Bài giảng Phương pháp tính: Đạo hàm và tích phân - Nguyễn Hồng Lộc

Bài giảng Phương pháp tính: Đạo hàm và tích phân cung cấp cho người học các kiến thức: Tính gần đúng đạo hàm, tính gần đúng tích phân xác định; công thức hình thang, công thức Simpson, công thức hình Simpson mở rộng,.... Mời các bạn cùng tham khảo.

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài giảng điện tử Nguyễn Hồng Lộc Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng TP HCM — 2013 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 / 18 Tính gần đạo hàm x x0 x1 với y0 = f (x0 ) y1 = f (x1 ) = f (x0 + h) y y0 y1 Đa thức nội suy Lagrange có dạng x − x1 x − x0 y1 − y0 , L(x) = h h với h = x1 − x0 Do đó, với ∀x ∈ [x0 , x1 ] ta có Xét bảng số f (x) ≈ f (x0 + h) − f (x0 ) y1 − y0 = h h Đặc biệt, x0 ta có y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0 ) = h h gọi cơng thức sai phân tiến Cịn x1 ta có f (x0 + h) − f (x0 ) y1 − y0 = f (x1 ) ≈ h h gọi công thức sai phân lùi thường viết dạng f (x0 ) − f (x0 − h) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt f (x0 ) ≈ Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCHhPHÂN TP HCM — 2013 f (x0 ) ≈ / 18 Tính gần đạo hàm x x0 x1 x2 với y y0 y1 y2 y0 = f (x0 ), y1 = f (x1 ) = f (x0 + h), y2 = f (x2 ) = f (x0 + 2h) Đa thức nội suy Lagrange có dạng Xét bảng số (x − x0 )(x − x1 ) (x − x0 )(x − x2 ) (x − x1 )(x − x2 ) y2 − y1 + y0 , 2 2h h 2h2 x − x0 x − x1 x − x2 L (x) = (y2 − 2y1 ) + (y2 + y0 ) + (y0 − 2y1 ), 2 2h h 2h2 y2 − 2y1 + y0 L (x) = h2 −3y0 + 4y1 − y2 Đặc biệt, x0 ta có f (x0 ) ≈ L (x0 ) = gọi 2h y2 − y0 cơng thức sai phân tiến Cịn x1 ta có f (x1 ) ≈ L (x1 ) = 2h gọi công thức sai phân hướng tâm thường viết dạng f (x0 + h) − f (x0 − h) f (x0 ) ≈ 2h ng.com https://fb.com/tailieudientucntt L(x) = Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 / 18 Tính gần đạo hàm y0 − 4y1 + 3y2 gọi 2h công thức sai phân lùi thường viết dạng Còn x2 ta có f (x2 ) ≈ L (x2 ) = f (x0 ) ≈ ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) f (x0 − 2h) − 4f (x0 − h) + 3f (x0 ) 2h https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 / 18 Tính gần đạo hàm Ví dụ Tính gần y (50) hàm số y = lgx theo công thức sai phân tiến x 50 55 60 dựa vào bảng giá trị sau y 1.6990 1.1704 1.7782 Giải Ở h = Theo công thức sai phân tiến ta có y (50) ≈ (−3y0 + 4y1 − y2 ) = 2h (−3x1.6990 + 4x1.1704 − 1.7782) = −0.21936 2x5 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 / 18 Tính gần tích phân xác định Tính gần tích phân xác định Theo cơng thức Newton-Leibnitz b f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a), F (x) = f (x) a Nhưng thường ta phải tính tích phân hàm số y = f (x) xác định bảng số Khi khái niệm ngun hàm khơng cịn ý nghĩa Để tích gần tích phân xác định [a, b], ta thay hàm số f (x) đa thức nội suy Pn (x) xem b b Pn (x)dx f (x)dx ≈ a ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) a https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang Cơng thức hình thang b Để tích gần tích phân f (x)dx ta thay hàm dấu tích phân f (x) a đa thức nội suy Newton tiến bậc qua điểm (a, f (a)) (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy P1 (x) = f (a) + f [a, b](x − a) = f (a) + b f (b) − f (a) (x − a) b−a b (f (a) + f [a, b](x − a))dx = P1 (x)dx = a a f (a)x + f [a, b] x2 − ax b a b−a (f (a) + f (b)) https://fb.com/tailieudientucntt = ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng Cơng thức hình thang mở rộng b−a Khi n a = x0 , x1 = x0 + h, , xk = x0 + kh, , xn = x0 + nh yk = f (xk ), k = 0, 1, , n Sử dụng cơng thức hình thang cho đoạn [xk , xk+1 ] ta Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ với bước chia h = b x1 a x2 f (x)dx + f (x)dx = x0 xn f (x)dx + + x1 f (x)dx xn−1 y0 + y1 y1 + y2 yn−1 + yn + h + + h 2 h ≈ (y0 + 2y1 + 2y2 + + 2yn−1 + yn ) ≈ h ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng Sai số Hình thang b |f (x) − P2 (x)|dx = ∆I = M2 (b − a)3 12 a Hình thang suy rộng ∆I = n M2 h3 M2 (b − a)3 = 12 12n2 Trong M2 = max |f ”(x)| x∈[a,b] ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng Ví dụ dx cơng thức hình thang chia +x đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ Tính gần tích phân I = Giải