa rất lớn trong... Thuần hoctoancapba.com Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình (3  x) 2  x  2 y 2 y  1  0 (a) Ví dụ 10: Giải hệ phương trình  3  0 (b) 2 2  x  (2 y  1) (V) (Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010-2011) Giải: Điều kiện: x  2; y  Ta có (a)  1    1 2  2 2  x  2  x  1      2 2 y  1  2 y  1 (c )  Xét hàm số f (t )  (1  t 2 )t