Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TÂM HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TÂM HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Tạ Duy Phượng Thái Nguyên – 2014 LƠI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố Nguyễn Thị Tâm 1 LƠI CAM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS.TS Tạ Duy Phượng - người đã hướng dẫn tỉ mỉ, tận tình không chi vê măt khoa hoc ma ca vê cach trinh bay môt văn bản khoa hoc, để tôi hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suôt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học, giúp tôi hoàn thành khóa cao học một cách thuận lợi Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân, bạn bè đã luôn ở bên cạnh động viên, chia sẻ và chăm sóc cho tôi trong quá trình học tập cũng như trong cuộc sống Nguyễn Thị Tâm 2 MỤC LỤC Mở đầu 6 Chương 1 GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Thang thời gian………………………………………………………….8 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian ………………8 1.1.2 Các định nghĩa cơ bản ……………… 8 1.2 Phép tính vi phân ……………………….10 1.2.1 Định nghĩa hàm chính quy ………… 10 1.2.2 Định nghĩa rd-liên tục ………………………… 10 1.2.3 Định nghĩa đạo hàm ………………………… 11 1.2.4 Tính chất của đạo hàm ………………………… 13 1.3 Phép toán tích phân ……………… …… 17 1.3.1 Tồn tại tiền - nguyên hàm .………… 17 1.3.2 Nguyên hàm …………… ………… 18 1.3.3 Bảng tổng kết và so sánh .………… .19 Chương 2 MÔT SÔ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN 2.1 Hệ động lực trên thang thời gian 20 2.2 Tính điều khiển được của hệ động lực trên thang thời gian 23 2.2.1 Hệ động lực không dừng có điều khiển 23 2.2.2 Hệ động lực tuyến tính với hệ hằng 28 2.3 Tính quan sát được…………………………….……………………… 36 2.3.1 Hệ động lực không dừng 36 2.3.2 Hệ động lực với hệ số hằng ………….……………………………… 38 2.4 Tính ổn định hóa được…………………………….………………… 41 2.4.1 Tính ổn mũ trong trường hợp hệ không dừng .41 3 2.4.2 Tính ổn định BIBO cho hệ không dừng ………… 42 2.3.3 Tính BIBO ổn định trong hệ với hệ số hằng ………… ………… 45 Kết luận…………………………………………………………………… 53 Tài liệu tham khảo 54 4 BẢNG KÍ HIỆU = Thang thời gian k \{M} nếu có phần tử lớn nhất M là điểm cô lập trái; trùng với trong các trường hợp còn lại t : t = Tập tất cả các số tự nhiên 0 = Tập tất cả các số tự nhiên khác 0 = Tập tất cả các số nguyên = Tập tất cả các số hữu tỷ = Tập tất cả các số thực = Tập tất cả các số thực không âm = Tập tất cả các số phức C X Tập các hàm liên tục từ X vào Y ,Y Crd ( , X ) Tập tất cả các hàm: X là rd − liên tục C1 rd ( , X ) Tập tất cả các hàm: X là khả vi rd − liên tục CrdR ( , X ) Tập tất cả các hàm: k X là rd − liên tục và hồi quy L X Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X A Tập tất cả các giá trị riêng của A 5 MƠ ĐÂU Giải tích trên thang thời gian, lần đầu tiên được trình bày bởi Stefan