Nhập môn Toán cao cấp (Tập hợp và logic)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN HỒNG NGA GIÁO TRÌNH TẬP HỢP VÀ LOGIC TOÁN Quảng Bình, năm 2013 MỤC LỤC Chương 1.1 1.2 1.3 2.2 2.3 Tập hợp, phép toán tập hợp 1.1.1 Tập hợp 1.1.2 Các phép toán tập hợp 1.1.3 Tích Descartes Quan hệ 1.2.1 Quan hệ tính chất quan hệ 1.2.2 Quan hệ tương đương 10 1.2.3 Quan hệ thứ tự 11 Ánh xạ 16 1.3.1 Các định nghĩa 16 1.3.2 Ảnh tạo ảnh 17 1.3.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh 19 1.3.4 Hợp thành ánh xạ 20 Chương 2.1 TẬP HỢP LOGIC TOÁN 25 Logic mệnh đề 25 2.1.1 Mệnh đề 25 2.1.2 Các phép toán logic mệnh đề 26 2.1.3 Công thức logic mệnh đề 29 Logic vị từ 31 2.2.1 Hàm mệnh đề 31 2.2.2 Miền hàm mệnh đề 32 2.2.3 Hàm mệnh đề đúng, sai 32 2.2.4 Sự tương đương logic hai hàm mệnh đề 33 Các phép toán logic hàm mệnh đề 33 2.3.1 Phép phủ định 33 2.3.2 Phép hội 34 2.3.3 Phép tuyển 34 2.3.4 Phép kéo theo 34 2.3.5 2.4 2.5 Phép tương đương 34 Lượng từ 34 2.4.1 Định nghĩa ví dụ 34 2.4.2 Lượng từ hàm nhiều biến 35 2.4.3 Lượng từ phép phủ định 36 Quy tắc suy luận logic vị từ 36 Chương TẬP HỢP 1.1 1.1.1 Tập hợp, phép toán tập hợp Tập hợp 1.1.1.1 Khái niệm Những vật, đối tượng tụ tập tính chất chung thành lập tập hợp Đây định nghĩa mà mô tả trực quan khái niệm Các vật hay đối tượng thành lập tập hợp gọi phần tử tập hợp Trong ngôn ngữ thông thường, người ta thường dùng từ như: nhóm, toàn thể, tập thể, chùm, bầy, đàn, để nói tập hợp Một tập hợp thường ký hiệu chữ in hoa: A, B, C, D, Phần tử tập hợp thường ký hiệu chữ in thường: a, b, c, d, Ví dụ: Tập hợp chữ số tự nhiên, ký hiệu N Tập hợp số nguyên, ký hiệu Z Tập hợp số hữu tỉ, ký hiệu Q Tập hợp số thực, ký hiệu R Tập hợp số phức, ký hiệu C Tập hợp sinh viên năm thứ trường Đại học Quảng Bình Ký hiệu: • Để a phần tử tập hợp A, ta viết a ∈ A đọc "a thuộc A" • Nếu a phần tử tập A, ta viết a ∈ / A a∈A đọc "a không thuộc A" 1.1.1.2 Tập hợp rỗng (tập rỗng) Tập hợp không chứa phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu ∅ Ví dụ: Tập hợp nghiệm thực phương trình x2 + = tập hợp rỗng 1.1.1.3 Các xác định tập hợp Liệt kê tất phần tử tập hợp Theo cách này, để xác định tập hợp ta liệt kê đầy đủ phần tử Ví dụ: a) Tập hợp số nguyên dương viết là: {1, 2, 3, 4} b) Tập hợp chữ bảng chữ tiếng Anh viết là: {a, b, c, , y, z} Chú ý:Khi liệt kê phần tử tập hợp ta không quan tâm đến thứ tự chúng Chỉ rõ thuộc tính đặc trưng phần tử tập hợp Một tập hợp xác định cách tính chất chung phần tử tập hợp đó, sau dựa vào tính chất ta khẳng định đối tượng có phần tử tập hợp hay không Các tính chất gọi thuộc tính đặc trưng phần tử tập hợp Ví dụ: Tập hợp ước số nguyên dương 24 là: A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} viết lại : A = {n ∈ N : n|24} Trong trường hợp tổng quát, tập hợp X tập hợp tất phần tử x, cho x có tính chất T ta viết: X = {x|x x có tính chất T} X = {x : x có tính chất T} 1.1.1.4 Tập hợp quan hệ bao hàm Định nghĩa Tập hợp A gọi tập hợp (hay tập con) B, ký hiệu A ⊂ B, phần tử A phần tử B Như vậy, A ⊂ B với x ∈ A kéo theo x ∈ B Khi có A ⊂ B, ta nói "A phận B " hay "A bao hàm B" Khi ta viết B ⊃ A đọc "B bao hàm A" hay "B chứa A" Quan hệ "⊂" gọi quan hệ bao hàm Các hệ thức A ⊂ B, B ⊃ A gọi bao hàm thức Nếu A ⊂ B có phần tử thuộc B mà không thuộc A ta nói A tập thực B hay phận thực B Ví dụ: a) Tập hợp N số tự nhiên tập thực tập hợp Z số nguyên b) Tập hợp hình vuông tập thực hình chữ nhật Tính chất a) ∅ ⊂ A b) A ⊂ A (Tính chất phản xạ) c) Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C (Tính chất bắc cầu) d) Nếu A ⊂ B B ⊂ A A = B (Tính chất phản đối xứng) Ví dụ Cho A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15} B = {n ∈ N : n|30} ta có A = B Tập hợp tất tập tập hợp Cho X tập hợp Tất tập hợp X lập nên tập hợp, ký hiệu P(X) hay 2X gọi tập tất tập X, tức : P(X) = {A|A ⊂ X} Ví dụ Cho X = {a, b}, P(X) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} Cho X = ∅ P(X) = {∅, {∅}} Hai tập hợp Hai tập hợp A B gọi nhau, ký hiệu A = B, A ⊂ B B ⊃ A Ví dụ: Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {n ∈ N|0 < n < 10} A = B 1.1.2 Các phép toán tập hợp 1.1.2.1 Hiệu hai tập hợp Cho A, B hai tập hợp Hiệu hai tập hợp A B, ký hiệu A\B hay A − B tập hợp gồm phần tử thuộc A không thuộc B, tức là: A\B = {x|x ∈ A x ∈ / B} Đặc biệt, B ⊂ A A\B phần bù A B ký hiệu CAB hay đơn giản B, tức B = {x ∈ A|x ∈ / B} Hiệu đối xứng hai tập hợp A B, ký hiệu A ⊕ B tập hợp xác định A ⊕ B = (A\B) ∪ (B\A) = {x|(x ∈ A x ∈ / B) (x ∈ / A x ∈ B)} Ví dụ: Cho A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f } Ta có, A \ B = {a, b} , B \ A = {e, f }, A ⊕ B = {a, b, e, f } A = {x ∈ R|x < 1} = (−∞, 1) Khi CR (A) = {x ∈ R|x ≥ 1} = [1, +∞} 1.1.2.2 Hợp hai tập hợp Cho hai tập hợp A B Hợp hai tập hợp A B, ký hiệu A ∪ B tập hợp gồm phần tử thuộc A thuộc B, nghĩa là: A ∪ B = {x|x ∈ A x ∈ B} Ví dụ: Cho A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f } Ta có, A ∪ B = {a, b, c, d, e, f } Ta nói, A ∪ B gồm phần tử thuộc hai tập hợp A B 1.1.2.3 Giao hai tập hợp Cho hai tập hợp A B Giao hai tập hợp A B, ký hiệu A ∩ B tập hợp gồm phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B, nghĩa là: A ∩ B = {x|x ∈ A x ∈ B} Ví dụ: Cho A = {x ∈ N|xchia hết cho 2} B = {x ∈ N|x chia hết cho 3} Khi đó, A ∩ B = {x ∈ N|xchia hết cho 6} Trong trường hợp A B điểm chung nào, ta nói A B không giao hay giao chúng rỗng viết A ∩ B = ∅ 1.1.2.4 Các đẳng thức tập hợp Cho U tập vũ trụ, tập mà phần tử ta khảo sát A, B, C ⊂ U Luật đồng nhất: A ∩ U = A, A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅, A ∪ U = U A ∩ A = A, A ∪ A = A Luật mốt: Luật lũy đẳng: Luật bù: A = A Luật giao hoán: A∩B =B∩A A ∪ B = B ∪ A Luật kết hợp: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C Luật phân phối: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Luật De Morgan: A∩B =A∪B A ∪ B = A ∩ B 1.1.3 Tích Descartes • Cho hai tập hợp A B Tích Descartes A B, ký hiệu A × B tập hợp tất cặp (có thứ tự) (a, b) với a ∈ A, b ∈ B, nghĩa là: A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} • Tương tự, tích Descartes k tập hợp A1 , A2 , · · · , Ak , ký hiệu A1 × A2 × k · · · × Ak hay Ai tập hợp tất có thứ tự (a1 , a2 , · · · , ak ) i=1 ∈ Ai , ∀i = 1, 2, , k A1 × A2 × · · · × Ak = {(a1 , a2 , · · · , ak )|ai ∈ Ai , i = 1, 2, , k} Ký hiệu Ak = A × A × · · · × A k lần 1.2 1.2.1 Quan hệ Quan hệ tính chất quan hệ 1.2.1.1 Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Một quan hệ hai từ A đến B tập R tích Descartes A × B Ta nói, phần tử a ∈ A có quan hệ R với phần tử b ∈ B (a, b) ∈ R ký hiệu aRb Khi (a, b) ∈ / R ta viết a Rb Ví dụ Cho A tập hợp sinh viên trường Đại học Quảng Bình B tập hợp môn học Cho R quan hệ gồm cặp (a, b), a sinh viên học môn b Chẳng hạn, bạn An bạn Tùng sinh viên trường Đại học Quảng Bình học môn tập hợp lôgic có mã số THLO, cặp (An, THLO) (Tùng, THLO) thuộc R Nếu An học môn Toán cao cấp có mã số TCCAP cặp (An, TCCAP) thuộc R Tuy nhiên, Tùng không học môn TCCAP cặp (Tùng, TCCAP) không thuộc R Cho A tập hợp quận, huyện B tập hợp 64 tỉnh thành