Đề thi và đáp án HKP Toán Cao Cấp TCC_HKP_THI tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tấ...
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010.Môn học: Giải tích 1.Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬNCA 1Câu 1 : Tính giới hạn (trình bày lời giải cụ thể) I = limx→03√1 + x3− x c o t x − x2/3x c o s x − s in x.Câu 2 : Khảo sát và vẽ đồ thò của đường cong y = x1x.Câu 3 : Tìm và phân loại tất cả các điểm gián đoạn của đồ thò hàm số y =1ln |x − 1 |.Câu 4 : Giải phương trình vi phân y′− x2y =x5+ x23với điều kiện y( 0 ) = 0 .Câu 5 : Tính tích phân suy rộng+∞1dxx19/3·3√1 + x2Câu 6 : Giải phương trình vi phân y′′− 2 y′+ y = s in ( 2 x) · c o s x.Câu 7 : Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử hoặc trò riêng, véctơ riêng.dxdt= 3 x + y + zdydt= 2 x + 4 y + 2 zdzdt= x + y + 3 zĐáp án. Câu 1(1 điểm). Khai triển Maclaurint3√1 + x3−x c o t ( x) −x23=x33+o( x3) ; x c o s x−s in x =−x33+ o( x3)→ I = limx→03√1 + x3− x c o t x − x2/3x c o s x − s in x= limx→0x33+ o( x3)−x33+ o( x3)= −1 .Câu 2(1.5 điểm). Tập xác đònh x > 0 , đạo hàm: y′= x1/x·1x2( 1 − ln x) → y′≥ 0 ⇔ 0 < x ≤ e.Hàm tăng trên ( 0 , e) , giảm trên ( e, +∞) , cực đại tại x = e, fcd= e1/elimx→0+x1/x= 0 , không có tiệm cận đứng, limx→+∞x1/x= 1 , tiệm cận ngang y = 1 .Lập bảng biến thiên, tìm vài điểm đặc biệt, vẽ.Câu 3(1.5đ). Miền xác đònh x = 0 , x = 1 , x = 2 . limx→0f( x) = ∞ → x = 0 là điểm gián đoạn loại 2.limx→1f( x) = ∞ → x = 1 là điểm gián đoạn loại 1, khử được;limx→2f( x) = ∞ → x = 2 là điểm gián đoạn loại 2.Câu 4(1.5đ). y = e−p(x)dxq( x) · ep(x)dxdx + C;y = ex2dxx5+x23· ex2dxdx + Cy = ex33x5+x23· e−x33dx + C= ex33−x3+43· e−x33+ C; y( 0 ) = 0 ⇔ C =43.Câu 5 (1.5đ)+∞1dx3√x19+ x21⇔+∞1dxx731 +1x2. Đặt t =31 +1x2⇔ t3= 1 +1x2I =13√2−32t( t3− 1 )2dt =31 0·3√4 −2 78 01 -CA 1. Câu 6(1.5đ). Ptrình đặc trưng k2− 2 k + 1 = 0 ⇔ k = 1 → y0= C1ex+ C2· x· ex. Tìm nghiệm riêng:yr= yr1+ yr2, với yr1=31 0 0c o s ( 3 x) −12 5s in ( 3 x) là nghiệm riêng của y′′− 2 y′+ y =s in ( 2 x)2yr2=c o s x4là nghiệm riêng của y′′− 2 y′+ y =s in ( x)2. Kết luận: ytq= y0+ yr1+ yr2.Câu 7(1.5đ). Ma trận A =3 1 12 4 21 1 3. Chéo hóa A = P DP−1,với P =1 −1 −12 1 01 0 1,D =6 0 00 2 00 0 2,Hệ phương trình X′= A· X ⇔ X′= P DP−1X ⇔ P−1X′= DP−1X,đặt X = P−1Y , có hệY′= DY ⇔ y′1= 6 y1; y′2= 2 y2; y′3= 2 y3→ y1( t) = C1e6t; y2( t) = C2e2t; y3( t) = C3e2tKluận: X = P Y ⇔ x1( t) = C1e6t− C2e2t− C3e2t; x2( t) = 2 C1e6t+ C2e2t; x3( t) = C1e6t+ C3e2t2 -CA 1. ĐỀ THI HỌC KỲ PHỤ MƠN TỐN CAO CẤP NĂM HỌC 2016-2017 MÃ ÐỀ THI : 451 2 3 Câu 1: Cho A 1 Tìm phần tử hàng 3, cột ma trận A1 1 A) B) -3 C) ln 1 2sin x Câu 2: Tính giới hạn lim x 0 cos x A) -2 B) C) f Câu 3: Cho f x, y x y Tính x A) 2x B) x C) x y D) D) -4 D) 3y Câu 4: Tính đạo hàm hàm số y 13x 13x ln13 Câu 5: Tính tích phân xdxdy với D miền tam giác có đỉnh A 0;0 , B 2;1 C 3;0 C) x.13x 1 B) 13x.ln13 A) 13x D) D A) B) C) D) 2 Câu 6: Cho hai tập hợp A x / x x 0 B x / x x 10 0 Tìm tập hợp A B ? A) 1;2 B) 3;5 C) 1;2 D) 3;5 Câu 7: Tính đạo hàm hàm số y ln x x A) x x2 Câu 8: Tính lim x 1 A) 10 B) x2 C) 1 x x x2 D) x2 x x2 x2 x x x 1 B) 1 Câu 9: Tính : A 1 1 A) -30 B) 30 1 3 Câu 10: Tính hạng ma trận 4 2 A) B) C) D) C) 15 D) Tất sai C) D) C) a D) a 1 2 2 4 2 2 a a 1 a Câu 11: Cho A a a a a a 2a a Tính giá trị hàng 2, cột A A) a B) 2a cos Câu 12: Tính tích phân x 1 cos xdx A) 15 15 a a 1 Câu 13: Cho ma trận A Tính A a a B) a a 1 a 2a 1 a x sin x Câu 14: Tính lim x 0 x tan x A) A) C) 15 D) 15 a 1 a a 2a a D) a a 2a a a B) a a 2a 1 a a C) B) C) x 1 4x x 1 ln D) Câu 15: Tính ðạo hàm hàm số y A) x 1 ln 2 B) x2 x2 C) x 1 ln 2 x y z Câu 16: Giải hệ phương trình x y 3x y z A) x 2a; y a 1; z a B) x 2a; y a 1; z a 2x C) x 2a; y a 1; z a Câu 17: Cho số phức z a ib a, b R Tìm phần ảo số phức z z B) a b A) 4abi C) a b 1 4 Câu 18: Tìm hạng ma trận: A 1 3 1 A) B) x y z t 0 3 x y z t Câu 19: Giải hệ x y z 3t 2 2 x y z 3t 3 A) x 2; y 2; z 1; t B) x 1; y 1; z 2; t 2 D) x 1 ln 22 x D) x 2a; y a 1; z a 2 D) 4ab C) D) C) x 1; y 1; z 2; t D) x 2; y 2; z 1; t 1 y Câu 20: Đổi thứ tự lấy tích phân I dy f ( x, y )dx A) I dx x B) I dx f ( x, y )dy 0 Câu 21: Tính định thức: A A) A = 7- 2i 1 x f ( x, y )dy i 2i với i 1 2i i B) A = -7 +2i C) I dx f ( x, y )dy x C) A = +7i x2 0 D) I dx f ( x, y)dy D) A= -2 +7i Câu 22: Tính tích phân x.e kx dx với k tham số A) ek ek 2 k k k B) ek ek k k2 k2 C) ek ek 2 k k k D) ek ek k k2 k2 1 2 1 Câu 23: Tính định thức ma trận 1 4 0 1 A) 74 B) 74 1 3i x i y 14i Câu 24: Tìm x, y C cho i x i y 5i A) x 2i; y i B) x i; y 2i Câu 25: Tính giới hạn: lim sin x tan x 1 cos x x D) 47 C) x 2i; y i D) x i; y 2i tan x sin x 2sin x x 0 A) C) 47 B) C) D) 2 D) esin x x 0 cos x Câu 26: Tính giới hạn: lim A) B) 2 C) 1 1 2 Câu 27: Tính định thức ma trận 4 1 0 1 A) 74 B) 47 C) 74 a a 1 Câu 28: Cho ma trận A a Tính A a a a a 1 a a B) 2a a a 2a 1 a a Câu 29: Đổi sang dạng lượng giác số phức z 3i A) C) D) 47 a a 2a a a A) cos i sin 6 B) cos i sin C) cos i sin 6 3 a a Câu 30: Cho ma trận A Trong khẳng định sau, khẳng định sai a 2 a A) A1 B) A At C) det At a2 2 a a Câu 31: Cho hàm hai biến f x, y y ln xy xy Tính A) ln xy Câu 32: Cho định thức A A) B 2 A 3 a b c d 8 4 12 17 B) B A ,B a a 1 a 2a 1 a D) cos i sin 3 D) det A a f ? y C) x ln xy B) ln x D) 2a 2b 2c 2d 12 16 3 12 17 C) B A D) ln xy Khẳng định đúng? D) B 4 A Câu 33: Tính phân suy rộng: x 1 x dx A) Câu 34: Tính B) i C) 12 D) 20 A) 219 (1 i 3) B) 219 (1 i 3) C) 219 ( i) D) 219 ( i) 0 3 Câu 35: Cho A 3 , B 0 Tính det 3AB 0 1 A) 20 B) C) 18 x y z 10 Câu 36: Giải hệ x y 3z 10 3x y z 10 D) 162 A) x 1; y 3; z C) x 2; y 1; z D) x 2; y 3; z C) 0.375 D) 0.75 B) x 1; y 2; z 1 2 2 Tính hệ số a A1 Câu 37: Cho A 23 6 3 A) 0.375 B) 0.75 x 1 x 1 x2 1 Câu 38: Tính : A x x x A) B) x 1 x 1 e x dx e2 x A) arctan x C B) tan e x C m Câu 40: Cho định thức B 2m 2 Tìm tất m để B A) m B) m C) x 1 x 1 2 D) x x 1 Câu 39: Tính nguyên hàm C) arctan e x C D) tan x C C) m D) m - HẾT - ĐỀ THI HỌC KỲ PHỤ MÔN TOÁN CAO CẤP NĂM HỌC 2016-2017 MÃ ÐỀ THI : 465 2 3 Câu 1: Cho A 1 Tìm phần tử hàng 3, cột ma trận A1 1 A) B) C) Câu 2: Cho số phức z a ib a, b R Tìm phần ảo số phức z z A) a b2 C) a b2 B) 4abi Câu 3: Cho hàm hai biến f x, y y ln ...ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010.Môn học: Giải tích 1.Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬNCA 2Câu 1 : Tính giới hạn (trình bày lời giải cụ thể) I = limx→0s in x − ln ( s in x +√1 + x2)t a n x − x c o s2x.Câu 2 : Khảo sát và vẽ đồ thò của đường cong y = ( 1 + x)11+x.Câu 3 : Tìm và phân loại tất cả các điểm gián đoạn của đồ thò hàm số y = lg ( x2+ 3 x) .Câu 4 : Giải phương trình vi phân y′−yx= −ln xxvới điều kiện y( 1 ) = 1 .Câu 5 : Giải phương trình vi phân y′′− 2 y′+ y = s in h ( 2 x) .Câu 6 : Tính tích phân suy rộng+∞1dxx13/3·3√1 + x2Câu 7 : Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử hoặc trò riêng, véctơ riêng.dxdt= 5 x + y + zdydt= 2 x + 6 y + 2 zdzdt= x + y + 5 zĐáp ánCâu 1(.5 điểm). Khai triển: s in x + ln ( s in x +( 1 + x2) =x36+ o( x3) ; t a n x− x c o s2x =4x33+ o( x3)→ I = limx→0s in x + ln ( s in x +( 1 + x2)t a n x − x c o s2x= limx→0x36+ o( x3)4x33+ o( x3)=18.Câu 2(1.5 điểm). Tập xác đònh x > −1 , đạo hàm: y′= ( 1 + x)1/(x+1)·1(1+x)2( 1 − ln ( x + 1 ) )→ y′≥ 0 ⇔ 0 < x ≤ e − 1 . Hàm tăng trên ( 0 , e − 1 ) , giảm trên ( e − 1 , +∞) , cực đại tạix = e− 1 , fcd= e1/elimx→−1+( x + 1 )1/(x+1)= 0 , không có tiệm cận đứng, limx→+∞( x + 1 )1/(x+1)= 1 , tiệm cận ngang y = 1 .Lập bảng biến thiên, tìm vài điểm đặc biệt, vẽ.Câu 3(1.0đ). Miền xác đònh x < −3 , x > 0 , y liên tục trên toàn MXĐ, không có điểm gián đoạn.Câu 4(1.5đ). y = e−p(x)dxq( x) · ep(x)dxdx + C;y = e1/xdx− ln xx· e−1/xdxdx + Cy = x− ln xx2dx + C= xln x+1x+ C; y( 1 ) = 1 ⇔ C = 0 → y = ln x + 1 .Câu 5(1.5đ). Ptrình đặc trưng k2− 2 k + 1 = 0 ⇔ k = 1 → y0= C1ex+ C2· x· ex. Tìm nghiệm riêng:yr= yr1+ yr2, với yr1=e2x2là nghiệm riêng của y′′− 2 y′+ y =e2x2yr2=−e−2x1 8là nghiệm riêng của y′′− 2 y′+ y =−e−2x2. Kết luận: ytq= y0+ yr1+ yr2.1 -CA 2. Câu 6 (1.5đ)+∞1dx3√x13+ x15⇔+∞1dxx531 +1x2. Đặt t =31 +1x2⇔ t3= 1 +1x2I =13√2−32t( t3− 1 ) dt =−32 0·3√4 +92 0Câu 7(1.5đ). Ma trận A =3 1 12 4 21 1 3. Chéo hóa A = P DP−1,với P =1 −1 −12 1 01 0 1,D =8 0 00 4 00 0 4,Hệ phương trình X′= A · X ⇔ X′= P DP−1X ⇔ P−1X′= DP−1X,đặt X = P−1Y , có hệY′= DY ⇔ y′1= 8 y1; y′2= 4 y2; y′3= 4 y3→ y1( t) = C1e8t; y2( t) = C2e4t; y3( t) = C3e4tKluận: X = P Y ⇔ x1( t) = C1e8t− C2e4t− C3e4t; x2( t) = 2 C1e8t+ C2e4t; x3( t) = C1e8t+ C3e4t2 -CA 2. Thi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên Đề thi số 1 Thi ngày 20/6/2008 – Đề lẻ Câu I: a/ Phát biểu và tổ hợp tuyến tính của một hệ véc tơ và sự biểu diễn tuyến tính của một véc tơ qua một hệ véc tơ trong không gian véc tơ n ¡ . b/ Trong không gian 3 ¡ , cho { } 1 2 3 H A , A ,A ,X= . Biết rằng tập hợp { } 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 T t (t ,t ,t ) : X t A t A t A = = ∈ = + + ≠ ∅ ¡ . Cho nhận định về số phần tử của T. Câu II: Xét sự hội tụ của chuỗi số ( ) n 1 n 1 n 1 +∞ = + − − ∑ b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: ( ) n n n 1 3n 1 (x 1) 2 3 +∞ = − − + ∑ Câu III: Cho hệ véc tơ { } 1 2 3 A (1,0,2); A (3,2,5); A (0,1, ); B (4,2,7)= = = α = . Với giá trị nào của α thì { } { } 1 2 3 1 2 3 rank A , A ,A rank A , A ,A , B= Câu IV: Cho hệ phương trình tuyến tính: AX ,= Ο trong đó: 2 3 5 3 3 7 8 1 1 2 A 1 2 1 1 0 4 3 5 3 1 − − − ÷ = − ÷ ÷ − − . Hãy chỉ ra công thức nghiệm tổng quát với 1 4 5 x , x , x