Hilger trong luận án tiến sĩ của Ông [6] vào năm 1988 (dươi sự hướng dẫn của Bernd Aulbach) nhằm thống nhất giải tích liên tục và rời rạc Nghiên cứu giải tích trên thang thời gian (xem [2], [3]) đã dẫn đến một số áp dụng quan trọng, chẳng hạn trong nghiên cứu về mô hình mật độ côn trùng, nghiên cứu về hệ thần kinh, quá trình biến đổi nhiệt, cơ học lượng tử và mô hình bệnh dịch Việc phát triển lý thuyết hệ động lực trên thang thời gian (xem [2], [3], [4], [5], [7]) dẫn đến các kết quả tổng quát và do đó có thể áp dụng cho các thang thời gian tổng quát chưa cac trường hợp liên tục và rời rạc như la cac trương hơp riêng Ta biết rằng, có nhiều kết quả của hệ phương trình vi phân được thực hiện khá dễ dàng và tự nhiên cho phương trình sai phân Tuy nhiên, có những kết quả dễ dàng trình bày cho phương trình vi phân lại không hề đơn giản cho phương trinh sai phân và ngược lại Việc nghiên cứu phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian cho ta một cái nhìn tổng quát để khắc phục tính không nhất quán này giữa phương trình vi phân liên tục và phương trình sai phân rời rạc Ta có thể lấy thang thời gian là tập các số thực, kết quả tổng quát thu được sẽ trở về với kết quả trong phương trình vi phân thường Nếu lấy thang thời gian là tập các số nguyên, kết quả tổng quát thu được sẽ trở về với kết quả trong phương trình sai phân Tuy nhiên, các thang thời gian có cấu trúc phong phú hơn tập số thực và tập số nguyên nên kết quả thu được là tổng quát hơn nhiều so với các kết quả trên tập các số thực và trên tập các số nguyên Do vậy, đặc trưng cơ bản của các thang thời gian là thống nhất và mở rộng Mục đích của luận văn này là trình bày một cách hệ thống một số tính chất định tính của hệ động lực trên thang thời gian: tính điều khiển được và quan sát được , tính ổn định va ôn đinh hoa, chủ yếu dựa trên [4], [5] và [7] Luận văn gồm hai chương: Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở về giải tích trên thang thời gian theo [2], [3] Chương 2 trình bày các tính chất định tính của hệ động lực tuyến tính trên thang thời gian theo [4], [5] và [7] Chương này tập trung nghiên cứu về tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn định hóa được trong trường hợp hệ đông lưc trên thang thơi gian là các hệ tuyến tính với hệ số hằng hoăc hê sô thay đôi theo thơi gian Tính ổn định trên thang thơi gian đa băt đâu đươc nghiên cưu ơ Viêt Nam do nhom nghiên cưu cua Giáo sư Nguyên Hưu Dư (xem [1]) Hi vong luân văn này sẽ được các sinh viên và học viên cao học quan tâm đến một lĩnh vực mới của toán học là thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian Chương 1 GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian Định nghĩa 1.1 Một tập con đóng, khác rỗng của tập số thực được gọi là thang thời gian (time scale) Thang thơi gian thương