Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 5 - Trường ĐH Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân đường cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân đường loại 1, tích phân đường loại hai; định nghĩa, cách tính; công thức Green; tích phân không phụ thuộc đường đi. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích hàm nhiều biến Chương 5: Tích phân đường • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - I –Tích phân đường loại II –Tích phân đường loại hai II.1 – Định nghĩa, cách tính II.2 – Cơng thức Green II.3 – Tích phân khơng phụ thuộc đường I Tích phân đường loại -  A2        M2   A1 M1   A0  An Mn   An1    I Tích phân đường loại - f  f ( x, y ) xác định đường cong C Chia C cách tùy ý n đường cong nhỏ điểm A0 , A1 , , An Độ dài tương ứng L1 , L2 , , Ln Trên cung Ai Ai1 lấy tuỳ ý điểm M i ( xi , yi ) n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  Li i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, cách lấy điểm Mi n I   f ( x, y ) dl C gọi tích phân đường loại f=f(x,y) cung C I Tích phân đường loại - Tính chất tích phân đường loại 1) Hàm liên tục cung C, bị chặn, trơn tùng khúc khả tích C 3)    fdl    fdl 2) L(C )   1dl C C 4)  ( f  g )dl   fdl   gdl C C C C 5) Tích phân đường loại khơng phụ thuộc chiều lấy tích phân C 6) Nếu C chia làm hai cung C1 C2 không dẫm lên nhau:  fdl   fdl   fdl C 7) C1 C2 ( x, y )  C , f ( x, y )  g ( x, y )   fdl   gdl C C 8) Định lý giá trị trung bình Nếu f(x,y) liên tục cung trơn C có độ dài L Khi tồn điểm M0 thuộc cung C, cho  fdl  f ( M )  L C Cách tính tích phân đường loại Cung C cho phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), t1  t  t2 n   f ( x, y )dl  lim   f ( M i )  Li  n  i 1  C Li độ dài cung nhỏ AiAi+1: ti 1 2 2  x (t )    y (t )  dt  x (t )    y (t )   t Chọn điểm trung gian M có tọa độ  x(t ), y (t )    f ( x, y )dl  lim   f  x(t ), y (t )    x (t )    y (t )   Li   ' ' ' ' i i ti  ti  ti 1 i ti i n i n i 1 C t2 i  f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t ))  C t1 i i ' ' i i  x (t )    y (t )  ' '   ti   dt Cách tính tích phân đường loại Cung C cho phương trình: y = y(x), a xb Phương trình tham số C :x = x(t), y = y(t), t1  t  t2 t2  f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t ))  C  x (t )    y (t )  ' t1 ' dt ' t2  y (t )  '   f ( x(t ), y (t ))    '  x (t )  dt t1  x (t )  b  '  f ( x, y )dl   f ( x, y ( x))   y ( x) C a  dx Tương tự, Cung C cho phương trình: x = x(y), c  y  d d  '  f ( x, y )dl   f ( x( y ), y )   x ( y ) C c  dy I Tích phân đường loại - Tương tự , ta có định nghĩa tích phân đường không gian f  f ( x, y , z ) xác định đường cong C không gian C cho phương trình tham số:  x  x(t )   y  y (t ),  z  z (t )  t1  t  t2 I   f ( x, y, z )dl C t2  f ( x, y, z )dl   f ( x(t ), y (t ), z (t )) C t1 2  x (t )    y (t )    z (t )  ' ' '  dt Ví dụ x Tính I   x3dl, C cung parabol y  ,  x  C b  ' I   f ( x, y ( x))   y ( x) a  dx   x '  ( y ( x)) dx   x 0 58  x dx  