Việt Nam Ta định nghĩa quan hệ R cách rõ (a, b) thuộc R quận hay huyện a thuộc tỉnh hay thành phố b Chẳng hạn, (Đồng Hới, Quảng Bình), (Phú Lộc, Thừa Thiên Huế), (Phú Quốc, Kiên Giang), (Nam Đàn, Nghệ An), (Ba Đình, Hà Nội) thuộc R 1.2.1.2 Định nghĩa Một quan hệ tập hợp A quan hệ hai từ A đến A Nói cách khác, quan hệ tập hợp A tập A × A Ví dụ: Quan hệ "nhỏ bằng" (≤) quan hệ tập hợp R số thực Quan hệ "cùng tuổi" quan hệ tập hợp người trái đất 1.2.1.3 Các tính chất quan hệ Tính phản xạ Quan hệ R tập hợp A gọi có tính phản xạ aRa với a ∈ A Tính đối xứng Quan hệ R tập hợp A gọi có tính đối xứng với a, b ∈ A, aRb kéo theo bRa Tính phản đối xứng Quan hệ R tập hợp A gọi có tính phản đối xứng với a, b ∈ A, aRb bRa kéo theo a = b Tính bắc cầu Quan hệ R tập hợp A gọi có tính bắc cầu với a, b ∈ A, aRb bRc kéo theo aRc 10 1.2.2 Quan hệ tương đương 1.2.2.1 Định nghĩa Cho A tập hợp, R phận A × A Khi đó, R quan hệ tương đương A điều kiện sau thỏa mãn: (Phản xạ) Với a ∈ A, aRa (Đối xứng) Với a, b ∈ A, aRb bRa (Bắc cầu) Với a, b, c ∈ A, aRb bRc aRc Nếu R quan hệ tương đương người ta thường ký hiệu R aRb (a b) "a tương đương với b" đọc Ví dụ: Quan hệ "đồng dạng" tập hợp tam giác quan hệ tương đương R = {(m, n) ∈ Z × Z|m − nchẵn} quan hệ tương đương 1.2.2.2 Định nghĩa Cho R quan hệ tương đương tập hợp A a ∈ A Tập hợp {x ∈ A|xRa} gọi lớp tương đương phần tử a, ký hiệu a [a] C(a) 1.2.2.3 Mệnh đề: Cho R quan hệ tương đương tập hợp A a, b ∈ A Khi ta có a = ∅ a = b aRb a = b a ∩ b = ∅ Chứng minh Vì R có tính chất phản xạ nên aRa hay a ∈ a Do a = ∅ Giả sử a = b Khi đó, a ∈ b nên aRb Giả sử aRb Khi với x ∈ a ta có xRa, aRb nên xRb hay x ∈ b Vậy a ⊂ b Đảo lại, với x ∈ b, ta có xRb, bRa (có từ aRb) nên xRa hay x ∈ a Vậy b ⊂ a Từ có a = b Giả sử a ∩ b = ∅ Khi đó, tồn x ∈ a ∩ b, nghĩa xRa xRb Từ ta có aRx xRb nên có aRb theo ta có a = b Chương LOGIC TOÁN 2.1 Logic mệnh đề 2.1.1 Mệnh đề Trong logic mệnh đề, khái niệm mệnh đề khái niệm nguyên thủy không định nghĩa Những câu phản ánh hay sai thực tế khách quan coi mệnh đề Ví dụ: Số 35 chia hết cho 5: mệnh đề Mặt trời quay quanh Trái đất: mệnh đề sai Tam giác ABC có ba góc vuông: mệnh đề sai < 1: mệnh đề + = 6: mệnh đề sai Số 45 số lẻ: mệnh đề sai Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh nói chung câu không nhằm phản ánh tính sai thực tế khách quan không coi mệnh đề Ví dụ: Các câu sau mệnh đề Số 59 có phải số nguyên tố không? Hãy viết số tự nhiên có ba chữ số khác Tam giác cân tam giác có hai cạnh (Định nghĩa) Chú ý: • Mỗi mệnh đề sai, mệnh đề không mà không sai 26 • Không có mệnh đề vừa vừa sai • Trong logic mệnh đề, ta không quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp ý nghĩa nội dung mệnh đề mà quan tâm đến tính sai mệnh đề Để biểu thị mệnh đề ta dùng chữ in thường: p, q, r, s, gọi chúng biến mệnh đề Ta quy ước: p = p mệnh đề đúng; p = p mệnh đề sai Các giá trị gọi giá trị chân lý mệnh đề 2.1.2 Các phép toán logic mệnh đề 2.1.2.1 Phép phủ định Phép phủ định mệnh đề p, ký hiệu p, đọc "không p", mệnh đề sai p p sai Phép phủ định logic mệnh đề phù hợp với phủ định ngôn ngữ thông thường, nghĩa phù hợp với ý nghĩa từ "không" ("không phải") Ví dụ: p : "9 số lẻ" (Đ) p: "9 số lẻ" (S) p : "Số 20 chia hết cho 6" (S) p : "Số 20 không chia hết cho 6" (Đ) p : "2 + = 6" (S) p : "2 + = 6" (Đ) Ta biểu diễn định nghĩa phép phủ định bảng (gọi bảng giá trị chân lý phép phủ định) p p 0 Bảng 2.1: Phép phủ định 2.1.2.2 Phép hội Hội hai mệnh đề p q, ký hiệu p ∧ q, đọc "p q" mệnh đề p lẫn q sai trường