. Từ đú AB = OE O B OF OC
b. Bồi dưỡng tư duy sỏng tạo cho HS
Vấn đề bồi dưỡng tư duy sỏng tạo cho HS đó được nhiều nhà khoa học GD trong và ngồi nước quan tõm như: "Sỏng tạo Toỏn học" của G.Pụlya (1997), "Rốn luyện khả năng sỏng tạo Toỏn học ở trường phổ thụng" của Hoàng Chỳng (1969), "Tập cho HS giỏi làm quen với nghiờn cứu Toỏn học" của Nguyễn Cảnh Toàn (1992), "Xõy dựng hệ thống cõu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sỏng tạo cho HS khỏ giỏi toỏn bậc THCS Việt Nam" của Tụn Thõn (1992). Nhỡn chung cỏc tỏc giả đó nghiờn cứu khỏ sõu sắc từ phương hướng chung đến cỏc biện phỏp cụ thể bồi dưỡng tư duy sỏng tạo cho HS. Ở đõy, chỳng tụi chỉ tập trung đi sõu vào trỡnh bày cỏc cơ hội cú thể bồi dưỡng tư duy sỏng tạo cho HS thụng qua DH chương 1 và chương 2 của Hỡnh học 10.
Ở trường phổ thụng, DH toỏn là dạy hoạt động Toỏn học. Đối với HS cú thể xem năng lực giỏi toỏn, năng lực tư duy sỏng tạo, suy luận lụgớc là hỡnh thức chủ yếu của hoạt động Toỏn học. Cỏc bài toỏn ở trong chương trỡnh THPT núi chung, cỏc bài tập trong SGK hỡnh học 10 núi riờng là một phương tiện rất cú hiệu quả trong việc giỳp HS nắm vững kiến thức cơ bản, phỏt triển tư duy, hỡnh thành kỹ năng phõn tớch, suy luận, khai thỏc, phỏt triển bài toỏn. Vỡ vậy GV cần phải thường xuyờn hướng dẫn HS tỡm tũi, khai thỏc kiến thức từ những bài toỏn cơ bản, để từ đú HS luụn tỡm được những điều mới, thỳ vị, gõy hứng thỳ tớch cực học toỏn. Chẳng hạn ta cú thể xột cỏc bài toỏn sau:
Bài toỏn : Cho tam giỏc ABC với G là trọng tõm. CMR với mọi điểm M ta cú:
MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.
Chứng minh: Ta cú
MA2 + MB2 + MC2 = 2 2 2 ( ) (2 ) (2 )2MA + MB + MC = GA - GM + GB - GM + GC - GM MA + MB + MC = GA - GM + GB - GM + GC - GM
uuuuur uuuur uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur
= GA + GB + GC + 3GM + 2GM GA + GB + GC2 2 2 2 uuuuur uuuur uuuur uuuur( ) = 3MG + GA + GB + GC2 2 2 2.
+ Với vị trớ nào của điểm M tổng MA2 + MB2 + MC2 cú giỏ trị bộ nhất và giỏ trị đú bằng bao nhiờu?
+ Tỡm quỹ tớch cỏc điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 = k2, trong đú k là số cho trước. HS dễ dàng trả lời được hai cõu hỏi trờn.
Ta tiếp tục hướng cho HS khai thỏc bài toỏn theo cỏc hướng sau:
Hướng 1: Thay đổi giỏ trị vị trớ điểm M ta cú:
Bài toỏn 1. Cho tam giỏc ABC với G là trọng tõm, O là tõm đường trũn ngoại
tiếp tam giỏc ABC. CMR GA2+ GB2 + GC2 =3(R2- OG2). Cho M trựng O ta cú ngay kết quả.
Bài toỏn 2. Cho tam giỏc ABC điểm M thay đổi trờn cạnh BC. Tỡm vị trớ của
M là hỡnh chiếu của G trờn BC để tổng MA2 + MB2 + MC2 cú giỏ trị bộ nhất.
Bài toỏn 3. Cho tam giỏc ABC và đường thẳng d. Tỡm vị trớ của M trờn d để
tổng MA2 + MB2 + MC2 cú giỏ trị bộ nhất.
