Tài liệu chia sẻ đề thi và đáp án môn Toán cao cấp 2.
Trang 1ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010.
Môn học: Giải tích 1
Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm 7 câu
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
CA 2
Câu 1 : Tính giới hạn (trình bày lời giải cụ thể) I = lim
x→0
s in x − ln ( s in x + √ 1 + x2)
t a n x − x c o s 2x
Câu 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong y = ( 1 + x) 1
1+x
Câu 3 : Tìm và phân loại tất cả các điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y = lg ( x2+ 3 x)
Câu 4 : Giải phương trình vi phân y ′
− y x = − ln x x với điều kiện y( 1 ) = 1 Câu 5 : Giải phương trình vi phân y ′′
− 2 y ′ + y = s in h ( 2 x)
Câu 6 : Tính tích phân suy rộng +∞
1
dx
x 13/3 · √31 + x2
Câu 7 : Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử hoặc trị riêng, véctơ riêng
dx
dy
dt = 2 x + 6 y + 2 z dz
Đáp án
→ I = lim
x→0
s in x + ln ( s in x +( 1 + x2)
t a n x − x c o s 2x = lim
x→0
x3
6 + o( x3)
4x3
3 + o( x3) =
8
= ( 1 + x) 1/(x+1)
· (1+x)1 2( 1 − ln ( x + 1 ) )
→ y ′ ≥ 0 ⇔ 0 < x ≤ e − 1 Hàm tăng trên ( 0 , e − 1 ) , giảm trên ( e − 1 , +∞) , cực đại tại
x = e − 1 , f cd = e 1/e
lim
x→−1+( x + 1 ) 1/(x+1) = 0 , không có tiệm cận đứng, lim
x→+∞ ( x + 1 ) 1/(x+1) = 1 , tiệm cận ngang y = 1
Lập bảng biến thiên, tìm vài điểm đặc biệt, vẽ
q( x) · ep(x)dx dx + C ;y = e
1/xdx − ln x
x · e
−1/xdx dx + C
y = x − ln x
x2 dx + C = xln x+1
x + C ; y( 1 ) = 1 ⇔ C = 0 → y = ln x + 1
− 2 k + 1 = 0 ⇔ k = 1 → y0 = C1e x + C2· x · e x Tìm nghiệm riêng:
y r = y r1 + y r2, với y r1 = e
2x
2 là nghiệm riêng của y ′′
− 2 y ′ + y = e
2x
y r2 = −e −2x
1 8 là nghiệm riêng của y ′′
− 2 y ′ + y = −e −2x
2 Kết luận: y tq = y0+ y r1 + y r2
1 -CA 2
Trang 2Câu 6 (1.5đ) +∞
1
dx
3
√
x13+ x15 ⇔
1
dx
x5 3
1 + 1
x2
Đặt t = 3
1 + x12 ⇔ t3 = 1 + x12
I =
1
3
√
2
−3
2 t( t
3
− 1 ) dt = −3
2 0 · √3 4 + 9
2 0
3 1 1
2 4 2
1 1 3
Chéo hóa A = P DP −1,
với P =
1 −1 −1
,D =
8 0 0
0 4 0
0 0 4
,
Hệ phương trình X ′
= A · X ⇔ X ′
= P DP −1 X ⇔ P −1 X ′
= DP −1 X,đặt X = P −1 Y, có hệ
Y ′
= DY ⇔ y ′
1 = 8 y1; y ′
2 = 4 y2; y ′
3 = 4 y3 → y1( t) = C1e 8t ; y2( t) = C2e 4t ; y3( t) = C3e 4t
Kluận: X = P Y ⇔ x1( t) = C1e 8t
− C2e 4t
− C3e 4t ; x2( t) = 2 C1e 8t + C2e 4t ; x3( t) = C1e 8t + C3e 4t
2 -CA 2