đươc ký hiệu là Ví dụ 1.1.1 Các tập ,, , 2;5 , 6;7 = 2k, 2k 1 là các thang thời gian k 0,k , , Các tập , \ , 0;1 không phải là thang thời gian vì chúng tuy nằm trong nhưng không phải là tập đóng trong Các tập , n không là thang thời gian vì không nằm trong Ta giả sử xuyên suốt rằng: Thang thời gian có một tôpô được cảm sinh từ tôpô trên tập các số thực Vì vậy từ nay về sau các khái niệm và ngôn từ tập mở, tập đóng, lân cận, giới hạn,…được hiểu là các tập mở, tập đóng, lân cận, giới hạn,…trong tôpô cảm sinh 1.1.2 Các định nghĩa cơ bản Định nghĩa 1.2 Cho là thang thời gian Ánh xạ : được xác định bởi công thức (t) : inf{s : s t} được gọi là toán tử nhảy tiến (forward jump) trên thang thời gian (t) : sup{s s t} được gọi là Ánh xạ : được xác định bởi công thức : toán tử nhảy lui (backward jump) trên thang thời gian Quy ước: inf sup (tức là, nếu t max thì (t) t ); sup inf (tức là, nếu t min thì (t) t ) CeA (t, (s))Bu(s)s CeA (s, 0)Bu(t, (s))s Suy ra y(t) t C eA (s, 0) B sup u(t, (s)) s 0 0st C eA (s, 0) s B sup u(t, (s)) s0 Do đó, 0 sup y(t) C t0 Chọn C eA (s, 0) s B supsup u(t, (s)) 0 t0 s0 B , ta suy ra điêu phai chưng minh Ngược lại, giả sử hệ đã cho là BIBO ổn định đều, tưc la sup y(t) supsup u(t, (s)) t0 t0 s0 Giả sử phản chứng, điêu kiên (2.4.4) không thoa man Khi ây 0 G(t) t , 0 Suy ra tồn tại chỉ số i, j sao cho 0 Gij (t) t Chọn u(t, (s)) như sau: Đặt u (t, (s)) 0,k j, và k 1,Gij (s) 0, u j (t, (s)) 0,Gij (s) 0, 1,G (s) 0 ij Chọn 0 Nhân xet supsup u(t, 1 cho nên sup y(t) rằng (s)) t0 s.0 t0 Tuy nhiên, sup y(t) sup t 0 t 0 = sup t 0 t G(s)u(t, (s))s 0 t t 0 G j (s)u j (s)s sup Gij (s)s = 0 t 0 0 Gij (s) s , Mâu thuẫn Suy ra điêu phai chưng minh Định lý 2.4.5 ( Định lý về sự tương đương của BIBO ôn đinh và ổn định mũ) Giả sử hê tuyến tính hồi quy x (t) Ax(t) Bu(t), x(t0 ) x0 , y(t) Cx(t), là điều khiển được và quan sát được Khi đó hệ BIBO ôn đinh đêu khi và chỉ khi nó ổn định mũ đều Chứng minh Nếu hệ là ổn định mũ đều, theo Định lý 2.4.1 ta có eA (t, 0) t CeA (t, 0)B t C B 0 0 Ngược lại, giả sử hệ là BIBO ổn định đều thì CeA (t, 0)B t , 0 Suy ra lim CeA (t, 0)B 0 (2.4.5) t Sư dung biêu diên cua ma trận mũ, ta có thể viết m ( , 0) CeA t k B Nkj k 1 j 1 f j 1 ( , k ) ( , 0), e t ( j 1)! (2.4.6) k là những giá trị riêng của A , N kj là các ma trận hăng, và các f j ( , k ) là trong đó k những số hạng còn lại trong tinh toan Như vây, ta co m k f j 1 ( , k )(1 d Ce (t, 0)B (t )k ) N A k1 k k f j 1 ( , k ) e t j 2 ( 2)! j k 1 (t, 0) j ( 1)! k Suy ra dCe (t, 0)B limCe (t, 0)B lim Ce (t, 0) AB 0, lim A A A t t t t trong đó phương trình cuối cùng đung vi nếu A là hằng số thì A và eA (t, 0) giao hoán Tương tự như vậy, có thể dễ ràng chỉ ra rằng đạo hàm bâc bât ki của hàm số mũ dần tới 0 khi t Do đó i lim CA eA (t, 0) A j B 0, i,j=0,1,2, t Suy ra C CA e (t, 0) B A CAn1 AB An1 B 0 (2.4.7) a Nhưng hệ là điều khiển và quan sát được, nên ta co thê biên đôi ma trận nghịch đảo C a và O bằng cách chọn n cột độc lập của ma trận điều khiển và n hàng độc lập của ma a trận quan sát tương ứng Khi ây , theo (2.4.7), ta có lim e (t, 0)Ca 0 Do đó, t O A lim eA (t, 0) và sự ổn định mũ suy 0 at ư Định lí 2.4.2 (đpcm) t Ví dụ 2.4.2 Giả sử là một thang thời gian với 0 4 Hệ 8 1 2 x (t) 45 30 x(t) x(0) x0 , 1 1 1 u(t), 45 10 y(t) 3 4 x(t) là điều khiển được và quan sát được Các giá trị riêng của A là ý rằng các giả thiêt trên suy ra 1 , 2 1 1 và 9 2 1 Lưu 6 là miên ổn định của Như vậy, theo S (), Theorem 3.18 [7], hệ là ổn định mũ đều Theo Định lý 2.4.5 hệ này cũng là BIBO ổn định Định nghĩa 2.4.5 Hê tuyên tinh hôi qui x (t) A(t) x(t) B(t)u(t), x(t0 ) x0 , y(t) C(t)x(t), được gọi là ổn định mũ với tỉ lệ nếu tồn tại một hằng số sao , 0 0, khi cho với bất kỳ t0 và x0 nghiêm tương ưng thỏa mãn x(t) e (t,t0 ) x0 , Bổ đề 2.4.1 (Lemma 3.3, [7]) Hê tuyên tinh hôi t t0 x (t) A(t) x(t) B(t)u(t), x(t0 ) x0 , y(t) C(t)x(t), là ổn định mũ đều với tỉ lệ khi , sao cho , nếu hê tuyến 0 tính , 1 * z (t) A(t)(1 ) I z(t), là ổn định mũ đều với tỉ lệ Chứng minh Bằng tính toán trực tiếp ta thây, x(t) thỏa mãn x (t) A(t)x(t), x(t0 ) x0 , khi và chỉ khi z(t) e (t,t0 )x(t) thỏa mãn z (t) [A(t)(1 ) I ]z(t), z(t0 ) z0 (2.4.8) Giả sử tồn tại một sao cho bất kỳ x0 và t0 các nghiệm của (2.4.8) thỏa mãn bât 0 phương trinh Thay z(t) e (t,t0 )x(t) ta đươc hay e (t,t0 ) x(t) z(t) e (t,t0 ) x0 , t t0 e (t,t0 ) x(t) e (t,t0 ) x0 , x(t) eΘ (t,t0 ) e( )/(1* ) (t,t0 ) (đpcm) Định lý 2.4.6 (Tiêu chuẩn Gramian về tính ổn định mũ) Gọi là một thang thời gian với hàm hạt bị chặn Giả sử tồn tại hằng số dương 1 , 2 và một hàm số tăng nghiêm ngặt C : sao cho 0 C(t) t đung vơi hăng sô 0 M nào đó và vơi tất cả M t mà 1I C (t,C(t)) 2 I , trong đo C (t,C(t)) là ma trận gramian của hệ hồi quy (2.4.9) x (t) A(t) x B(t)u(t), x(t0 ) x0 , y(t) C(t) x(t), Khi ây vơi một hằng số dương, hê vơi điêu khiên ngươc T 1 1 T K (t) B (t)(I (t) A (t)) C (t,C(t)), cho hê khép kín là ổn định mũ đều với tỉ lệ Chứng minh Trước tiên chúng ta lưu ý rằng vơi N sup ) , log(1 (t ) t ta có (t) 0 N vì có hàm hạt bị chặn Do đó e (t,C(t)) exp t C (t ) (s) C (t ) exp e log(1 ( s) t s N s N (C (t ) t ) e MN T T So sánh các dạng toàn phương x C (t,C(t))x và x C (t,C(t)) và sử dụng các định x nghĩa tương ứng, ta đi đên e4MN (t,C(t)) (t,C(t)) (t,C(t)), C C C với mọi t Do đó tư (2.4.9) ta co e1 4MN I C (t,C(t)) 2 I với mọi t, và do đó sự tồn tại của 1 đươc suy ra trực tiếp C (t,C(t)) Bây giờ ta thây răng hê tuyến tính z (t) [ A(t)(1 (t) ) I ]z(t), trong đó A(t) A(t) B(t)BT (t)(I (t) AT là ổn định mũ đều theo Định lý 2.1.3 (t))C, với cách chọn 1 Q(t) C (t,C(t)) Ví dụ 2.4.3 Cho p, q là hằng số sao