... CMR:
12. Cho hai số thực , thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
13. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
14.
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
15. Cho 3 số dương . Chứng...
... Trần Nhân Tông - Hà Nội
Một số bàitậpvề chứng minh bấtđẳngthức ( Dùng để ôn thi đại học)
Bài 1: Cho x, y, z là các số tùy ý
CMR:
222222
zyzyzxzxyxyx
++≥+++++
Bài 2: Cho a, b, c là các số ...
abc
cba
+
≥
+
+
+
+
+
1
3
1
1
1
1
1
1
333
Bài 8: Nếu x; y là hai số tùy ý thỏa mãn
0
≥+
yx
Thì :
yxyx
+
+
≥
+
+
+
21
2
41
1
41
1
Bài 9: Cho a; b; c là 3 số khác 0
CMR:
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≥++
2
2
2
2
2
2
Bài 10: Cho ...
cbazyx
111111
++>++
Bài 5: Giả sử a, b,c, d là 4 số dương thỏa mãn
3
1
1
1
1
1
1
1
1
≥
+
+
+
+
+
+
+
dcba
CMR:
81
≤
abcd
Bài 6: Biết a,b,c là 3 số tùy thuộc
[ ]
1;0
CMR:
accbbacba
222222
1
+++≤++
Bài...
... là một bấtđẳng thức
Quy ước :
• Khi nói về một bấtđẳngthức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất
đẳng thức đúng.
• Chứng minh một bấtđẳngthức là chứng minh bấtđẳngthức ... d) D =
1
1
2
+
+
x
x
IV .Bất đẳngthứcvề trị tuyệt đối:
Bài 1: Cho
10
=++
zyx
CMR:
4321
++
zyx
Bài 2: CMR :
( )( )
( )( )
ababbababa
++++++
11112
22
Bài tập thêm :
Bài 1: Cho a,b,c > 0 ... số
Ví dụ 1: Chứng minh bấtđẳng thức: sinx < x với mọi x > 0
Ví dụ 2: Chứng minh bấtđẳng thức:
2
1cos
2
x
x
−>
với mọi x > 0
Ví dụ 3 : Chứng minh bấtđẳng thức:
xtgxx 2sin
>+
...
... Trần Nhân Tông - Hà Nội
Một số bàitậpvề chứng minh bấtđẳngthức ( Dùng để ôn thi đại học)
Bài 1: Cho x, y, z là các số tùy ý
CMR:
222222
zyzyzxzxyxyx
++≥+++++
Bài 2: Cho a, b, c là các số ...
abc
cba
+
≥
+
+
+
+
+
1
3
1
1
1
1
1
1
333
Bài 8: Nếu x; y là hai số tùy ý thỏa mãn
0
≥+
yx
Thì :
yxyx
+
+
≥
+
+
+
21
2
41
1
41
1
Bài 9: Cho a; b; c là 3 số khác 0
CMR:
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≥++
2
2
2
2
2
2
Bài 10: Cho ...
cbazyx
111111
++>++
Bài 5: Giả sử a, b,c, d là 4 số dương thỏa mãn
3
1
1
1
1
1
1
1
1
≥
+
+
+
+
+
+
+
dcba
CMR:
81
≤
abcd
Bài 6: Biết a,b,c là 3 số tùy thuộc
[ ]
1;0
CMR:
accbbacba
222222
1
+++≤++
Bài...
... – ĐT : 097 6566882
2 2 2
a b c 3+ + =
CÁC BÀITẬPVỀBẤTĐẲNGTHỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT
Bài 1 . Cho a,b,c dương và a+b+c=1 .Chứng minh rằng :
( )
3
2 2 2
a b c 10
abc
c a b
9 a b c
+ ... THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 097 6566882
Bài 38 .
3
2 2
x y 1 x y 5
x xy 4 y xy 4 12
+ + + + =
+ + + + + =
Bài 39 .
10 10 4 4
x y
xy
y x
x y 8x y
+ =
+ =
Bài 40.
2
3
2
3
x 1 ... của biểu thức :
2
4
6 1 tg A
2
64sin B 4 2
M
tg A 12sin B
+
+
=
+
Bài 22. Cho x,y dương thoả mãn x+y ≥4 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2 2
2
3x 4 2 y
A
4x y
+ +
= +
Bài 23. Cho...
... cấp cao
2.2. Giải bàitậpbấtđẳngthức bằng phƣơng pháp khảo sát hàm số
Để chứng minh bấtđẳng thức, ngoài các bấtđẳngthức kinh điển như bấtđẳngthức Cauchy, bất
đẳng thức Bunhiacopxki ... kiến thức, vận dụng kiến
thức để giải quyết yêu cầu đa dạng của bài toán của học sinh như ở lớpthực nghiệm. Tuy nhiên
Bài tập đề nghị
2.3. Giải bàitậpbấtđẳngthức bằng các bấtđẳngthức ...
thông qua các bàitậpvềbấtđẳngthức được giải bằng đạo hàm ít được giáo viên và học sinh
quan tâm (về nhận thức và vận dụng).
3. Phân loại, xây dựng hệ thống các bàitậpvềbấtđẳngthức được...
... ≠
Tốn 9- Thandieu2 sưu tầm
10
Ôn thi vào 10 -Bài tậpvềBấtđẳng thức, cực trị
Ta có
( )
1
2
<++=++ cbazyx
(1)
9
111
≥++⇔
zyx
Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0
Theo bấtđẳngthứcCôsi ... =1 ) (đpcm)
Toán 9- Thandieu2 sưu tầm
6
Ôn thi vào 10 -Bài tậpvềBấtđẳng thức, cực trị
Giải:a)
ab
b
a ≥+
4
2
2
abba 44
22
≥+⇔
044
22
≥+−⇔ baa
( )
02
2
≥−⇔ ba
(bất đẳngthức này luôn đúng)
Vậy
ab
b
a ... Vậy ta có điều phải chứng minh
• Sử dụng một số bấtđẳngthức cổ điển thông dụng:
Toán 9- Thandieu2 sưu tầm
2
Ôn thi vào 10 -Bài tậpvềBấtđẳng thức, cực trị
a)
xyyx 2
22
≥+
b)
xyyx
≥+
22
...