làm ẩn cơ sở và một hệ nghiệm cơ bản của hệ đã cho. Hết 1 Thi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên Đáp án đề thi số 1 ngày 20/6/2008 – Đề lẻ Câu I: b/ Mỗi phần tử của T tương ứng với một cách biểu diễn tuyến tính của X qua hệ véc tơ { } 1 2 3 A ,A ,A và cũng là tương ứng với một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 1 1 2 2 3 3 t A t A t A X+ + = (*1). Giả thiết T ≠ ∅ cho phép ta khẳng định hệ phương trình (*1) có nghiệm ⇔ { } { } 1 2 3 1 2 3 rank A , A ,A rank A ,A ,A ,X= . Nếu { } 1 2 3 rank A , A ,A 3= thì hệ (*1) chỉ có một nghiệm (vì hệ (*1) là hệ phương trình tuyến tính Cramer) ⇒ T chỉ có một phần tử. Nếu { } 1 2 3 rank A , A ,A 2= thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào một tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các điểm của một đường thẳng. Nếu { } 1 2 3 rank A , A ,A 1= , (tức là 4 véc tơ 1 2 3 A , A ,A , X tỷ lệ với nhau và có ít nhất một trong các véc tơ 1 2 3 A , A ,A khác véc tơ không) thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào hai tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các điểm của một mặt phẳng. Nếu { } 1 2 3 rank A , A ,A 0= , (tức là cả 4 véc tơ 1 2 3 A , A ,A , X đều là những véc tơ không) thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào ba tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các điểm của toàn không gian 3 ¡ . Câu II: a/ ( ) n 1 n 1 n 1 +∞ = + − − ∑ = n 1 2 n 1 n 1 +∞ = + + − ∑ là chuỗi số dương Nhận thấy rằng 2 1 2n n 1 n 1 n 2 n n 1 n 1 > ⇔ > + + − ∀ ≥ + + − (*1) * Tam thức bậc 2: 2 y x x 1= − − có 2 nghiệm: 1 2 1 5 1 5 x vµ x 2 2 − + = = nên 2 1 5 x x 1 0 x 2 + − − > ∀ > ⇒ 2 n n 1 0 n n 1 n 2− − > ⇔ > + ∀ ≥ (*2) * ( ) 2 2 1 3 n n 1 n 0 n n n 1 n 1 2 4 − + = − + > ∀ ⇔ > − ∀ > (*3) Từ (*2) và (*3) ⇒ (*1) Chuỗi n 1 1 n +∞ = ∑ phân kỳ, theo dấu hiệu so sánh 1 thì chuỗi ( ) n 1 n 1 n 1 +∞ = + − − ∑ phân kỳ. Cách 2: Đặt n 2 u n 1 n 1 = + + − , n 1 v n = ⇒ n n n u lim 1 v →+∞ = , mặt khác chuỗi n 1 1 n +∞ = ∑ phân kỳ ⇒ chuỗi ( ) n 1 n 1 n 1 +∞ = + − − ∑ phân kỳ. 2 Thi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: ( ) n n n 1 3n 1 (x 1) 2 3 +∞ = − − + ∑ Đề thi số 2 Thi ngày 20/6/2008 – Đề lẻ Câu I: a/ Phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện cần và đủ để một hệ véc tơ là phụ thuộc tuyến tính. b/ Dùng định lý trên để chứng tỏ hệ hai véc tơ sau là độc