cho hệ 9 ( 4 ep (t , 0) ) ( 10 eq (t, 0) ) 1 3 ( 4 ep (t, 0) ) 3 ( 10 eq (t, 0) ) 10 4 e p (t, 0) x (t) x(t) 3 ( 4 ep (t , 0) ) 3 10 10 10 10 eq (t, 0) ( 10 eq (t, 0) ) 10 10 4 ep (t, 0) 4 ep (t, 0) 1 ( 4 ep (t, 0) ) 9 10 eq (t, 0) 4 ep (t, 0) 10 eq (t, 0) 10 ( 10 eq (t, 0) ) 10 10 eq (t, 0) 10 0 10 u(t), 10 0 10 y(t) x(t), với điều kiện ban đầu 3 5 11 x(0) , 5 -3 11 là hồi quy Tính trực tiếp cho thấy rằng ma trận chuyển đổi có dạng 3( 4 e p (t, (s)) ) 10 eq (t, (s)) A (t, (s)) 4 e p (t, 3( 10 eq (t, (s)) ) (s)) Ta có T T A (t, (s))B(s)B (s)A (t, (s)) 9 (4 (t, (s))) e 10 p 1 (10 e (t, (s))) 10 q 3 (4 e (t, (s))) e p 10 3 (10 (t, (s))) 10 q , 3 (4 (t, (s))) 3 (10 (t, (s))) 1 (4 e (t, (s))) 9 (10 e (t, (s))) e e q q p p 10 10 10 10 mà có thể chéo hóa như 1 3 1 10 10 3 4 e p (t, (s)) 0 3 0 10 eq (t, (s)) 3 9 1 1 10 10 Do đó C (t,C(t)) có thể được viết như 1 3 1 10 10 4 e p (t, (s)) 0 s C 3 t 0 10 eq (t, (s)) 3 9 1 1 10 10 Cho s các giá trị riêng 1 (t, (s)) 4 e p (t, (s)) và 2 (t, (s)) 10 eq (t, (s)) có t, C (t ) (t,C(t)) 3 giới hạn 4 1 (t, (s)) 5 và 10 2 (t, (s)) 11, tương ứng Do đó 1 3 3 1 C (t ) 4 0 10 10 3 s t 9 0 4 1 1 3 10 10 C (t,C(t)) 1 3 3 1 C (t ) 11 0 10 10 , 3 s t 0 11 3 9 1 1 10 10 tương đương 1 3 4(C(t) t) 0 3 1 1 0 3 10 1 10 4(C(t) t) 3 10 10 9 C (t,C(t)) 3 1 11(C(t) t) 0 3 3 10 1 10 1 1 0 11(C(t) t) 3 9 10 10 1 1 (t,C(t)) Vì vậy, nếu giả sư 0 N C(t) t M , thì 4NI C (t,C(t)) 11MI Theo định lý 2.2.3, phương trình dạng đóng x (t) ( A BK )(t)x(t), y(t) x(t), là ổn định mũ đều nếu ta chọn 0 và T T K (t) B (t)(I (t) A (t)) C KÊT LUÂN Luân văn tâp trung trinh bay môt sô ti nh chât đinh tinh (tính điều khiển được , tính quan sat đươc , ổn định và ổn định hóa ) của hệ tuyến tính có điều khiển trên trang thời gian Đê lam đươc điêu nay , tác giả đã trình bày tương đối ngắn gọn , nhưng cung tương đôi đây đu Giai tich trên thang thơi gian Giải tích và Hệ động lực trên thang thời gian là đối tượng nghiên cứu thời sự của nhiêu nha toan hoc trên thê giơi Hy vong Luân văn đươc cac sinh viên , học viên cao học tham khao khi bươc đâu nghiên cưu môt linh vưc mơi me cua toan hoc, đo la Giải tích và Hê đông lưc trên thang thơi gian ... Chương MƠT SƠ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN 2.1 Hệ động lực thang thời gian 20 2.2 Tính điều khiển hệ động lực thang thời gian 23 2.2.1 Hệ động lực... phân thường hệ phương trình sai phân tuyến tính sang cho hệ động lực thang thời gian 2.2.2 Hệ động lực tuyến tính với hệ số Trong Mục ta xét tính điều khiển hệ tuyến tính dừng (hệ với hệ số hằng)... quan tâm đến lĩnh vực toán học thang thời gian hệ động lực thang thời gian Chương GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian Định nghĩa 1.1 Một tập đóng,
Ngày đăng: 16/02/2019, 07:46
Xem thêm: Hệ điều khiển tuyến tính trên thang thời gian