15 Ví dụ Tính I   xdl , C = C1 + C2 , với C1: y = x2, từ (0,0) đến (1,1) C C2 đường thẳng từ (1,1) đến (1,2)  ' I   xdl   xdl   xdl   x   y ( x) C C1 C2 2   x   x dx   1      2  ' dx   x( y )   x ( y ) 5 1 2 dy   dy Ví dụ Tính I   (2  x y )dl, với C nửa đường tròn x  y  C b  ' Có thể dùng công thức I   f ( x, y ( x))   y ( x) a  dx việc tính tốn phức tạp Viết phương trình tham số cung C Đặt x  r cos t ; y  r sin t Vì x  y  1, nên r =  x  cos t ; 0t  Phương trình tham số nửa cung tròn:   y  sin t  I   (2  cos t  sin t )  ' x (t ) 2   y (t ) dt   (2  cos2t  sin t )dt   2   '  Ví dụ Tính I   (4  y )dx  xdy , C cung Cicloid C x  2(t  sin t ), y  2(1  cos t ),0  t  2 (cùng chiều kim đồng hồ) Cung C khơng kín 2 I   (4  2(1  cos t ))  2(1  cos t )dt  2(t  sin t )(2sin t )dt 2 I   4t sin tdt  8 Ví dụ Tính I   e  ( x2  y )  cos xydx  sin xydy  , C x2  y2  ngược chiều kim đồng hồ P ( x, y )  e  ( x2  y ) cos(2 xy ) P  ( x  y2 )  2e  y cos(2 xy)  x sin(2 xy)  y Q  ( x  y2 )  2e  y cos(2 xy)  x sin(2 xy)  x  Q P  I     dxdy   y  x2  y2 4  x Ví dụ xdy  ydx , C đường cong kín tùy ý I 2 C x  y không chứa gốc 0, ngược chiều kim đồng hồ Tính Trường hợp C không bao quanh gốc Sử dụng công thức Green y P( x, y)  x  y2 P 1 y2   2 2 y x  y x y  x Q( x, y)  x  y2 Q x2   x x  y x  y2     Q P  I     dxdy   y  D  x Trường hợp C bao quanh gốc Khơng sử dụng cơng thức Green P, Q ĐHR cấp không liên tục miền D, có biên C Kẻ thêm đường trịn C1 có bán kính a đủ nhỏ để C1 nằm lọt C, chọn chiều kim đồng hồ I        I1  I C CC1 C1 I1   CC1  Q P   dxdy  =     y  D  x Gr een Tính tích phân I2 cung tròn x2 + y2 = a2 Phương trình tham số cung C1: x  a cos t , y  a sin t , t1  2 , t2  0 a cos t  a cos t  dt  a sin t  a sin t  dt I2    2 a 2 I  I  I  2 II.3 Tích phân khơng phụ thuộc đường - Định lý Cho hàm P(x,y), Q(x,y) ĐHR cấp chúng liên tục miền mở đơn liên D chứa cung AB Các mệnh đề sau tương đương Q P  x y Tích phân I   Pdx  Qdy khơng phụ thuộc đường cong trơn khúc AB nối cung AB nằm D Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy, tức dU ( x, y)  Pdx  Qdy Tích phân chu tuyến kín C, trơn khúc D I   Pdx  Qdy  C II.3 Tích phân khơng phụ thuộc đường - Q P  Tích phân khơng phụ thuộc đường ( ) x y B I        I1  I AB AC CB x  xB yA , yB I   P( x, y)dx  Q( x, y)dy AC A xB y  yA xA , xB   P( x, yA )dx  Q( x, yA )  0dx xA yB I   P( x, y)dx  Q( x, y)dy   P( xA , y)  0dy  Q( xB , y)dy CB yA xB yB xA yA  I   P( x, yA ) dx   Q( xB , y)dy C Ví dụ (2,3) Tính I   ydx  xdy ( 1,2) Q P  1 x y suy ra, tích phân khơng phụ thuộc đường  B(2,3) Cách 1 A(1, 2)  C I       2dx   2dy  AC CB Cách Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy U x'  P( x, y)  ' U y  Q( x, y) tìm hàm U ( x, y)  xy (2,3) I   ydx  xdy ( 1,2) (2,3)  U ( x, y ) ( 1,2)  U (2,3)  U (1, 2)  Ví dụ (6,8) Tính I  (1,0) xdx  ydy x2  y Q P suy ra, tích phân khơng phụ thuộc đường  x y Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy  ' U x  P( x, y)    U '  Q( x, y)   y  x x2  y2 y x  y2 (1) (1)  