Đang tải... (xem toàn văn)
Ghi chú: Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay.... HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 KỲ THI HSG CẤP HUYỆN..[r]
(1)UBND HUYỆN HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013 Đề chính thức Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Bài (4 điểm): a) So sánh hai số: (– 5)39 và (– 2)91 b) Chứng minh rằng: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với n N Bài (4 điểm): 2x a) Tìm tất các cặp số (x; y) thỏa mãn: y 7 2012 x 2013 0 b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: n aaa Bài (4 điểm): Ba lớp trường K có tất 147 học sinh Nếu đưa số học sinh 1 lớp 7A1, số học sinh lớp 7A2 và số học sinh lớp 7A3 thi học sinh giỏi cấp huyện thì số học sinh còn lại ba lớp Tính tổng số học sinh lớp trường K ˆ ˆ ˆ Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC có A 3B 6C a) Tính số đo các góc tam giác ABC b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC) Chứng minh: AD < BD < CD Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N cho AM + AN = 2AB a) Chứng minh rằng: BM = CN b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN c) Đường trung trực MN và tia phân giác góc BAC cắt K Chứng minh rằng: KC AC Ghi chú: Thí sinh không phép sử dụng các loại máy tính cầm tay (2) HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN KỲ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 Bài 39 điểm y 7 2012 điểm 2,0đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ 2,0đ x 2012 Điểm a) So sánh hai số: (– 5) và (– 2) Ta có: (– 5)39 = – 539 = – (53)13 = – 12513 (– 2)91 = – 291 = – (27)13 = – 12813 Ta thấy: 12513 < 12813 – 12513 > – 12813 (– 5)39 > (– 2)91 b) Chứng minh: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với n N Ta có: A = 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.(122)n = 121.11n + 12.144n = (133 – 12).11n + 12.144n = 133.11n – 12.11n + 12.144n = 133.11n + 12.(144n – 11n) Ta thấy: 133.11n 133 (144n – 11n) (144 – 11) = 133 12.(144n – 11n) 133 Do đó suy ra: 133.11n + 12.(144n – 11n) chia hết cho 133 Vậy: số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với n N a) Tìm tất các cặp số (x; y): Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn (2x – y + 7)2012 2013 x 0 x 0 và 2x Do đó, từ điểm Đáp án 91 2013 0 x 2013 0 suy ra: (2x – y + 7) = và 2x – y + = (1) và x – = (2) Từ (2) x=3 Từ (1) y = 2x + = 2.3 + = 13 Vậy cặp số (x; y) cần tìm là (3; 13) b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a n n 1 1 n Ta có: và aaa a.111 a.3.37 n aaa n n 1 2.3.37.a Do đó, từ n(n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37 n n + chia hết cho 37 (1) n n 1 aaa 999 n(n + 1) 1998 n < 45 (2) Mặt khác: Từ (1) và (2) suy n = 37, n + = 37 37.38 aaa 703 - Với n = 37 thì (không thỏa) 36.37 aaa 666 - Với n + = 37 thì (thỏa mãn) Vậy n = 36 và a = Tính tổng số học sinh lớp trường K Gọi tổng số học sinh 7A1, 7A2, 7A3 là a, b, c (a,b,c N*) 1 a a b b c c (*) và a + b + c =147 Theo bài ta có : 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c 18 16 15 18 16 15 Từ (*) Áp dụng tính chất dãy tỷ số ta có : 1,0đ 0,5đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 4,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ (3) a b c a b c 147 3 18 16 15 = 18 16 15 49 Suy : a = 54, b = 48, c = 45 Vậy tổng số học sinh 7A1, 7A2, 7A3 là 54, 48 và 45 a) Tính số đo các góc ABC: Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ 1800 200 ˆ 3Bˆ 6Cˆ A 6 Từ Aˆ 6.200 1200 Bˆ 2.200 400 Cˆ 1.200 200 1,0đ 2,0đ 1,0đ 1,0đ 0 ˆ ˆ ˆ Vậy: A 120 ; B 40 ; C 20 4 điểm b) Chứng minh AD < BD < CD - Trong ACD có ˆ 900 ; Cˆ 200 Aˆ 700 ADC ˆ A 500 Bˆ 400 Aˆ1 50 AD BD (1) - Xét ADB có 0 2 ˆ ˆ - Xét ABC có B 40 C 20 AB AC AB AC (*) - Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB và ADC có: AB2 = AD2 + BD2 và AC2 = AD2 + CD2 Do đó, từ (*) AD2 + BD2 < AD2 + CD2 BD2 < CD2 BD < CD (2) Từ (1) và (2) AD < BD < CD a) Chứng minh rằng: BM = CN Theo giả thiết, ta có: 2AB = AB + AB = AB + AM + BM AM + AN = AM + AC + CN ABC cân A AB = AC Do đó, từ AM + AN = 2AB BM = CN điểm b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN Qua M kẽ ME // AC (E BC) ABC cân A BME cân M EM = BM = CN MEI = NCI (g-c-g) IM = IN Vậy: BC qua trung điểm MN c) Chứng minh rằng: KC AN + K thuộc đường trung trực MN KM = KN (1) ˆ ˆ + ABK = ACK (c-g-c) KB = KC (2); ABK ACK (*) + Kết câu c/m câu a) BM = CN (3) ˆ ˆ + Từ (1), (2) và (3) BMK = CNK (c-c-c) ABK NCK (**) ˆ NCK ˆ 180 900 ACK KC AN + Từ (*) và (**) * Ghi chú: Mọi cách giải khác mà đúng và phù hợp ghi điểm tối đa 2,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,5đ 0,75đ 0,75đ 1,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (4) (5)