Bài giảng Giải tích 1 – Trần Thị Khiếu

Bài giảng Giải tích 1 – Trần Thị Khiếu thông tin đến các bạn các nội dung: giới hạn của dãy số; hàm số hàm số một biến; phép tính vi phân hàm một biến số; tích phân xác định; lý thuyết chuỗi. Để nắm chi tiết nội dung kiến thức mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.

Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Cơ sở Hồ Chí Minh Khoa Cơ – Bộ mơn tốn Giải tích • Giảng viên: Trần Thị Khiếu • Email: ttkhieu@gmail.com - Cách tính điểm + Chuyên cần : 10% (điểm danh ngày) +Bài tập : 10% (lên bảng làm tập lần) +Kiểm Tra kỳ: 10% (trắc nghiệm 20 câu) +Thi cuối kỳ: 70% Tài liệu học - Giáo trình giải tích 1, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, TS Vũ Gia Tê (chủ biên), ThS Nguyễn Thị Dung, ThS Đỗ Phi Nga Mục lục Chương 1: Giới hạn dãy số Chương 2: Hàm số hàm biến Chương 3: Phép tính vi phân hàm biến số Chương 4: Tích phân xác định Chương 5: Lý thuyết chuỗi Chương 1: Giới hạn dãy số Số thực Cho ⊂ ℝ ∈ ℝ cận x  X , x  a ℝ Giá trị nhỏ tập chặn (cận trên) tập hợp X gọi chặn nhỏ (cận đúng) X ký hiệu supX, (supremum X) ∈ ℝ cận ℝ x  X , x  a Giá trị lớn tập chặn (cận dưới) tập hợp X gọi chặn lớn (cận đúng) X ký hiệu infX, (infimum X) Cho ⊂ ℝ Dãy số thực -Định nghĩa Một dãy số ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R u:N  R n  u ( n) Thường dùng ký hiệu:  un n 1   un0 gọi số hạng thứ hay đơn giản dãy un  CÁC CÁCH CHO DÃY SỐ 1/ Dạng liệt kê: VD: dãy 1, 2, 3,…; dãy 1, 1/2, 1/3,… 2/ Dạng tường minh: {un} cho dạng biểu thức giải tích biến n VD: un  n , un  / n 3/ Dạng quy nạp: Số hạng sau tính theo số hạng trước VD: u1  1, un 1  un2  un  un 1  un u1  1, u2  1, un 1  Sự hội tụ, phân kỳ dãy số Dãy số un  gọi hội tụ ∈ ℝ   0, n0  n  n0  un  a    Ký hiệu: n  lim un  a hay un  a n  Dãy un  gọi hội tụ có số un  a ∈ ℝ để nlim  Ngược lại, dãy không hội tụ gọi dãy phân kỳ Ta nói un  tiến đến  (hoặc: nhận  làm giới hạn) khi: A  0, n0  N  n  n0  un  A  n    Ký hiệu: lim un   hay un  n  Ta nói un  tiến đến  (hoặc: nhận  khi: làm giới hạn) B  0, n0  N  n  n0  un  B  n  Ký hiệu: lim un   hay un    n  Khi dãy có giới hạn   gọi phân kỳ n 1 Ví dụ: Dùng định nghĩa chứng tỏ lim n  n  1 n      n  1 1    n 1  n 1 Chọn số tự nhiên n0    1 n   Khi n  n0 :| un  1| 1  n  n0  n 1 n  lim  (theo định nghĩa) n  n  Chú ý: Để chứng minh dãy un  hội tụ thông thường dãy  n  hội tụ thỏa mãn điều kiện un  a   n , n  n0 Dãy Cho dãy un   u1, u2 , , un ,    Dãy dãy  un  dãy unk mà phần tử lấy từ dãy  un  theo cách chọn phải theo thứ tự từ trái