U ( x, y)   P( x, y)dx  g( y) U ( x, y)  (2) (2)  g' ( y)   g( y)  C U ( x, y)  x2  y2  C (6,8) x  y  g( y ) I  U ( x, y ) (1,0)  U (6,8)  U (1, 0)  Ví dụ Tính xdx  ydy I  2 x  y AB theo đường cong AB tùy ý từ (1,0) đến (2,0): a) Không bao quanh gốc tọa độ; b) Bao quanh gốc tọa độ a) Q P  x y tích phân I khơng phụ thuộc đường từ A đến B dx I   ln | x |  ln x Q P  b) Đây tích phân không phụ thuộc đường x y I tính theo đường thẳng từ A đến B theo trục hồnh, khơng có miền đơn liên D chứa đường cong kín bao quanh gốc O cho P, Q ĐHR cấp liên tục D Có hai cách khắc phục: Cách Tính theo đoạn thẳng: AC, CD, DE, EF, FB đó: A(1,0), C(1,1), D(-1,1), E(-1,-1), F(2,-1), B(2,0) Cách Tìm hàm U(x,y) vi phân tồn phần P(x,y)dx+Q(x,y)dy x  ' U x  P( x, y)  x2  y2 (1)   y U y'  Q( x, y)  (2) 2  x y (1)  U ( x, y)   P( x, y)dx  g( y) ln( x  y ) U ( x, y)   g( y ) (2)  g' ( y)   g( y)  C U ( x, y)  ln( x2  y2 )  C (2,0) I  U ( x, y ) (1,0) ln  ln1  U (2, 0)  U (1,0)   ln 2 Ví dụ I   (2 ye xy  e x cos y )dx  (2 xe xy  e x sin y )dy C a) Tìm số  để tích phân I khơng phụ thuộc đường b) Với  câu a), tính I biết C cung tùy ý nối A(0,  ) B(1,0) a) Điều kiện cần để tích phân khơng phụ thuộc đường Q P  x y  2exy  xyexy   e x sin y  2exy  xyexy  e x sin y  1 Đây điều kiện đủ với cung C ln tìm miền đơn liên D chứa cung C cho P, Q ĐHR cấp liên tục miền D b) với   ta có tích phân (1,0) I   (2 ye xy  e x cos y )dx  (2 xe xy  e x sin y )dy (0, ) Chú ý I không phụ thuộc đường  A(0,  ) x0 y1   , y2  O B(1, 0) I    AO OB y0  I    sin ydy   ex dx I  e x1  1, x2  Ví dụ a) Cho P ( x, y )  y, Q( x, y )  x  ye y Tìm hàm h(y) thỏa h(1) = cho tích phân I   h( y ) P ( x, y )dx  h( y )Q ( x, y )dy không phụ thuộc đường C b) Với h(y) câu a), tính I biết C phần đường cong có phương trình x2  y2  36 , ngược kim đồng hồ từ A(3,0) đến B(0,2) a) Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường Q P  x y Ví dụ I   ydx  zdy  xdz với C đường cong C x  a cos t , y  a sin t , z  bt ,0  t  2 theo hướng tăng dần biến t Tính 2 I   a sin t  (a sin tdt )  bt  (a cos tdt )  a cos t (bdt ) 2   I    a2 sin t  abt cos t  ab cos t dt   a2 Ví dụ I   ( y  z )dx  ( z  x)dy  ( x  y )dz với C giao x2  y2  z2  4, C y  x  tg ;0     , ngược chiều kim ĐH nhìn theo hướng trục 0x Tham số hóa cung C x2  x2tg2  z2  x2 z2  1 4cos  x  2cos   cos t; y  2cos   sin t; z  2sin t  t  2 2 I    (2sin  cos t  2sin t )(2cos  sin t )  (2sin t  2cos  cos t )(-2sin  sin t )  dt 2     (2 cos  cos t  2sin  cos t )(2 cos t ) dt  2 2a sin(   ) ... quanh gốc O cho P, Q ĐHR cấp liên tục D Có hai cách khắc phục: Cách Tính theo đoạn thẳng: AC, CD, DE, EF, FB đó: A(1,0), C(1,1), D (-1 ,1), E (-1 ,-1 ), F(2 ,-1 ), B(2,0) Cách Tìm hàm U(x,y) vi phân... x, y ) dl C gọi tích phân đường loại f=f(x,y) cung C I Tích phân đường loại - Tính chất tích phân đường loại 1) Hàm liên tục cung... )dy C gọi tích phân đường loại hai P(x,y) Q(x,y) cung C II Tích phân đường loại hai - Tính chất tích phân đường loại hai 1) Tích phân