Đề thi và đáp án môn toán cao cấp A1

ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP A1- HKI 2011-2012

Thời gian: 75 phút Câu 1: ( 2 điểm )

a/ Tính





2012

1 3

i

b/ Tính giới hạn:







ln(1 ) 0

x x

Câu 2: ( 1,5 điểm) Khảo sát sự liên tục của hàm số





 



3 1

( )

x

e

x

x

Chứng minh rằng hàm số f x( )liên tục tại x  0 Hàm f x( ) có khả vi tại x  0 hay không? Tại sao?

Câu 3: ( 2 điểm) Khảo sát và vẽ đường cong trong tọa độ cực r 5 4 sin

Câu 4: ( 3 điểm)

a/ Khảo sát sự hội tụ của tích phân

3

1

( 1) 3

x x

dx







b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi

1

( 1) ( 2)

3 .5







n n

x n

Câu 5: (1,5 điểm) Khai triển thành chuỗi lũy thừa của (x-3) của hàm

 

2

6 2 ( )

x

f x

x x Tính

(2011)(3)

ĐÁP ÁN:

Câu 1: ( 2 điểm )

a/ Tính

2012

1 3

i i





2012 2012

2012

1006

2012

1006

1006

1

1

cos

i i

i

i

i

i









1006

2515 sin

3 1

i

i



b/ Tính giới hạn:  



ln(1 ) 0

x x

Đặt

ln(1 ) 0

ln(1 ) 0

0

lim

ln ln lim

ln lim ln(1 ) ln

x x

x x

x

A x

A x

A x x



















2

2

2

2

1

1 2(ln )

1

Lp

Lp

Lp

A

x

x

x

x

x x











1

Ae 

Câu 2: ( 1,5 điểm)

a/ x0:

3

x

f



Vậy hàm số liên tục tại x 0

b/

3

2

1 3

x

x L hospital x L hospital x

e







Do giới hạn trên tồn tại nên f x( ) khả vi tại x 0

Câu 3: ( 2 điểm) Khảo sát và vẽ đường cong trong tọa độ cực r 5 4 sin

MXĐ:  R

Tuần hoàn : Hàm số tuần hoàn chu kì 2 nên ta chỉ cần khảo sát trên [0, 2 ]

Đối xứng: Hàm số có dạng f(sin ) nên đối xứng qua Oy nên ta chỉ cần khảo sát trên [ , ]

2 2

 

Ta có:

/

5 4sin tan

4 cos

r r

r r











BBT:



-2



2  / r 0 - 0

r 9

1

tan  

Đồ thị: Ta vẽ đồ thị trong [ , ] 2 2    sau đó lấy đối xứng qua Oy sẽ được toàn bộ đồ thị

Câu 4: ( 3 điểm) a/ Khảo sát sự hội tụ của tích phân 3 3 5 1 ( 1) 3 x x dx x x x x       Khi x   thì  

    2 3 3 3 5 3 2 ( 1) 1 3 x x x x x x x x x x Mà   3 1 2 1 dx x hội tụ ( do   3  1 2 ) Nên 3 3 5 1 ( 1) 3 x x dx x x x x       hội tụ (tcss2)

b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi 1 ( 1) ( 2) 3 5 n n n n x n      Đặt X x 2thì chuỗi trở thành ( 1)

3 5

n n n

X n

 



Xét 1

1

3.( 1).5 5

n

n

n

R





nên X 5     5 x 2 5 Và khoảng hội tụ là x   3, 7

- Tại x  3 :

1

1 3

n n





 chuỗi phân kì (do   1)

- Tại x 7:

1

( 1) 3.

n







 chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

- Vậy miền hội tụ là ( 3, 7] 

Câu 5: (1,5 điểm) Khai triển thành chuỗi lũy thừa của (x-3) của hàm

 

2

6 2 ( )

x

f x

x x Tính

(2011)(3)

- Đặt tx 3 thì t 0khi x 3





( )

4 1

4

f x

Nên



 

 

       



  

 2  2 1

2

2 ( )

4 1

4

n

n

n

f t

t



( )

f x

- Tínhf(2011)(3) :

Do 2n 1 2011  n 1005

Ta có

(2011) 2011 2011

(2011)

(3)

f

Cách 2:

 











2

0

( )

( 1)

n

n n

n

x

f x

t