Một số loại hỡnh tư duy thường gặp trong mụn Toỏn là: tư duy độc lập, tư duy phờ phỏn, tư duy sỏng tạo.
- Tư duy độc lập: theo Nguyễn Bỏ Kim: "Tớnh độc lập của tư duy thể hiển ở khả năng tự mỡnh phỏt hiện vấn đề, tự mỡnh định hướng, tỡm ra cỏch giải quyết, tự mỡnh kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được"
- Tư duy phờ phỏn: theo Trần Thỳc Trỡnh [52, tr. 30]: "Tư duy phờ phỏn được đặc trưng bởi việc tạo lập tiờu chuẩn cho sự tin tưởng và hành động, kiờn định, thỏi độ của "phản xạ hoài nghi" và chỉ đưa ra phỏn đoỏn cuối cựng khi đó xem xột hết cỏc tư liệu đó cú".
- Tư duy sỏng tạo: theo Tụn Thõn [23, tr. 72]: " Tư duy sỏng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý thưởng mới độc đỏo và cú hiệu quả giải quyết vấn đề cao”.
í tưởng mới được thể hiện ở chỗ phỏt hiện vấn đề mới, tỡm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tớnh độc đỏo của ý tưởng mới thể hiện ở giải phỏp lạ, hiếm, khụng quen thuộc hoặc duy nhất. Tư duy sỏng tạo gồm 3 thành phần cơ bản: tớnh mền dẻo, tớnh nhuần nhuyễn, tớnh độc đỏo. KRUTEXKI chỉ ra ba vũng trũn đồng tõm phản ảnh mối quan hệ của 3 dạng tư duy, núi lờn điều kiện cần của tư duy sỏng tạo là tư duy độc lập và tư duy tớch cực.
Tư duy tớch cực: (HS chăm chỳ nghe thầy chứng minh định lớ cố gắng hiểu).
Tư duy độc lập: (HS tự đọc định lý cú thể theo gợi ý SGK).
Tư duy sỏng tạo: (HS tự khỏm phỏ ra định lý, tự tỡm cỏch chứng minh mà HS đú chưa biết).
Theo Nguyễn Cảnh Toàn [47, tr. 171]: "Cú tư duy độc lập mới cú tư duy phờ phỏn và cú tư duy phờ phỏn mới phỏt hiện được vấn đề, do đú mà cú tư duy sỏng tạo".
Vớ dụ: Khi day học cho HS hỡnh thành định lý hàm số Cosin trong tam giỏc. chỳng
ta gợi cho HS cõu hỏi: Em cú thể suy nghĩ gỡ hệ thức a2 = b2 + c2? Khi đú HS sẽ nghĩ: chắc là đối với tam giỏc bất kỳ phải cú một hệ thức tổng quỏt hơn hệ thức đú. Hệ thức đú sẽ trở thành hệ thức a2 = b2 + c2 khi gúc A trở thành gúc vuụng. Từ đú gợi cho HS cú thể phỏng đoỏn rằng hệ thức tổng quỏt cũng cú chứa a2 ở một vế, b2 + c2 ở một vế và cũn chứa thờm ở một vế nào đú một số hạng tuy chưa biết nhưng biết chắc rằng nú triệt tiờu khi gúc A = 90o. GV cú thể đặt cõu hỏi: cỏi gỡ sẽ triệt tiờu khi gúc A = 900? Hóy liờn hệ với những vấn đề đó học? Và HS sẽ nghĩ đến cosA. Như vậy, HS cú thể phỏng đoỏn rằng số hạng chưa biết chắc phải chứa cosA làm thừa số. Rồi cho HS nghĩ thờm rằng hệ thức tổng quỏt nhất định phải đẳng cấp nú chứa a2, b2 + c2. Vậy số hạng chưa biết cũng phải bậc 2 tức nú phải là một bội số của tớch 2 chiều dài nào đú với cosA. Ở đõy b,c đúng vai trũ như nhau cũn a đúng một vai trũ khỏc vậy hệ thức tổng quỏt phải như thế nào? HS phải trả lời được nú phải đối xứng với b,c và đú cú hệ thức đối xứng với b, c thỡ số hạng chưa biết cũng là một bộ số của: hoặc a2ìcosA, hoặc bcìcosA, hoặc b'c'ìcosA, trong đú b', c' là hai đoạn thẳng cũng sẽ hoỏn vị lẫn nhau khi ta hoỏn vị b và c. Đến đõy cú thể hỏi HS hệ thức
tổng quỏt phải cú dạng nào? rồi dẫn dắt HS hệ thức đú phải cú một trong 3 dạng sau đõy:
a2= b2+c2+ ka2 ìcosA (1) a2= b2+c2+ kbcìcosA (2) a2= b2+c2+ kb'c'ìcosA (3)
Muốn biết dạng nào đỳng ta phải ỏp dụng cả 3 dạng vào một tam giỏc đặc biệt nào đú a = 0, A = 0 và b = c (tức là tam giỏc trong đú cú hai đỉnh B, C trựng nhau). Dạng (1) cho ta 0 = 2b2, mà b ≠ 0 vậy ta biết ngay dạng(1) là sai. Dạng (2) cho ta 0 = 2b2+ kb2, vậy dạng (2) cú thể dựng nếu ta lấy k = - 2 đến đõy HS đó chắc chắn được một phần rằng hệ thức lượng tổng quỏt là: a2= b2+ c2- 2bcìcosA. Để chắc chắn hơn, cho HS ỏp dụng cho một tam giỏc khỏc, chẳng hạn một tam giỏc đều thỡ
sẽ cú a2= a2+ a2- 2a2 1 2
ì và thấy rằng hệ thức lượng vẫn đỳng.
Đến đõy cho HS bắt tay vào chứng minh hệ thức lượng a2= b2+ c2- 2bcìcosA mà HS vừa phỏt hiện. Nếu trong chứng minh HS nú sai thỡ lỳc đú xem xột đến dạng (3). Trong vớ du cụ thể này thỡ hệ thức lượng a2= b2+c2- 2bcìcosA là đỳng.