Ban đầu, loài người chỉ xem xét và tính diện tích cho những hình vuông, rồi đến hình chữ nhật, sau đó là tam giác vuông (xem như nửa hình chữ nhật).

VI. Hoạt động tiếp nố

Ban đầu, loài người chỉ xem xét và tính diện tích cho những hình vuông, rồi đến hình chữ nhật, sau đó là tam giác vuông (xem như nửa hình chữ nhật).

rồi đến hình chữ nhật, sau đó là tam giác vuông (xem như nửa hình chữ nhật). Từ đó, người ta biết tính diện tích hình tam giác bất kỳ bằng cách xem như chúng được ghép từ hai tam giác vuông, trên cơ sở này tính được diện tích của hình có biên là những đoạn thẳng (hình đa giác) bằng cách phân chia chúng thành các hình tam giác.

Tuy nhiên, rõ ràng, cách tính đó không cho phép tính được diện tích của những hình có những đoạn biên cong, và ta cần phải có một cách tiếp cận mới. Antiphon, nhà hùng biện thời cổ Hy Lạp đã đưa ra ý tưởng tính diện tích hình tròn bằng cách xấp xỉ nó bởi các đa giác đều nội tiếp với số cạnh tăng gấp đôi lên mãi. Ý tưởng này sau đó được nhà toán học và triết học Hy Lạp là Eudoxus hoàn thiện (khoảng năm 270 trước công nguyên) thành một PP, mang tên là “vét kiệt”, xấp xỉ diện tích (hay thể tích) của hình biên cong bằng tổng diện tích (thể tích) của một số hình đơn giản đã biết (như các hình tam giác hay chữ nhật). Khoảng năm 225 trước công nguyên, Archimedes đã vận dụng thành công PP này vào việc tính diện tích một số hình có biên cong và khi áp dụng cho hình tròn, ông đã thu được một xấp xỉ rất tốt đối với số , giải pháp độc đáo của ông cho hình biên cong là đường parabol.

 Tạo ra tình huống gợi vấn đề bằng bài toán tính diện tích hình thang cong

GV: Dùng đàm thoại phát hiện và minh họa trực quan bằng Maple.

Cho hàm số y = f(x) liên tục, đơn điệu và không âm trên [a;b]. Xét hình thang cong ABCD được giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b, trục hoành và đường cong y = f(x). Vấn đề đặt ra là làm thế nào để tính được diện tích đúng của hình thang cong ABCD?

Ta chia đoạn [a;b] một cách tùy ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

o 1 2 i i 1 n 1 n

ax x x   ... x x  ... x  x b. Trên mỗi đoạn nhỏ được chia x ; xi-1 i, ta dựng một hình chữ nhật với chiều rộng là   xi xi xi 1 và chiều cao là f i với ix ; xi 1 i. Tổng diện tích của n hình chữ nhật trên là:

 n n n i i i 1 S f  x 

  chính là diện tích hình bậc thang như hình vẽ ở dưới.

Nhận xét: Diện tích của hình bậc thang gần bằng diện tích của hình thang cong ABCD khi n càng lớn và các đoạn được chia càng nhỏ.

Do đó diện tích S của hình thang ABCD đã cho là     i n i i max x 0 i 1 S lim f  x      

 Hỗ trợ định nghĩa khái niệm tích phân xác định

GV: Dùng thuyết trình và Maple để minh họa quá trình tăng dần n và tìm giới hạn. Cho f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a;b], chia đoạn [a;b] một cách tùy ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

o 1 2 i i 1 n 1 n

ax x x   ... x x  ... x  x b.

Trên mỗi đoạn x ; xi-1 icó độ dài   xi xi xi 1 , ta lấy điểmi(i = 1, 2,…, n) tùy ý, lập tổng n n  i i

i 1

I f  x



  và gọi là tổng tích phân của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]. Tăng điểm chia lên vô hạn n  sao cho max xi 0, nếu trong quá trình đó In I (hữu hạn) mà không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a;b] và cách lấy điểm i thì I gọi tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a;b].

Kí hiệu:       i b n i i max x 0 i 1 a I f x dx lim f  x        .