hợp lại Phép hội phù hợp với nghĩa liên từ "và" ngôn ngữ thông thường Ví dụ: 27 p : "2 số nguyên tố" (Đ) q : "2 số chẵn" (Đ) p ∧ q: "2 số nguyên tố chẵn" (Đ) Mệnh đề: "Số π lớn số hữu tỉ" (S) hội hai mệnh đề: "Số π lớn 3" (S) "Số π số hữu tỉ" (S) Từ định nghĩa phép hội ta có bảng giá trị chân lý sau: p q p∧q 0 0 1 0 1 Bảng 2.2: Phép hội 2.1.2.3 Phép tuyển Tuyển hai mệnh đề p q, ký hiệu p ∨ q, đọc "p q" mệnh đề sai p lẫn q sai trường hợp lại Phép tuyển ứng với liên từ "hoặc" ngôn ngữ thông thường theo nghĩa không loại trừ, có nghĩa mệnh đề "p q" có hai mệnh đề p q Ví dụ: p : "3 nhỏ 5" (Đ) q : "3 5" p ∨ q: "3 nhỏ 5" (Đ) p : "Paris thủ đô nước Anh" (S) q : "6 lớn 8" (S) p ∨ q: "Paris thủ đô nước Anh lớn 8" (S) Từ định nghĩa phép tuyển ta có bảng giá trị chân lý sau: p q p∨q 0 0 1 1 1 Bảng 2.3: Phép tuyển 2.1.2.4 Phép kéo theo Cho hai mệnh đề p q Mệnh đề kéo theo p ⇒ q, đọc "p kéo theo q" hay "nếu p q" mệnh đề sai p q sai; trường hợp lại Trong phép kéo theo nói trên, p gọi giả thiết q gọi kết luận Vì phép kéo theo xuất nhiều suy luận toán học, nên có nhiều thuật ngữ dùng để diễn đạt mệnh đề p ⇒ q Chẳng hạn, 28 - "Nếu p q" "p kéo theo q" "Từ p suy q" "p điều kiện đủ để có q" "q điều kiện cần để có p" Ví dụ: p : "2 số hữu tỉ" (Đ) √ q : " số hữu tỉ" (S) √ p ⇒ q: "Nếu số hữu tỉ số hữu tỉ" (S) p : "2 = 2" (Đ) q : "4 = 4" (Đ) p ⇒ q : "Nếu = = 4" (Đ) Từ định nghĩa phép kéo theo, ta có bảng giá trị chân lý sau: p q p⇒q 0 1 1 0 1 Bảng 2.4: Phép kéo theo 2.1.2.5 Phép tương đương Cho hai mệnh đề p q Mệnh đề "p tương đương q" (hay "p q"), ký hiệu p ⇔ q mệnh đề hai mệnh đề p, q hoặc sai sai trường hợp lại Trong toán học, mệnh đề "p tương đương q" phát biểu nhiều dạng khác nhau: - "Nếu p q q p" - "Nếu p q ngược lại" - "p q" - "p q" - "Điều kiện cần đủ để có p q" Ví dụ: Tứ giác hình bình hành đường chéo giao trung điểm đường Điều kiện cần đủ để tam giác ABC cân hai góc đáy Từ định nghĩa phép tương đương, ta có bảng giá trị chân lý sau: 29 p q p⇔q 0 1 0 1 Bảng 2.5: Phép tương đương 2.1.3 Công thức logic mệnh đề Từ mệnh đề sơ cấp, nhờ phép toán logic định nghĩa, ta thành lập mệnh đề phức tạp Trong logic mệnh đề, người ta đưa khái niệm công thức tương tự khái niệm biểu thức toán học 2.1.3.1 Định nghĩa Các biến mệnh đề p, q, r, s, t, công thức Nếu P, Q công thức P , (P ∧ Q), (P ∨ Q), P ⇒ Q, (P ⇔ Q) công thức Chỉ chấp nhận công thức thành lập việc áp dụng số hữu hạn quy tắc 1) 2) Ví dụ: [(p ∧ q) → r] ∧ [p → (p ∧ r)] công thức 2.1.3.2 Định nghĩa Công thức A gọi (tương ứng sai) giá trị mệnh đề tham gia A có giá trị chân lý A = (tương ứng A = 0) 2.1.3.3 Định nghĩa Cho hai công thức A B Ta nói A tương đương logic với B, ký hiệu A ≡ B chúng nhận giá trị chân lý với hệ chân lý có biến mệnh đề có mặt chúng Hệ thức A ≡ B gọi đẳng thức hay tương đương logic Ví dụ: p ≡ p p ∧ q ≡ q ∧ p 2.1.3.4 Những đẳng thức Luật phủ định kép: p = p 30 Luật đồng nhất: p ∧ ≡ p, p ∨ ≡ p p ∧ ≡ 0, p ∨ ≡ p ∧ p ≡ p, p ∨ p ≡ p Luật mốt: Luật lũy đẳng: Luật giao hoán: p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p Luật kết hợp: (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r), (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) Luật phân phối: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), p ∨ (p ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) Luật De Morgan: p ∧ q ≡ p ∨ q, p ∨ q ≡ p ∧ q Một số tương đương tiện ích: p ∧ p ≡ p ∨ p ≡ p ⇔ q ≡ q ⇔ p p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) p ⇔ q ≡ p ⇔ q (p ⇒ q) ≡ (p ∨ q) (p ⇒ q) ≡ (q ⇒ p) ?????????? ?????????????????? ??????????? 