qua phải  (-1) n n    un   n    -1, , - , , , ,     32 14    1 1  Một dãy là: vn    , , ,   14  Định lý 1.5 Nếu dãy un  hội tụ hội tụ ∈ ℝ , dãy Hệ Để dãy un  hội tụ ∈ ℝ điều kiện đủ hai dãy u n  u n  hội tụ Ví dụ:  n 2n    Chứng tỏ dãy   1 khơng có giới hạn  3n   n 1  Xét dãy với số chẵn: n = 2k 4k  k  k 4k  u2 k  (1)    6k  6k  Xét dãy với số lẻ: n = 2k + 4k  4k  k  4 2 u2k 1  (1)    6k  6k  Tồn hai dãy có giới hạn khác k 1 Vậy dãy cho khơng có giới hạn Số e   n  Xét dãy:  un         n     Giới hạn dãy ký hiệu e, người ta chứng minh e số vô tỷ, e  2.718281828 n  1 lim     e n   n Một số giới hạn 1) lim   0,  n n 2) lim n ln 3) lim  n  e n n n  0,  0 p 4) lim n  1, p n  5) lim n a  1, a  n  6) lim n  np e n 0 7) lim q n  0,| q | n n  1 8) lim     e n   n  a a 9) lim 1    e , a n   n ln p n 10) lim   0, p,  n n Một số giới hạn p ln n 13) lim   0,   n n    lim n   11)  n      lim n 0  n a   lim a n   12)  n  n   a   lim a 0  n p Qui tắc: ln n n lim n  0, a  n a n a lim  0, a  n n ! n  n a (a  1) n! Ví dụ ln n lim 0 n  n lim n  n 0 n  log 45 n n n 1  lim    n   n2 lim n  n 4n lim 0 n  n ! lim lim n 2  n 100 n n 0 lim 2n   n Các phương pháp tìm giới hạn dãy 1) Dùng biến đổi đại số ( nhân lượng liên hiệp, sử dụng đẳng thức quen biết, …) 2) Dùng định lý kẹp 3) Dùng định lý Weierstrass: chứng tỏ dãy đơn điệu bị chặn n 4) Dùng giới hạn số e a   a : lim     ea n  n 5) Dùng dãy để chứng minh khơng tồn Ví dụ Tìm giới hạn dãy  lim n  n  n   HD Nhân lượng liên hiệp Ví dụ Tìm giới hạn dãy   1 lim     n    2  n  (n  1)  1 HD Phân tích   n( n  1) n n  Ví dụ Tìm giới hạn dãy sin n  cos3 n lim n  n HD Sử dụng định lý kẹp Ví dụ Tìm giới hạn dãy  n2   lim    n  n    3n 1 HD Sử dụng giới hạn dãy số e Ví dụ Tìm giới hạn dãy  (1) n n lim n  n 1 HD Tìm hai dãy Tổng cấp số nhân  n lim  q  q    q  n n n   n1 q 1 1 q  lim n  q lim u0  u0q    u0q  lim n  u0  q n1 1 q  1 q  q 1 u0  1 q 1 1  lim 1      n  n    2n 1  lim  2 n   11 2  S  lim     , n  32  3 q      , u0   S  2 21 ... n  u0  q n? ?1 1 q  1? ?? q  q ? ?1 u0  1? ?? q 1 1  lim ? ?1      n  n    2n ? ?1  lim  2 n   1? ? ?1 2  S  lim     , n  32  3 q      , u0   S  2 21 ... phân kỳ n ? ?1 Ví dụ: Dùng định nghĩa chứng tỏ lim n  n  1 n      n  ? ?1 ? ?1    n ? ?1  n ? ?1 Chọn số tự nhiên n0    1 n   Khi n  n0 :| un  1|  ? ?1  n  n0  n ? ?1 n  lim  (theo... hiệu:  un n ? ?1   un0 gọi số hạng thứ hay đơn giản dãy un  CÁC CÁCH CHO DÃY SỐ 1/ Dạng liệt kê: VD: dãy 1, 2, 3,…; dãy 1, 1/ 2, 1/ 3,… 2/ Dạng tường minh: {un} cho dạng biểu thức giải tích biến