a Tính số đo các góc của tam giác ABC.. b Kẻ AD vuông góc với BC D thuộc BC.. a Chứng minh rằng: BM = CN b Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.. c Đường trung trực củ
Trang 1UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
Đề chính thức
Bài 1 (4 điểm):
a) So sánh hai số: (– 5)39 và (– 2)91
b) Chứng minh rằng: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N
Bài 2 (4 điểm):
a) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn: 2 x y 7 2012 x 32013 0
b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1 2 3 n aaa
Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh Nếu đưa 1
3 số học sinh của lớp 7A1, 1
4 số học sinh của lớp 7A2 và
1
5 số học sinh của lớp 7A3 đi thi học sinh giỏi cấp huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có A ˆ 3 B ˆ 6 C ˆ .
a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC) Chứng minh: AD < BD < CD.
Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia
đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.
a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K Chứng minh rằng: KC AC.
Ghi chú: Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: TOÁN 7 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
KỲ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013
1
4 điểm
a) So sánh hai số: (– 5) 39 và (– 2) 91 2,0đ
Ta có: (– 5)39 = – 539 = – (53)13 = – 12513 0,75đ (– 2)91 = – 291 = – (27)13 = – 12813 0,75đ
Ta thấy: 12513 < 12813 – 12513 > – 12813 (– 5)39 > (– 2)91 0,5đ
b) Chứng minh: Số A = 11 n+2 + 12 2n+1 chia hết cho 133, với mọi n N 2,0đ
Ta có: A = 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.(122)n = 121.11n + 12.144n
= (133 – 12).11n + 12.144n = 133.11n – 12.11n + 12.144n
= 133.11n + 12.(144n – 11n) 1,0đ
Ta thấy: 133.11n
133 (144n – 11n) (144 – 11) = 133 12.(144n – 11n) 133 0,5đ
Do đó suy ra: 133.11n + 12.(144n – 11n) chia hết cho 133
Vậy: số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N 0,5đ
2
4 điểm
a) Tìm tất cả các cặp số (x; y): 2,0đ
Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn (2x – y + 7)2012 0
và x 3 0 x 32013 0 0,5đ
Do đó, từ 2 x y 7 2012 x 32013 0
suy ra: (2x – y + 7)2012 = 0 và x 320130
0,5đ
2x – y + 7 = 0 (1) và x – 3 = 0 (2) 0,5đ
Từ (2) x = 3
Từ (1) y = 2x + 7 = 2.3 + 7 = 13
Vậy cặp số (x; y) cần tìm là (3; 13)
0,5đ
1 2 3
2
n n
Do đó, từ 1 2 3 n aaa n n 1 2.3.37.a
n(n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37
n hoặc n + 1 chia hết cho 37 (1)
0,5đ
Mặt khác: 1
2
n n
aaa
999 n(n + 1) 1998 n < 45 (2)
Từ (1) và (2) suy ra hoặc n = 37, hoặc n + 1 = 37
0,5đ
- Với n = 37 thì 37.38 703
2
- Với n + 1 = 37 thì 36.37 666
2
Vậy n = 36 và a = 6
0,5đ
3
4 điểm
Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. 4,0đ
Gọi tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là a, b, c (a,b,cN*)
Theo bài ra ta có : a 1a b 1b c 1c
Từ (*) 2 3 4
18 16 15
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có :
18 16 15
a b c
Suy ra : a = 54, b = 48, c = 45
Vậy tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là 54, 48 và 45 1,0đ
Trang 34 điểm
Từ Aˆ 3Bˆ 6Cˆ
0 0
20
0 0
0 0
0 0
ˆ 6.20 120
ˆ 2.20 40
ˆ 1.20 20
A B C
Vậy: Aˆ120 ;0 Bˆ40 ;0 Cˆ200
1,0đ
- TrongACD có
2 0 1
ˆ 50
A
1
ˆ
1,0đ
- Xét ABC có Bˆ 40 0Cˆ 200 AB AC AB2AC2 (*)
- Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB và ADC có:
AB2 = AD2 + BD2 và AC2 = AD2 + CD2
Do đó, từ (*) AD2 + BD2 < AD2 + CD2
BD2 < CD2 BD < CD (2)
Từ (1) và (2) AD < BD < CD
1,0đ
5
4 điểm
Theo giả thiết, ta có:
2AB = AB + AB = AB + AM + BM
AM + AN = AM + AC + CN
ABC cân ở A AB = AC
Do đó, từ AM + AN = 2AB
BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN 1,5đ
Qua M kẽ ME // AC (E BC)
MEI = NCI (g-c-g) IM = IN
+ K thuộc đường trung trực của MN KM = KN (1)
+ ABK = ACK (c-g-c) KB = KC (2); ABKˆ ACKˆ (*)
+ Kết quả câu c/m câu a) BM = CN (3)
0,5đ + Từ (1), (2) và (3) BMK = CNK (c-c-c) ABKˆ NCKˆ (**) 0,5đ + Từ (*) và (**)
0 0
180
2
* Ghi chú: Mọi cách giải khác mà đúng và phù hợp đều ghi điểm tối đa.