Đề thi và đáp án môn toán cao cấp A1

ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP A1- HKI 2011-2012 Thời gian: 75 phút Câu 1: ( 2 điểm ) a/ Tính         2012 1 3 i i b/ Tính giới hạn:    ln(1 ) 0 lim x x x Câu 2: ( 1,5 điểm) Khảo sát sự liên tục của hàm số          3 1 , 0 ( ) 3 , 0 x e x f x x x Chứng minh rằng hàm số ( ) f x liên tục tại 0 x  . Hàm ( ) f x có khả vi tại 0 x  hay không? Tại sao? Câu 3: ( 2 điểm) Khảo sát và vẽ đường cong trong tọa độ cực 5 4 sin r    Câu 4: ( 3 điểm) a/ Khảo sát sự hội tụ của tích phân 3 3 5 1 ( 1) 3 x x dx x x x x       b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi 1 ( 1) ( 2) 3. .5      n n n n x n Câu 5: (1,5 điểm) Khai triển thành chuỗi lũy thừa của (x-3) của hàm     2 6 2 ( ) 6 5 x f x x x . Tính (2011) (3) f . ĐÁP ÁN: Câu 1: ( 2 điểm ) a/ Tính 2012 1 3 i i         2012 2012 2012 1006 2012 1006 1006 2. cos sin 4 4 1 3 2. cos sin 6 6 1 cos sin 2 4 6 4 6 1 5 5 cos sin 2 12 12 1 2515 cos 2 3 i i i i i i                                                                                                             1006 2515 sin 3 1 cos sin 2 3 3 i i                                              b/ Tính giới hạn:    ln(1 ) 0 lim x x x Đặt ln(1 ) 0 ln(1 ) 0 0 lim ln ln lim ln lim ln(1 ). ln x x x x x A x A x A x x               2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 1 ln(1 ) . ln 1 ln lim lim lim 1 1 1 ln . ln 1 2(ln ) 1 ln lim . lim lim 1 1 1 2 ln 2 lim lim lim 2 0 1 1 Lp x x x Lp x x x Lp x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x x                                                          Nên 0 1 A e   . Câu 2: ( 1,5 điểm) a/ 0  x : 3 0 0 1 3 lim lim 3 (0) x x x e x f x x       Vậy hàm số liên tục tại 0 x  . b/ 3 3 3 3 ' ' 2 0 0 0 0 0 1 3 ( ) (0) 1 3 3 3 9 9 lim lim lim lim lim 0 2 2 2 x x x x L hospital L hospital x x x x x e f x f e x e e x x x x x                  Do giới hạn trên tồn tại nên ( ) f x khả vi tại 0 x  . Câu 3: ( 2 điểm) Khảo sát và vẽ đường cong trong tọa độ cực 5 4 sin r    MXĐ: R    Tuần hoàn : Hàm số tuần hoàn chu kì 2  nên ta chỉ cần khảo sát trên [0, 2 ]  Đối xứng: Hàm số có dạng (sin ) f  nên đối xứng qua Oy nên ta chỉ cần khảo sát trên [ , ] 2 2    . Ta có: / / / 4cos ; 0 ; [ , ] 2 2 2 2 5 4sin tan 4cos r r r r                      BBT:  - 2  2  / r 0 - 0 r 9 1 tan    Đồ thị: Ta vẽ đồ thị trong [ , ] 2 2    sau đó lấy đối xứng qua Oy sẽ được toàn bộ đồ thị. Câu 4: ( 3 điểm) a/ Khảo sát sự hội tụ của tích phân 3 3 5 1 ( 1) 3 x x dx x x x x       Khi   x thì       2 3 3 3 5 3 2 ( 1) 1 3 x x x x x x x x x x . Mà   3 1 2 1 dx x hội tụ ( do    3 1 2 ) Nên 3 3 5 1 ( 1) 3 x x dx x x x x       hội tụ (tcss2) b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi 1 ( 1) ( 2) 3 .5 n n n n x n      Đặt 2 X x   thì chuỗi trở thành 1 ( 1) 3 .5 n n n n X n     Xét 1 1 3. .5 1 lim lim 5 3.( 1).5 5 n n n n n n a n R a n          nên 5 5 2 5 X x       . Và khoảng hội tụ là   3,7 x   - Tại 3 x   : 1 1 3 n n    chuỗi phân kì (do   1 ) . - Tại 7 x  : 1 ( 1) 3. n n n     chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. - Vậy miền hội tụ là ( 3,7]  . Câu 5: (1,5 điểm) Khai triển thành chuỗi lũy thừa của (x-3) của hàm     2 6 2 ( ) 6 5 x f x x x . Tính (2011) (3) f . - Đặt 3 t x   thì 0 3 t khi x   Mà                        2 2 2 2 6 2 2 2 2 ( ) 6 5 4 4 4 1 4 x t t t f x x x t t t Nên                                    2 2 1 2 0 0 2 ( ) 2 4 2.4 4 1 4 n n n n n t t t t f t t              2 1 2 1 1 0 0 ( 3) ( 3) ( ) 2.4 2 n n n n n n x x f x - Tính (2011) (3) f : Do     2 1 2011 1005 n n Ta có (2011) 2011 2011 (2011) 1005 1005 2011 (3)( 3) ( 3) 2011! 2011! (3) 2011! 2.4 2.4 2 f x x f       . Cách 2:                                                                  2 0 0 1 1 0 6 2 1 1 ( ) 5 1 6 5 1 1 2 2 1 1 ( 1) 2 2 2 2 1 ( 1) . 2 2 n n n n n n n n n n x f x x x x x t t t t t . ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP A1- HKI 2011-2012 Thời gian: 75 phút Câu 1: ( 2 điểm ) a/ Tính         2012 1 3 i i . (x-3) của hàm     2 6 2 ( ) 6 5 x f x x x . Tính (2011) (3) f . ĐÁP ÁN: Câu 1: ( 2 điểm ) a/ Tính 2012 1 3 i i         2012 2012 2012 1006 2012 1006 1006 2 tại 0 x  . Hàm ( ) f x có khả vi tại 0 x  hay không? Tại sao? Câu 3: ( 2 điểm) Khảo sát và vẽ đường cong trong tọa độ cực 5 4 sin r    Câu 4: ( 3 điểm) a/ Khảo sát sự hội tụ của