So sỏnh nhằm 2 mục đớch: phỏt hiện được những đặc điểm chung và những đặc điểm khỏc nhau ở một số đối tượng, sự kiện. Mục đớch thứ nhất dẫn đến tương tự và thường đi đụi với khỏi quỏt húa [52, tr. 24].
Kết luận theo sự tương tự cú thể mụ tả như sau: nếu đối tượng A cú cỏc tớnh chất a, b, c và đối tượng B cú cỏc tớnh chất a, b thỡ đối tượng B cú thể cú tớnh chất c. Trong Toỏn học, người ta thường xột sự tương tự theo cỏc khớa cạnh sau:
- Hai phộp chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương phỏp chứng minh là giống nhau.
Vớ dụ: Giả sử HS đó giải được bài toỏn: "Cho hai tam giỏc ABC và tam giỏc A1B1C1
thoả món điều kiện AA + BB + CC = 0uuuuur uuuur uuuuur ur1 1 1 . CMR: Hai tam giỏc cú cựng trọng tõm". Bằng cỏch phõn tớch như sau:
1 1
AA = GA - GA
uuuuur uuuuur uuuur
, BB = GB - GBuuuur uuuuur uuuur1 1 , CC = GC - GCuuuuur uuuuur uuuur1 1 (với G là trọng tõm của
tam giỏc ABC).
Bằng cỏch tương tự cho HS giải bài toỏn: "Cho hai tứ giỏc cú cựng trọng tõm". Cú thể đặt vấn đề gợi mở để phõn tớch vộc tơ tương tự như đối với trường hợp tam giỏc. AA = GA - GAuuuuur uuuuur uuuur1 1 , BB = GB - GBuuuur uuuuur uuuur1 1 , CC = GC - GCuuuuur uuuuur uuuur1 1 , DD = GD - GDuuuuur uuuuur uuuur1 1 .
Như vậy, khi sử dụng phộp tương tự cú thể chuyển từ cỏch giải bài toỏn đó biết đến một bài toỏn mới như đó trỡnh bày ở trờn là một vớ dụ, ngoài ra sự tương tự cú thể gặp nhiều khi nghiờn cứu hỡnh học khụng gian. Khi đú những bài toỏn từ khụng gian cú thể chia nhỏ từng bước về phẳng để giải quyết.
- Những đối tượng tương tự cú tớch chất giống nhau và cú vai trũ như nhau.
Vớ dụ: Cỏc đường trung tuyến, cỏc đường cao, cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc
cú một số tớnh chất giống nhau. Chẳng hạn, từ tớnh chất đồng quy của cỏc đường trung tuyến trong một tam giỏc, ta cú thể giả thuyết về tớnh chấtđồng quy của cỏc đường trung trực, cỏc đường cao, cỏc đường phõn
Hỡnh 4
giỏc. Hoặc ta cũng cú thể bắt đầu từ một bài toỏn
"Cho tam giỏc ABC với trọng tõm G, trực tõm H và tõm đường trũn ngoại tiếp O. Chứng minh 3 điểm G, H, O thẳng hàng và GH = 2GOuuuur uuuur (đường thẳng đi qua ba điểm G, H, O gọi là đường thẳng Ơle của tam giỏc ABC).
Ở đõy ta khụng đề cập đến cỏch giải mà điều chỳng ta quan tõm đú là bằng thao tỏc tư duy tương tự ta cú thể tỡm được kết quả khỏc.
Dễ dàng chứng minh được O, G lần lượt là trực tõm, trọng tõm của tam giỏc A'B'C'. Bõy giờ nếu ta gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc A'B'C' khi đú vai trũ của 3 điểm I, G, O trong tam giỏc A'B'C' giống vai trũ lần lượt tương ứng với ba điểm O, G, H của tam giỏc ABC do đú ta cũng thu được kết quả tương tự
GO = -2GI
uuuur uuur
. Từ đú ta cú bài toỏn "Cho tam giỏc ABC với ba đường trung tuyến AA', BB', CC' cắt nhau tại G, tõm đường trũn ngoại tiếp O. Gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc A'B'C'. Chứng minh GO = -2GIuuuur uuur.
- Tương tự trờn cỏc đối tượng mà nội dung của chỳng cú những nột giống nhau, cú giả thuyết như nhau hoặc cú kết luận như nhau.
Vớ dụ: Xột bài toỏn "Cho 2 tam giỏc ABC và tam giỏc A'B'C' cú trọng tõm lần lượt
là G và G'. Chứng minh 3GG' = AA' + BB' + CC'uuuuur uuuuur uuuur uuuur.
Nếu ta thay tam giỏc A'B'C' ở bài toỏn trờn bởi ba điểm A', B', C' thẳng hàng và G vẫn là trọng tõm của hệ 3 điểm A', B', C' thỡ ta vẫn cú kết quả như trờn. Hơn nữa chỳng ta tiếp tục thay 3 điểm thẳng hàng A', B', C' và G ở trờn bởi cỏc điểm A1, B1, C1 và G1 lần lượt là hỡnh chiếu của tam giỏc ABC và trọng tõm của nú trờn đường thẳng d rồi ỏp dụng tớnh chất của phộp chiếu thỡ G1 cũng là trọng tõm của 3 điểm A1, B1, C1. Do đú ta vẫn cú kết quả như trờn và tựy thuộc vào vị trớ của đường thẳng chiếu mà ta cú thể thu được kết quả bằng độ dài. Từ đú ta cú thể đề xuất bài toỏn: "Cho tam giỏc ABC, trọng tõm G và đường thẳng d khụng cắt cạnh nào của tam giỏc. Gọi G1, A1, B1, C1 lần lượt là
hỡnh chiếu của G, A, B, C trờn d. CMR: AA1 +BB1+CC1 =3GG1". Ta cú: GA + GB + GC = 0uur uur uur r
H ì n h 5 d G B1 A 1 G 1 C 1 C A B Hỡnh 5
(tớnh chất phộp chiếu). Từ đú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AA + BB + CC = AG + GG + G A + BG + G G + G B + CG + G G + G C = AG + BG + CG + G A + G B + G C + 3GG = 3GG (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuuuur uuuur uuuuuur uuuuuur uuuur uuuuuur uuuuuur uuuur uuuur uuuur uuuuuur uuuuuur uuuuuur uuuuur uuu r
.
uu
Cỏc điểm A, B, C ở cựng nửa mặt phẳng bởi d nờn cỏc AA ,BB ,CCuuuuur uuuur uuuuur1 1 1 cựng hướng.
Do đú AA1 + BB1 + CC1= AA + BB + CC = AA + BB + CC = 3GG = 3GGuuuuur1 uuuur1 uuuuur1 uuuuur uuuur uuuuur1 1 1 uuuuur1 1.