b−a 1−0 k h= = = , x0 = 0, xk = , n 10 10 10 10 yk = f (xk ) = = k 10 + k + 10 h 10 10 Vậy I ≈ (yk + yk+1 ) = ( + ) ≈ 0.6938 k=0 20 k=0 10 + k 10 + (k + 1) ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 10 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng Ví dụ x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 y 16.23 18.55 17.42 15.59 17.78 18.73 19.81 hàm f (x) Sử dụng cơng thức hình thang mở rộng xấp xỉ tích Cho bảng 1.8 phân I = xy (x)dx 1.2 Giải k x 1.2 1.3 y 16.23 18.55 h = x1 − x0 = 0.1 1.4 17.42 1.5 15.59 1.6 17.78 1.7 18.73 1.8 19.81 I ≈ 285.0172 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 11 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng Bài tập 2.3 Cho tích phân I = √ ln 2x + 2dx Hãy xấp xỉ tích phân I cơng 1.1 thức hình thang mở rộng với n = Giải h= ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) b−a 2.3 − 1.1 = = 0.15 n I ≈ 1.0067 https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 12 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson Cơng thức Simpson b Để tính gần tích phân f (x)dx ta chia [a, b] thành đoạn a b−a thay hàm dấu tích phân f (x) đa thức nội suy Newton tiến bậc qua điểm (a, f (a)), (x1 , f (x1 )) (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy P2 (x) = f (a) + f [a, x1 ](x − a) + f [a, x1 , b](x − a)(x − x1 ) b b a P2 (x)dx = a f (a) + f [a, x1 ](x − a) + f [a, x1 , b](x − a)(x − x1 )dx Đổi biến x = a + ht ⇒ dx = hdt, t ∈ [0, 2] điểm x1 = a + h, h = b (f (a) + f [a, x1 ]ht + f [a, x1 , b]h2 t(t − 1))hdt P2 (x)dx = a f [a, x1 ]h = y1 − f (a), f [a, x1 , b]h2 = h b 4f (x1 ) + f (b)) a P2 (x)dx = (f (a) + ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN f (b) − 2f (x1 ) + f (a) Vậy TP HCM — 2013 13 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng Cơng thức hình Simpson mở rộng b−a Khi 2m a = x0 , x1 = x0 + h, , xk = x0 + kh, , x2m = x0 + 2mh, yk = f (xk ) Sử dụng công thức Simpson cho đoạn [x2k , x2k+2 ] ta Chia đoạn [a, b] thành n = 2m đoạn nhỏ với bước chia h = b x2 f (x)dx = a ≈ x4 f (x)dx + x0 x2m f (x)dx + + x2 f (x)dx x2m−2 h h h (y0 + 4y1 + y2 ) + (y2 + 4y3 + y4 ) + + (y2m−2 + 4y2m−1 + y2m ) 3 h ≈ [(y0 + y2m ) + 2(y2 + + y2m−2 ) + 4(y1 + + y2m−1 )] ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 14 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng Ví dụ dx cơng thức Simpson chia +x đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ Tính gần tích phân I = Giải b−a 1−0 k 2k − h= = = , x0 = 0, xk = , xk = n 10 10 10 20 10 20 = yk = f (xk ) = ,y = k 10 + k k 2k + 19 + 10 h Vậy I ≈ (yk + 4yk+1 + yk+1 ) = k=0 20 10 10 +4 + ≈ 0.6931 60 k=0 10 + k 2k + 21 10 + (k + 1) ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 15 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng Ví dụ x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 y 16.23 18.55 17.42 15.59 17.78 18.73 19.81 hàm f (x) Sử dụng công thức Simpson mở rộng xấp xỉ tích phân Cho bảng 1.8 I = xy (x)dx 1.2 Giải k x 1.2 1.3 y 16.23 18.55 h = x1 − x0 = 0.1 1.4 17.42 1.5 15.59 1.6 17.78 1.7 18.73 1.8 19.81 I ≈ 283.8973 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 16 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng Sai số Simpson ∆I = M4 (b − a)5 25 90 Simpson suy rộng ∆I = n M4 h5 M4 (b − a)5 = 90 180n4 Trong M4 = max |f (4) (x)| x∈[a,b] n = 2m ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 17 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng Bài tập Cho bảng x y 1.0 1.2 3.2 1.4 1.6 4.5 1.8 5.1 2.0 6.2 2.2 Sử dụng công thức 7.4 2.2 [y (x) + 2.2x ]dx Simpson mở rộng xấp xỉ tích phân I = Giải h = x1 − x0 = 0.2 I ≈ 39.3007 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 18 / 18 ... ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 / 18 Tính gần tích phân xác định Tính gần tích phân xác định Theo cơng thức Newton-Leibnitz... ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 11 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng Bài tập 2.3 Cho tích phân. .. ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) a https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 / 18 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang Cơng thức hình thang b Để tích gần tích