... Cho
, 0a b ≥
. CMR:
a.
3 3 5 5 9 9
( )( )( ) 4( )a b a b a b a b+ + + ≤ +
b.
5 5 5
16( ) ( )a b a b+ ≥ +
CHỦ ĐỀ 3. Chứng minh bấtđẳngthức bằng bất
đẳng thức côsi
Câu 1. Cho a, b, c > 0 ... + + + + + + +
Câu 49. Cho dãy số thoã mãn:
x 2000
0
2
2 2001 0,
1
x x x n N
n n
n
=
− + = ∀ ∈
+
Tìm
limx
n
n→+∞
Chủ đề 4. CMR BẤTĐẲNGĐẲNGTHỨC
BẰNG BẤTĐẲNGTHỨC BCS
Câu 1. a) ... mãn:
1
2
1
2
1 =−+− xyyx
CMR:
1
22
=+ yx
b) Từ đẳngthức hai có suy ra được đẳngthức một không
Câu 2. Cho x, y, z >0 và x + y + z = 1 thì :
9
111
≥++
zyx
Câu 3. Cho:
2
5
,,,1:;
13
2222
7
≤≤
=+++
=+++
dcbaCMR
dcba
dcba
Câu...
... thuộc. Nếu có bàitập nâng cao thì làm xong bài nào
chỉ biết cách làm bài đó không biết cách suy luận để chuyển về những bài toán
về những dạng đã làm, đã giải, không biết mở rộng những bài toán đã ... là hằng số), ta thường dùng đến bất đẳng
thức:
-x
2
≤
0 ; -|x|
≤
0
Sau đây một số ví dụ về việc sử dụng bấtđẳng thức
Ví dụ 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2(x + 3)
2
– 5
Giải
Ta ... trong
các bấtđẳngthức tương tự như trong các đẳng thức
III. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Một biểu thức có thể có những giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Chẳng
hạn biểu thức...
... dấu bằng xảy ra khi nào?)
-Bài đọc thêm vềBấtđẳngthức Bunhiacốpxki với bốn số thực.
4. BTVN:
-Ôn tập lại các dạng toán của bài.
-Bài tập 20 có thể làm theo Bấtđẳngthức Bunhiacốpxki với bốn ... Em hãy làm lại bài 20 với áp
dụng Bấtđẳngthức Bunhiacốpxki.
Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng
Tiết 44 LUYỆN TẬP (1 TIẾT)
I. Mục tiêu
1. Về kiến thức:
- Hiểu khái niệm bấtđẳngthức (BĐT), nắm ... (
3
4
x - 5)
2
= x
2
+
9
16
x
2
-
3
40
x + 25
=
9
25
x
2
-
3
40
x + 25
=
99 4
3
5
2
≥+
−x
Hoặc có thể làm thao cách khác
là áp dụng :
Bất đẳngthức Bunhiacốpxki với
bốn...
...
11
2
2
f x f
a
Dấu đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi x = y =1, z = 0 hoặc các hoán
vị
1
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀBẤTĐẲNGTHỨC
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số ... c
Theo bấtđẳngthức Holder ta có:
S
3
.P
(a +b +c)
4
S
3
(a +b +c)
2
= 1
S
1
Dấu đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3
Bài 16: Cho a
1
,
a
2
, ... a
n
)
Theo bấtđẳngthức Holder ta có : A
2
B
(a
1
+ a
2
+ + a
n
)
3
= 1
Dễ thấy B =1-(a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
)≤ 1-
2
1 2 n
a a a
1n
nn
do đó
1n
A
n
Đẳngthức xáy...
... nội dung bấtđẳngthứcCôsi và bấtđẳngthức Bunhiacopxki trong chương trình Toán
THPT.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được hệ thống bàitậpvềbấtđẳngthứcCôsi và bấtđẳngthức Bunhiacopxki ... HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY
HỌC GIẢI BÀITẬPVỀBẤTĐẲNGTHỨC CÔ SI VÀ BẤTĐẲNGTHỨC
BUNHIACOPXKI.
2.1. BấtđẳngthứcCôsi
2.1.1. Bấtđẳngthức Côsi: Với n số không âm
12
, , , ( 2)
n
a ... vềbấtđẳngthứcCôsi và bấtđẳngthức Bunhiacopxki”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc rèn tư duy.
- Nghiên cứu một số kỹ năng áp dụng bấtđẳngthứcCôsi và bất đẳng...
... bấtđẳngthức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
1.17. Áp dụng bấtđẳngthức (1.1) ta có
2
3
33
9
3
9
111
9
1
1
1
1
1
1
=
+
≥
+++
=
+++++
≥
+
+
+
+
+ cbacbacba
Đây là bấtđẳngthức ...
acnanc
nnn
)1(
11
+≥+
++
Cộng theo từng vế các bấtđẳngthức ta được bấtđẳngthức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi
cba ==
.
2.6. Áp dụng bấtđẳngthứcCôsi cho n + 1 số dương
1
2
1
1
1
1
1
1
,, ... trước tới nay cũng đã có rất nhiều sách viết vềbấtđẳng thức, có
rất nhiều đề thi các cấp có bài toán bấtđẳng thức, nhưng các bài toán bất
đẳngthức dù có mặt ở đâu và với tần suất như thế...