lập tuyến tính: { } 1 2 A (2, 3, 0, 1); A (6, 9, 0, 2)= = . Câu II: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: ( ) n n 1 n x 5 UBND HUYỆN HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Đề chính thức Bài 1 (4 điểm): a) So sánh hai số: 300 2013 2 và 200 2012 3 b) Cho 2 3 4 5 6 2012 2013 5 5 5 5 5 5 5 5A = + + + + + + + + . Chứng tỏ rằng: 155AM Bài 2 (4 điểm): a) Ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2013 liền nhau thành một số tự nhiên A. Hỏi số tự nhiên A có bao nhiêu chữ số. b) Tìm số nguyên tố p sao cho: 2; 6; 8; 14p p p p + + + + cũng là các số nguyên tố. Bài 3 (4 điểm): a) Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết: 4 11 . 25 11 < 2 n . 5 n ≤ 20 12 .5 12 b) Tìm x, biết: ( ) 3 2 5 5 10 11 x x − = + Bài 4 (4 điểm): Tìm ba số có tổng bằng 210, biết rằng 6 7 số thứ nhất bằng 9 11 số thứ hai và bằng 2 3 số thứ ba. Bài 5 (4 điểm): a) Trên tia Ox cho bốn điểm A, B, C, D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D; OA = 5 cm; OD = 2 cm; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn thẳng BD, AC. b) Trong mặt phẳng cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng, nếu vẽ được tất cả là 4950 đường thẳng. thì số n điểm đã cho là bao nhiêu ? Ghi chú: Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: TOÁN 6 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 KỲ THI HSG CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2012 - 2013. Bài Đáp án Điểm 1 4 điểm a) So sánh hai số: 300 2013 2 và 200 2012 3 2,0đ Ta có: 2 300 = 2 3.100 = (2 3 ) 100 = 8 100 3 200 = 3 2.100 = (3 2 ) 100 = 9 100 1,0đ Ta thấy: 8 < 9 ⇒ 8 100 < 9 100 ⇒ 300 200 300 200 300 200 200 1 1 2013 2013 2012 2 3 2 3 2 3 3 < ⇒ > ⇒ > > Vậy: 300 200 2013 2012 2 3 > 1,0đ b) Chứng minh rằng: 155AM 2,0đ + Vì A có 2013 số hạng nên ta có: ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 2011 2012 2013 5 5 5 5 5 5 5 5 5A = + + + + + + + + + 0,5đ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 7 2 2011 2 5. 1 5 5 5 . 1 5 5 5 . 1 5 5 5 . 1 5 5= + + + + + + + + + + + + 0,5đ ( ) 4 7 2011 31. 