Dễ thấy M là hỡnh chiếu của G trờn đường thẳng d.
Bài toỏn 4. Cho tam giỏc ABC khụng đều nội tiếp
đường trũn (O;R). Tỡm điểm M trờn (O) để tổng T = MA2 +MB2 +MC2 cú giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: T = MA2 + MB2 + MC2
= 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 .
Tmax ⇔MG max mà MG2 = OM2+ OG2 - 2OMìOGìcosα,
với α= (OM,OGuuuur uuuur), OM = R, OG khụng đổi, G≠O ⇒MG max ⇔cosα=-1⇔ α=1800 ⇒M≡M1.
Với M1, O, G thẳng hàng và M1 là giao điểm của tia GO với đường trũn (O). Tmin ⇔cosα = 1 ⇔ α = 00 ⇔M ≡ M2, với M2, O, G thẳng hàng và M2 là giao điểm của tia OG với đường trũn (O).
Bài toỏn 5. Cho tam giỏc ABC khụng đều ngoại tiếp đường trũn (I;r). Tỡm Tiếp
tục khai thỏc bài toỏn trờn bằng cỏch thay đường trũn ngoại tiếp bởi đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC và với cỏch giải tương tự như trờn ta cú bài toỏn điểm M thuộc đường trũn (I) để tổng T = MA2+ MB2+ MC2 cú giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Hướng 2: Thay đổi giả thiết tam giỏc ABC thành tứ giỏc ABCD. Trước hết, ta
cú bài toỏn cơ bản đối với tứ giỏc.
Bài toỏn 6. Cho tứ giỏc ABCD, G là trọng tõm tứ giỏc (G là trung điểm của đoạn
thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của tứ giỏc). CMR với mọi điểm M ta cú: + MA + MB + MC + MD = 4MGuuuuur uuuur uuuur uuuuur uuuuur.
+ MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2.
Bài toỏn này HS dễ dàng chứng minh được theo cỏch chứng minh đối với tam giỏc. Bằng cỏch tương tự như đối với tam giỏc, HS cú thể dễ dàng phỏt biểu và giải được cỏc bài toỏn sau:
Bài toỏn 7. Cho tứ giỏc ABCD, M là điểm bất kỳ. Tỡm vị trớ của điểm M để
T = MA2 + MB2 + MC2 + MD2 bộ nhất.
Bài toỏn 8. Cho tứ giỏc ABCD, M là điểm thay đổi trờn cạnh BC. Tỡm vị trớ
của điểm M để T = MA2 + MB2 + MC2 + MD2 bộ nhất.
Bài toỏn 9. Cho tứ giỏc ABCD và đường thẳng d. Tỡm điểm M trờn d để tổng
T = MA2 + MB2 + MC2 + MD2 bộ nhất.
Bài toỏn 10. Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp trong đường trũn (O; R) sao cho
trọng tõm của tứ giỏc khụng trựng với O. Tỡm điểm M thuộc đường trũn (O) sao cho tổng T = MA2 + MB2 + MC2 + MD2 lớn nhất, bộ nhất.
Bài toỏn 11. Cho tứ giỏc ABCD. Tỡm tập hợp cỏc điểm M sao cho MA2+ MB2 + MC2 + MD2 = k2, trong đú k là số cho trước.
Hướng 3: Sử dụng kết quả của bài toỏn 1 để giải quyết cỏc bài toỏn khỏc.
Bài toỏn 12. Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O;R), G là trọng tõm của
tam giỏc. Một đường thẳng qua G cắt đường trũn tõm O tại hai điểm M, N. CMR: (MA2+ NA2) + (MB2+ NB2)+ (MC2+ NC2) = 3MN2
Giải : VT = (MA + MB + MC ) + (NA + NB + NC )2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
= 2(GA + GB + GC )+ 3(MG + NG )
2 2 2 2
2(GA + GB + GC ) + 3(GM - GN) + 6GM GN
= uuuuur uuuur uuuuur uuuurì
2 2 2 2 2(GA + GB + GC ) + 3GM GN + 3MN = uuuuur uuuurì 2 2 2 2 2 2 2 GA + GB + GC + 3(GO + R ) + 3MN =
2 2 2 2 2 2