31 2.2 Logic vị từ Chúng ta nghiên cứu logic mệnh đề với mục đích tìm hiểu, phân tích xây dựng tiêu chuẩn đắn cho suy luận toán học Logic mệnh đề giúp ta nắm thực chất lớp quy tắc suy luận toán học quan trọng Tuy nhiên người ta nhận thấy có nhiều dạng suy luận thường gặp khác dùng logic mệnh đề để phân tích Chẳng hạn, - Mọi số nguyên tố lớn số lẻ, số nguyên tố lớn nên số lẻ - Mọi số n ước ước 12, ước nên ước 12 Sự tồn dạng suy luận phổ biến Điều đặt phải mở rộng logic mệnh đề để có hệ logic rộng hơn, người ta gọi logic vị từ (hay gọi hàm mệnh đề) 2.2.1 Hàm mệnh đề 2.2.1.1 Khái niệm hàm mệnh đề Xét câu:"x số nguyên tố" (x ∈ N) ta thấy mệnh đề ta xác định hay sai Nhưng thay x số tự nhiên cụ thể ta mệnh đề Chẳng hạn, - Với x = ta mệnh đề đúng: "3 số nguyên tố" - Với x = ta mệnh đề sai: "4 số nguyên tố" Ta gọi câu "x số nguyên tố" hàm mệnh đề biến hay vị từ xác định tập N số tự nhiên Hàm mệnh đề câu chứa biến trở thành mệnh đề ta thay biến phần tử cụ thể thuộc tập hợp xác định Người ta ký hiệu hàm mệnh đề biến xác định X bởi: P (x), Q(x), F (x), Q(x), đó: - x gọi biến tử - Mỗi phần tử cụ thể X gọi tử Khi thay x a ∈ X ta mệnh đề P (a) hoàn toàn xác định Ví dụ: Mỗi phương trình hàm mệnh đề Chẳng hạn phương trình 2x2 +x−3 = hàm mệnh đề biến xác định R tập số thực Phương trình mệnh đề với x = 1, x = −1/3; mệnh đề sai với giá trị khác x Bất phương trình hàm mệnh đề Chẳng hạn bất phương trình (x + 32 5)(x − 9) < hàm mệnh đề biến xác định R tập số thực Bất phương trình mệnh đề với giá trị x ∈ R cho −5 < x < 9, mệnh đề sai với giá trị thực lại x Bất phương trình 5x − 7y = 15 hàm mệnh đề hai biến 2.2.2 Miền hàm mệnh đề Định nghĩa 2.2.1 Giả sử P (x) hàm mệnh đề xác định tập X Ta gọi tập EP (x) = {x ∈ X|P (x) đúng} = {x ∈ X|P (x) = 1} miền hàm mệnh đề P (x) Ví dụ: Hàm mệnh đề "x số nguyên tố" xác định tập N số tự nhiên có miền tập P số nguyên tố P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, } Hàm mệnh đề "n < 7" xác định tập N số tự nhiên có miền tập {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 2.2.3 Hàm mệnh đề đúng, sai Định nghĩa 2.2.2 Giả sử P (x) hàm mệnh đề xác định tập X Hàm mệnh đề P (x) tập hợp X P (a) = với a ∈ X, tức EP (x) = X Hàm mệnh đề P (x) sai X P (a) = với a ∈ X, tức là: EP (x) = ∅ Hàm mệnh đề P (x) thực tồn a ∈ X cho P (a) = 1, tức là: EP (x) = ∅ Ví dụ: Hàm mệnh đề x2 + > xác định tập R số thực hàm mệnh đề R Hàm mệnh đề x2 + = xác định tập R số thực hàm mệnh đề sai R 33 Hàm mệnh đề n < 13 xác định tập N số tự nhiên thực 2.2.4 Sự tương đương logic hai hàm mệnh đề Định nghĩa 2.2.3 Giả sử P (x) Q(x) hai hàm mệnh đề xác định tập X Ta nói P (x) tương đương logic với Q(x) ký hiệu P (x) ≡ Q(x) EP (x) = EQ(x) Ví dụ: Mỗi phương trình hàm mệnh đề Hai phương trình tương đương hai hàm mệnh đề tương đương logic với nhau, chẳng hạn hai phương trình: 2x2 − = −x 2x2 + x − = hai phương trình tương đương Đó hai mệnh đề tương đương logic với Hai bất phương trình tương đương hai mệnh đề tương đương logic với nhau, chẳng hạn hai bất phương trình: 5x2 − < x 5x2 − x − < hai bất phương trình tương đương hai mệnh đề tương đương logic với 2.3 Các phép toán logic hàm mệnh đề Ta xét hàm mệnh đề biến Cho hai hàm mệnh đề P (x) Q(x) xác định tập X 2.3.1 Phép phủ định Phủ định P (x), ký hiệu P (x) hàm mệnh đề xác định X nhận giá trị tập phần tử a ∈ X cho P (a) = nhận giá trị miền P (x), tức là: EP (x) = X − EP (x) = CX (EP (x) ) 34 2.3.2 Phép hội Hội hai mệnh đề P (x) Q(x), ký hiệu P (x) ∧ Q(x) hàm mệnh đề xác định X cho nhận giá trị tập phần tử a ∈ X mà P (a) = Q(a) = nhận giá trị trường hợp lại, tức là: EP (x)∧Q(x) = EP (x) ∩ EQ(x) 2.3.3 Phép tuyển Tuyển hai mệnh đề P (x) Q(x), ký hiệu P (x) ∨ Q(x) hàm mệnh đề xác định X cho nhận giá trị tập hợp tất phần tử a ∈ X mà P (a) = Q(a) = nhận giá trị trường hợp lại, tức là: EP (x)∨Q(x) = EP (x) ∪ EQ(x) 2.3.4 Phép kéo theo Kéo theo hai mệnh đề P (x) Q(x), ký hiệu P (x) ⇒ Q(x) hàm mệnh đề xác định X cho nhận giá trị tập hợp tất phần tử a ∈ X mà P (a) = Q(a) = nhận giá trị trường hợp lại, tức là: EP (x)⇒Q(x) = CX (EP (x) ∪ EQ(x) ) 2.3.5 Phép tương đương Tương đương hai mệnh đề P (x) Q(x), ký hiệu P (x) ⇔ Q(x) hàm mệnh đề xác định X cho nhận giá trị tập hợp phần tử a ∈ X mà P (a) = Q(a) nhận giá trị trường hợp lại, tức là: EP (x) ⇔ Q(x) = [X − (EP (x) ∪ EQ(x) )] ∪ (EP (x) ∩ EQ(x) ) 2.4 Lượng từ 2.4.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 2.4.1 Giả sử P (x) hàm mệnh đề xác định X ∀ P (x) (đọc "với x ∈ X ta có P (x)") mệnh đề x∈X EP (x) = X sai trường hợp lại Ký hiệu ∀ đọc "với mọi", gọi lượng từ toàn thể 35 ∃ P (x) (đọc "tồn tại" (ít một) x ∈ X) cho P (x) mệnh x∈X đề EP (x) = ∅ sai trường hợp lại Ký hiệu ∃ đọc "tồn tại", gọi lượng từ tồn Ví dụ: ∀ (x2 + > 0) mệnh đề x∈R ∀ (n số nguyên tố (n số lẻ)) mệnh đề sai, số nguyên tố n∈N ∀ số lẻ Tuy nhiên mệnh đề ⇒ n số nguyên tố ⇒ n n∈N\{2} số lẻ mệnh đề ∃ (x2 = 2) mệnh đề sai x∈Q ∃ (x2 = 2) mệnh đề x∈R Chú ý: • Mệnh đề ∀ P (x) gọi mệnh đề phổ dụng x∈X Theo định nghĩa, ta có mệnh đề ∀ P (x) hàm mệnh x∈X đề P (x) X • Mệnh đề ∃ P (x) gọi mệnh đề tồn x∈X Theo định nghĩa, ta có ∃ P (x) hàm mệnh đề P (x) x∈X thực X (EP (x) = ∅) Trong mệnh đề ∀ P (x) ∃ P (x) biến tử x gọi biến tử ràng buộc x∈X 2.4.2 x∈X Lượng từ hàm nhiều biến Cho hàm mệnh đề hai biến P (x, y) xác định X Nếu ta áp dụng hai lượng từ ∀ ∃ lên hàm mệnh đề P (x, y) ta hàm mệnh đề, có biến tử tự do, biến tử bị ràng buộc Ví dụ: Cho hàm mệnh đền hai biến ”x > y” xác định tập R số thực Ta có ∀ (x > y) hàm mệnh đề có biến tử tự y biến tử bị ràng buộc x x∈R Khi áp dụng hai lượng từ lên hàm mệnh đề hai biến P (x, y), tác động lên hai biến x, y ta mệnh đề hoàn toàn xác định Ví dụ: ∃ ∃ (x < y) mệnh đề x∈R y∈R 36 ∀ ∀ (x < y) mệnh đề sai ∃ ∃ (x > y) mệnh đề sai ∀ ∀ (x > y) mệnh đề x∈R y∈R x∈R y∈R x∈R y∈R 2.4.3 Lượng từ phép phủ định Giữa lượng từ phép phủ định có mối liên hệ Các đẳng thức sau phản ánh mối liên hệ ∀ P (x) ≡ ∃ P (x) x∈X x∈X ∃ P (x) ≡ ∀ P (x) x∈X x∈X Ví dụ: Phủ định mệnh đề : "Mọi số nguyên tố x số lẻ" (sai) mệnh đề: "Tồn số nguyên tố x không số lẻ" (đúng) 2.5 Quy tắc suy luận logic vị từ Cũng logic mệnh đề, logic vị từ khái niệm luật liên hệ chặt chẽ với khái niệm quy tắc suy luận Dưới số quy tắc suy luận logic vị từ thường dùng chứng minh toán học ∀ P (x) x∈X x∈X P (y) ∀ (P (x) ⇒ Q(x)), P (y) Q(y) Ý nghĩa: • Với quy tắc suy luận (1): "Nếu P (x) với phần tử x ∈ X y phần tử X P (y) đúng" Ví dụ: Mọi số nguyên tố lớn số lẻ, số nguyên tố lớn Vậy số lẻ • Với quy tắc suy luận (2): "Nếu với x ∈ X, P (X) ⇒ Q(x) P (y) với y ∈ X Q(y) đúng." Ví dụ: Với n ∈ N, n ước n ước 12 ước nên ước 12 37 BÀI TẬP Trong câu sau, câu mệnh đề Xác định giá trị chân lý mệnh đề a) Không qua b) Tổng góc tam giác có 180o không? c) x số lẻ d) 51 chia cho dư e) Số 11 số nguyên tố f) 15 < 13 Hãy đưa mệnh đề sau dạng hội tuyển mệnh đề đơn, sau tìm giá trị chân lý mệnh đề √ a) < < π | > b) |sin 12 c) Sô 235 chia hết cho không chia hết cho d) 11 13 hai số lẻ nguyên tố e) hai số nguyên tố Tìm phủ định mệnh đề sau a) Không có ô nhiễm Quảng Bình b) Mùa hè TP Hồ Chí Minh nắng nóng c) + =13 d) Số 7777777 số chẵn Hãy phát biểu định lý sau dạng mệnh đề kéo theo p ⇒ q a) Hai góc đối đỉnh b) Mọi số chia hết cho chia hết cho c) Trong tam giác cân hai góc đáy d) Mọi hình vuông có hai đường chéo e) Mọi số tự nhiên tận chẵn chia hết cho Hãy phát biểu định lý sau dạng mệnh đề tương đương p ⇔ q a) Nếu tam giác ABC tam giác cân có hai góc đáy ngược lại b) Góc tam giác tổng hai góc không kề với c) Mọi số tự nhiên tận chia hết cho số chia hết cho Lập bảng giá trị chân lý cho mệnh đề sau: a) p ⇒ (q ∨ r) b) p ⇒ (q ⇒ r) c) (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r) d) (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) 38 e) (p ⇔ q) ∨ (q ⇔ r) f) (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ r) Cho p, q, r mệnh đề p : Bạn bị ốm q : Bạn thi rớt học phần Xác suất r : Bạn lên lớp Hãy diễn đạt mệnh đề sau thành câu thông thường a) p ⇒ q b) q ⇔ r c) q ⇒ r d) p ∨ q ∨ r e) (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r) 8.Phát biểu mệnh đề đảo phản đảo mệnh đề kéo theo sau: a) Nếu hôm có gió mùa Đông Bắc ngày mai trời rét b) Tôi bãi biển ngày trời nắng c) Nếu số chia hết cho chia hết cho d) Nếu số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Chứng minh công thức sau công thức đúng, sau viết chúng dạng luật a) p ∧ (p ∨ q) ⇒ q b) (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q) c) p ∧ (p ⇔ q) ⇒ q d) (p ⇒ q ∧ q) ⇒ p 10 Tìm miền hàm mệnh đề xác định tập R số thực a) 2x + > 5x b) x2 + 15x − 16 = c) 3x2 + 2x − > d) 7x2 − 35x + 42 ≤ 11 Tìm miền hàm mệnh đề xác định tập N số tự nhiên a) n chia hết cho b) n chia hết cho c) n chia cho dư d) n hợp số 12 Tìm miền hàm mệnh đề hai biến xác định tập R số thực biểu diễn chúng mặt phẳng tọa độ a) x = y b) x ≤ y c) x + y = d) 2y − 2x2 + 14x = 12 39 13 Cho P (x) hàm xác định X Chứng minh a) P (x) ∨ P (x) X b) P (x) ∧ P (x) sai X 14 Cho hai hàm mệnh đề xác định tập R số thực a) P (x) : 2x + > b) Q(x) : x2 − 7x + 10 < Hãy tìm miền hàm mệnh đề P (x) ∧ Q(x) P (x) ∨ Q(x) 15 Cho hàm mệnh đề hai biến xác định tập R số thực a) P (x) : 4x + 4y = 111 b) Q(x) : 4x + 2y = 100 Hãy tìm miền hàm mệnh đề P (x) ∧ Q(x) [...]... (1, 2) ⊂ R và X = {(1 + n1 )n |n ∈ N∗ } ⊂ R Khi đó, tập hợp các chặn trên của X là [2, +∞) và của X là (e, +∞); tập hợp các chặn dưới của X là (−∞, 1] và của X là (−∞, 2) Do đó, sup X = 2, sup X = e, R R inf X = 1, inf X = 2(∈ X ) R R 2 Xét tập hợp N∗ được sắp thứ tự bởi quan hệ "chia hết" và X = {2, 3, 6, 8} Khi đó, tập hợp các chặn trên của X là các bội chung trong N∗ của 2, 3, 6, 8 và tập hợp các chặn... đề p và q, ký hiệu p ∧ q, đọc là "p và q" là mệnh đề đúng khi cả p lẫn q cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại Phép hội phù hợp với nghĩa của liên từ "và" của ngôn ngữ thông thường Ví dụ: 27 1 p : "2 là số nguyên tố" (Đ) và q : "2 là số chẵn" (Đ) thì p ∧ q: "2 là số nguyên tố và là chẵn" (Đ) 2 Mệnh đề: "Số π lớn hơn 3 và là một số hữu tỉ" (S) là hội của hai mệnh đề: "Số π lớn hơn 3" (S) và "Số... mệnh đề p và q Mệnh đề "p tương đương q" (hay "p nếu và chỉ nếu q"), ký hiệu p ⇔ q là mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề p, q hoặc cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại Trong toán học, mệnh đề "p tương đương q" có thể phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau: - "Nếu p thì q và nếu q thì p" - "Nếu p thì q và ngược lại" - "p nếu và chỉ nếu q" - "p khi và chỉ khi q" - "Điều kiện cần và đủ để... miền xác định và B được gọi là tập đích hay miền giá trị Một ánh xạ f từ A vào B còn f được gọi là một hàm từ A vào B và được ký hiệu bởi f : A −→ B hay A −→ B hay f : x ∈ A −→ f (x) ∈ B Ta thường gọi f là một hàm từ A vào B Ví dụ: 1 Cho A là tập hợp các bài thi của sinh viên lớp Công nghệ thông tin Khi chấm bài thi theo thang điểm 10, thầy giáo chấm thi đã thiết lập một ánh xạ từ A vào tập hợp {0, 1,... của P(X) 8 Cho A = {x ∈ R||x| ≥ 5} và B = {x ∈ R| − 6 ≤ x < 0} Hãy xác định các tập A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A, CR (A), CR (B) 9 Xác định xem quan hệ R trên tập hợp các con người trên Trái Đất có là phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu không, với (a, b) ∈ R nếu và chỉ nếu: a) a cao hơn b b) a và b sinh cùng ngày c) a và b cùng tên d) a và b có cùng ông 10 Cho tập hợp X = {1, , 2, 3, 4, 5} ⊂ N 23 Trên... là các chặn dưới của X và các số tự nhiên x ≥ 70 là các chặn trên của X Tập hợp N = {0, 1, 2, } có một chặn dưới là 0 và không có chặn trên 2 Xét tập hợp N∗ được sắp thứ tự bởi quan hệ "chia hết" và X = {2, 3} có một chặn dưới là 1 (vì 1|2, 1|3, ) và có các chặn trên là các số 6, 12, 18, , 6n, (n ∈ N, n = 0) Hiển nhiên N∗ không có chặn trên và có chặn dưới là 1 14 3 Xét tập hợp được sắp thứ tự (R,... (vì 1|a, ∀a ∈ N) và không có phần tử lớn nhất Xét tập X = {15, 10, 6, 2, 5, 30, 3} ⊂ N∗ , ta thấy X không có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất là 30 3 Cho X là một tập hợp Xét tập hợp P(X) gồm các tập con của X được sắp thứ tự bởi quan hệ "bao hàm" Khi đó P(X) có phần tử nhỏ nhất là ∅ và phần tử lớn nhất là X 4 Xét tập hợp được sắp thứ tự (R, ≤), trong đó R là tập hợp các số thực và ≤ là quan hệ... các phần tử a ∈ X mà P (a) = 0 và Q(a) = 0 và nhận giá trị 1 trong các trường hợp còn lại, tức là: EP (x)∨Q(x) = EP (x) ∪ EQ(x) 2.3.4 Phép kéo theo Kéo theo của hai mệnh đề P (x) và Q(x), ký hiệu P (x) ⇒ Q(x) là một hàm mệnh đề xác định trên X sao cho nó nhận giá trị 0 trên tập hợp tất cả các phần tử a ∈ X mà P (a) = 1 và Q(a) = 0 và nhận giá trị 1 trong các trường hợp còn lại, tức là: EP (x)⇒Q(x)... (x) = ex = elny = y 1.3.4 Hợp thành của các ánh xạ 1.3.4.1 Định nghĩa: Cho hai ánh xạ f : A → B và g : B → C Khi đó ánh xạ h : A → C cho bởi h(x) = g(f (x)) và h được gọi là hợp thành hay tích của ánh xạ f và ánh xạ g, ký hiệu go f hay gf Như vậy, go f (x) = g(f (x)) Ví dụ: 1 Cho ánh xạ f : A → B Khi đó fo idA = f và idB o f = f 2 Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f (x) = 2x và ánh xạ g : R → R xác định... ⊕ (B ⊕ C) f) A ∩ (B ⊕ C) = (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C) 4 Cho các tập hợp A, B, C Chứng minh rằng: A∩C ⊂B∩C A\C ⊂ B\C ⇔ A ⊂ B 5 Cho A và B là hai tập hợp Chứng minh rằng: A\(A\B) = B khi và chỉ khi B ⊂ A 6 Các tập hợp dưới đây được xác định bằng cách chỉ rõ dấu hiệu đặc trưng Hãy xác định các tập hợp đó bằng cách liệt kê: a) A = {x ∈ N|x có hai chữ số và chữ số hàng chục của x bằng 3} b) B = {x ∈ N|x là ước của ... 2.1 TẬP HỢP LOGIC TOÁN 25 Logic mệnh đề 25 2.1.1 Mệnh đề 25 2.1.2 Các phép toán logic mệnh đề 26 2.1.3 Công thức logic mệnh... lẻ" (đúng) 2.5 Quy tắc suy luận logic vị từ Cũng logic mệnh đề, logic vị từ khái niệm luật liên hệ chặt chẽ với khái niệm quy tắc suy luận Dưới số quy tắc suy luận logic vị từ thường dùng chứng... 1 Bảng 2.5: Phép tương đương 2.1.3 Công thức logic mệnh đề Từ mệnh đề sơ cấp, nhờ phép toán logic định nghĩa, ta thành lập mệnh đề phức tạp Trong logic mệnh đề, người ta đưa khái niệm công thức