5 5 5 5 31A = + + + + ⇒ M 0,5đ + Mặt khác 5AM mà 5 và 31 là hai số nguyên tố cùng nhau Nên ( ) 5.31AM hay 155AM 0,5đ 2 4 điểm a) Số A có bao nhiêu chữ số: 2,0đ Các số có 1 chữ số từ 1 đến 9 là: 9 – 1 + 1 = 9 (số) Các số có 2 chữ số từ 10 đến 99 là: 99 – 10 + 1 = 90 (số) Các số có 3 chữ số từ 100 đến 999 là: 999 – 100 + 1 = 900 (số) Các số có 4 chữ số từ 1000 đến 2013 là: 2013 – 1000 + 1 = 1014 (số) 1,0đ Vậy: Số chữ số của số tự nhiên A là: 9 + 90.2 + 900.3 + 1014.4 = 9 + 180 + 2700 + 4056 = 6945 (chữ số) 1,0đ b) Tìm số nguyên tố p: 2,0đ + Ta có: 6p + là số nguyên tố nên 6 2; 3 3p p p p / ⇒ ≠ ≠ ⇒ >M 0,5đ + Với 5 2 7; 6 11; 8 13; 14 19p p p p p= ⇒ + = + = + = + = thoả điều kiện bài toán. 0,5đ + Với 5p > , p nguyên tố ⇒ 5p / M và 2; 6; 8; 14p p p p + + + + đều lớn hơn 5. - Xét p chia 5 dư 1 thì ( ) ( ) 14 5 14p p+ ⇒ +M không là số nguyên tố. - Xét p chia 5 dư 2 thì ( ) ( ) 8 5 8p p+ ⇒ +M không là số nguyên tố. - Xét p chia 5 dư 3 thì ( ) ( ) 2 5 2p p+ ⇒ +M không là số nguyên tố. - Xét p chia 5 dư 4 thì ( ) ( ) 6 5 6p p+ ⇒ +M không là nguyên tố. Do đó: 5p > không thỏa điều kiện bài toán. Vậy: số nguyên tố cần tìm là 5p = . 1,0đ 3 4 điểm a) Tìm các số tự nhiên n: 2,0đ 4 11 . 25 11 < 2 n . 5 n ≤ 20 12 .5 12 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 12 2 2 2 12 2 . 5 2.5 2 .5 .5 n < ≤ 0,5đ ⇒ 22 22 24 12 12 22 24 24 22 24 2 .5 10 2 .5 .5 10 10 2 .5 10 10 10 n n n < ≤ ⇒ < ≤ ⇒ < ≤ 0,5đ ⇒ 22 < n ≤ 24 0,5đ ⇒ n = 23; 24. Vậy các số tự nhiên n cần tìm là 23; 24 0,5đ b) Tìm x: 2,0đ ( ) 3 2 5 5 10 11 x x − = + ⇒ ( ) 5 .3.11 2 .10 5.10.11 33 165 20 550 10.11 11.10 110 110 x x x x − + − + = ⇒ = 1,0đ 33 165 20 550 33 20 550 165 13 ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP A1- HKI 2011-2012 Thời gian: 75 phút Câu 1: ( 2 điểm ) a/ Tính 2012 1 3 i i b/ Tính giới hạn: ln(1 ) 0 lim x x x Câu 2: ( 1,5 điểm) Khảo sát sự liên tục của hàm số 3 1 , 0 ( ) 3 , 0 x e x f x x x Chứng minh rằng hàm số ( ) f x liên tục tại 0 x . Hàm ( ) f x có khả vi tại 0 x hay không? Tại sao? Câu 3: ( 2 điểm) Khảo sát và vẽ đường cong trong tọa độ cực 5 4 sin r Câu 4: ( 3 điểm) a/ Khảo sát sự hội tụ của tích phân 3 3 5 1 ( 1) 3 x x dx x x x x b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi 1 ( 1) ( 2) 3. .5 n n n n x n Câu 5: (1,5 điểm) Khai triển thành chuỗi lũy thừa của (x-3) của hàm 2 6 2 ( ) 6 5 x f x x x . Tính (2011) (3) f . ĐÁP ÁN: Câu 1: ( 2 điểm ) a/ Tính 2012 1 3 i i 2012 2012 2012 1006 2012 1006 1006 2. cos sin 4 4 1 3 2. cos sin 6 6 1 cos sin 2 4 6 4 6 1 5 5 cos sin 2 12 12 1 2515 cos 2 3 i i i i i i 1006 2515 sin 3 1 cos sin 2 3 3 i i b/ Tính giới hạn: ln(1 ) 0 lim x x x Đặt ln(1 ) 0 ln(1 ) 0 0 lim ln ln lim ln lim ln(1 ). ln x x x x x A x A x A x x 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 1 ln(1 ) . ln 1 ln lim lim lim 1 1 1 ln . ln 1 2(ln ) 1 ln lim . lim lim 1 1 1 2 ln 2 lim lim lim 2 0 1 1 Lp x x x Lp x x x Lp x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x x Nên 0 1 A e . Câu 2: ( 1,5 điểm) a/ 0 x : 3 0 0 1 3 lim lim 3 (0) x x x e x f x x Vậy hàm số liên tục tại 0 x . b/ 3 3 3 3 ' ' 2 0 0 0 0 0 1 3 ( ) (0) 1 3 3 3 9 9 lim lim lim lim lim 0 2 2 2 x x x x L hospital L hospital x x x x x e f x f e x e e x x x x x Do giới hạn trên tồn tại nên ( ) f x khả vi tại 0 x . Câu 3: ( 2 điểm) Khảo sát và vẽ đường cong trong tọa độ cực 5 4 sin r MXĐ: R Tuần hoàn : Hàm số tuần hoàn chu kì 2 nên ta chỉ cần khảo sát trên [0, 2 ] Đối xứng: Hàm số có dạng (sin ) f nên đối xứng qua Oy nên ta chỉ cần khảo sát trên [ , ] 2 2 . Ta có: / / / 4cos ; 0 ; [ , ] 2 2 2 2 5 4sin tan 4cos r r r r BBT: - 2 2 / r 0 - 0 r 9 1 tan Đồ thị: Ta vẽ đồ thị trong [ , ] 2 2 sau đó lấy đối xứng qua Oy sẽ được toàn bộ đồ thị. Câu 4: ( 3 điểm) a/ Khảo sát sự hội tụ của tích phân 3 3 5 1 ( 1) 3 x x dx x x x x Khi x thì 2 3 3 3 5 3 2 ( 1) 1 3 x x x x x x x x x x . Mà 3 1 2 1 dx x hội tụ ( do 3 1 2 ) Nên 3 3 5 1 ( 1) 3 x x dx x x x x hội tụ (tcss2) b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi 1 ( 1) ( 2) 3 .5 n n n n x n Đặt 2 X x thì chuỗi trở thành 1 ( 1) 3 .5 n n n n X n Xét 1 1 3. .5 1 lim lim 5 3.( 1).5 5 n n n n n n a n R a n nên 5 5 2 5 X x . Và khoảng hội tụ là 3,7 x - Tại 3 x : 1 1 3 n n chuỗi phân kì (do 1 ) . - Tại 7 x : 1 ( 1) 3. n n n chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. - Vậy miền hội tụ là ( 3,7] . Câu 5: (1,5 điểm) Khai triển thành chuỗi lũy thừa của (x-3) của hàm 2 6 2 ( ) 6 5 x f x x x . Tính (2011) (3) f . - Đặt 3 t x thì 0 3 t khi x Mà 2 2 2 2 6 2 2 2 2 ( ) 6 5 4 4 4 1 4 x t t t f x x x t t t Nên ... nguyên hàm C) arctan e x C D) tan x C C) m D) m - HẾT - ĐỀ THI HỌC KỲ PHỤ MƠN TỐN CAO CẤP NĂM HỌC 2016-2017 MÃ ÐỀ THI : 465 2 3 Câu 1: Cho A 1 Tìm phần tử hàng 3, cột ma... 2; t D) 74 D) A = 17b – 11 D) D) A At D) x 1 ln D) 2x ĐỀ THI HỌC KỲ PHỤ MƠN TỐN CAO CẤP NĂM HỌC 2016-2017 MÃ ÐỀ THI : 473 1 3 1 Câu 1: Cho A Tính A 0 2 1 0 ... 12 16 17 12 17 C) B 2 A D) B 4 A x2 3 8 C) - HẾT - ĐỀ THI HỌC KỲ PHỤ MƠN TỐN CAO CẤP NĂM HỌC 2016-2017 MÃ ÐỀ THI : 498 1 4 Câu 1: Tìm hạng ma trận: A 1