. Từ đú AB = OE O B OF OC
b. Ghi nhớ bằng cỏch hệ thống húa, khỏi quỏt húa và phõn loại theo cỏch riờng của mỡnh
mỡnh
Hệ thống húa, khỏi quỏt húa giỳp HS nắm kiến thức một cỏch sõu sắc hơn. Điều này cũn làm cho việc ghi nhớ tri thức của HS chắc chắn hơn, việc vận dụng sẽ cú hiệu quả hơn.
Vớ du: Từ hệ thống húa cỏc bài toỏn trong SGK hỡnh học 10 [37]:
Bài toỏn1: với 2 điểm A và B thỡ tồn tại duy nhất điểm O sao cho: OA + OB = 0uuur uuur r .
Bài toỏn 2: Cho đoạn thẳng AB với trung điểm I. CMR với mọi điểm O bất kỳ
ta cú OI = (OA + OB)1 2
uur uuur uuur .
Bài toỏn 3: Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G. CMR: GA + GB + GC = 0uuur uuur uuur r .
Bài toỏn 4: Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G. CMR với điểm O bất kỳ ta cú
( )
1
OG = OA + OB + OC
3
uuur uuur uuur uuur
Boài toỏn 5: Cho tứ giỏc ABCD. CMR cú 1 điểm G duy nhất sao cho
GA + GB + GC + GD = 0
uuur uuur uuur uuur r
điểm G như thế gọi là trọng tõm của 4 điểm A,B,C,D.
Bài toỏn 6: Gọi O là tõm của hỡnh bỡnh hành ACBD. CMR với điểm M bất kỳ,
ta cú MG = 1(MA + MB + MC + MD)
4
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
. Qua việc hệ thống húa cỏc bài toỏn trờn giỳp HS nắm sõu kiến thức, phương hướng chứng minh rồi suy luận thành cỏc bài toỏn tổng quỏt: "Cho n điểm A1,A2, ... ,An , với G là trọng tõm của hệ n điểm đú, ta cú:
i) n i i=1 GA = 0 ∑uuuuur ur ii) n i i=1 1 OG = OA n∑ uuur uuur , với O là điểm bất kỳ". Chứng minh:
+ Với n=1 ta cú AA = 0uuur →.
+ Giả sử đẳng thức đỳng với n - 1, tức là tồn tại G1 sao cho
→
uuuuur uuuuur uuuuuuur
1 1 1 2 1 n-1
G A + G A + .... + G A = 0. Trờn đoạn G1An lấy G sao cho
n 1 GA = -(n -1) GG → → . Khi đú: n i 1 1 1 1 1 2 1 1 n-1 n i=1 GA = GG + G A + GG + G A + ....+ GG + G A + GA ∑uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuuur uuuur uuuuuuur uuuuur
1 1
= (n -1)GG + (n -1)GG = 0uuuur uuuur r.
ii) Lấy điểm o bất kỳ cố định ta cú: GA = GA - OGuuuur uuuur uuuri i
với i = 1, n Cộng n đẳng thức trờn ta được n i n i i=1 i=1 0 = GA = OA - n OG → ì
∑uuur ∑uuur uuur
Suy ra OG = 1 OAi
n∑
uuur uuuuur
. Đẳng thức này chỉ ra sự tồn tại của G.
Ta chứng minh sự duy nhất: Giả sử cũn cú điểm G' thoả món
n n n
i i i
i=1G'A = 0→ i=1(G'G + GA ) = 0→ nG'G + GA = 0i=1 → nG'G = 0→ G G'.
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≡
∑uuuuur ∑ uuuur uuuur uuuur ∑uuuur uuuur
Vậy với một hệ điểm bất kỳ luụn tồn tại duy nhất trọng tõm của nú.
Trong hoạt động học tập toỏn, kỹ năng phõn loại cỏc dạng bài tập làm cho việc vận dụng cỏc kiến thức Toỏn học vào giải bài tập thuận lợi hơn. Đõy là một biện phỏp để phỏt triển năng lực giải toỏn của HS. Việc phõn loại bài tập cũn làm cho việc nắm lý thuyết của HS chắc chắn hơn.
Vớ dụ: Khi học xong cỏc định lý về hàm số cụsin trong tam giỏc, định lý hàm số
sin, cụng thức hỡnh chiếu là cơ sở để giải quyết cỏc vấn đề sau. + Tớnh cỏc yếu tố cạnh, gúc trong tam giỏc.
+ Cỏc bài toỏn về nhận dạng tam giỏc theo cạnh, theo gúc và theo cỏc yếu tố cạnh và gúc.
+ Chứng minh cỏc hệ thức liờn quan đến cỏc yếu tố cạnh và gúc trong tam giỏc. + Cỏc hệ thức về cạnh và đường chộo trong tam giỏc.
+ Tớnh bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp theo cạnh và gúc đối diện. + Cỏc bất đẳng thức liờn qua đến cạnh và gúc trong tam giỏc.
+ Một số hệ thức liờn qua đến diện tớch và bỏn kớnh đường trũn nội tiếp.
+ Chứng minh cỏc đường thẳng vuụng gúc, xỏc định gúc giữa tia, gúc giữa hai đường thẳng.