Đề thi và đáp án HSG toán 7 năm học 2010-2011

[r]

Đề thi chọn học sinh giỏi toán 7 Trờng THCS Nguyễn Lơng Bằng năm học 2010 - 2011

(Thời gian 120 phút khơng tính giao đề)

 

3

2011

2

2

3

2

5 12

   

 

       

            

Câu (3 điểm) a) Tính:

b) Chứng minh r»ng 3n + +3n + + 2n + + 2n + chia hÕt cho với n nguyên dơng. c) Tìm số x, y, z biÕt r»ng 2x = 3y ; 5y = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30

Câu (2,5 điểm)

a) Tìm số nguyên x, y cho x - 2xy + y = b) Cho

5

5

a b

a b

 



  (a5;b0;b6) Chøng minh r»ng

5

a b

Câu 3( 3,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Về phía ngồi tam giác ABC vẽ hai tam giác vuông cân ADB ACE (đều cân A) Gọi I, M, K lần lợt trung điểm cạnh DB, BC, EC Chứng minh:

a) DAC = BAE b) MA  DE

c) Tam gi¸c IMK tam giác vuông cân Câu (1 điểm)

Cho đa thức F(x) thoả mÃn (x2 + 5)F(x) = (x2 - 24)F(- x) + x víi mäi x TÝnh F(5)

-HÕt -Híng dÉn chÊm toán 7

1a

1đ 

3

3 2011

3

2 3

2

2 . 1 2 3

3 3 2

2

2 .

5

5 12

   

  

   

    

    

        

0,25

4

1 3.2

5



0,25

4

2 5.3.2

 0,25

3

2

 72

5



0,25 1b

1®

n + + 3n + + 2n + + 2n + = 3n.33 +3n.3 + 2n.23 + 2n.22 0,25 3n.27+3n.3 + 2n.8+ 2n.4 0,25

= 30.3n + 12.2n 0,25

= 6.(5.3n + 2.2n) 0,25

1c

1đ Tìm số x,y,z biÕt r»ng 2x = 3y ; 5y = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30

2x 3y

3 21 14

5y 7z => =>

7 14 10

x y x y

y z y z

    

  

0,25

3 3x 7y 5z 30

= = = =

21 14 10 63 98 50 63 98 50 15

x y z x y z  

    

 

05

42; 28; 20

x y z

    0,25

2a

1đ Từ : x - 2xy + y = Biến đổi thành (1 - 2y)(2x - 1) = -1 0,25 Vì x,y số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) số nguyên ú ta cú

các trờng hợp sau :

¿

1−2y=1

2x −1=−1 ⇒ ¿x=0

y=0 ¿{

¿

Hc

¿

1−2y=−1

2x −1=1 ⇒ ¿x=1

y=1 ¿{

¿

0,5

VËy cã cỈp sè x, y nh thoả mÃn điều kiện đầu 0,25 2b

1,5® aa55bb 66(a5;b6;b0)ba65ba 65 (*)

0,25

5 ( 5) ( 5) 10

(*) (1)

6 ( 6) ( 6) 12

a a a a

b b b b

    

    

    

5 ( 5) ( 5)

(*) (2)

6 ( 6) ( 6)

a a a a a a

b b b b b b

    

    

    

0,5

Từ (1) (2) => đpcm 0,25

3 3,5 ®

A

Q P H

F M

K E

I D

B

C

a) Chứng minh DAC = BAE 1 b) Trên tia đối tia MA lấy điểm F cho MA = MF

c/m  ABM =  FCM (c.g.c) để c/m AB = CF AB // CF từ c/m góc DAE = góc ACF AD = CF

c/m  DAE =  FCA (c.g.c) => góc DEA = góc FAC cộng góc để đợc đpcm

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 c) C/m IM // DC vµ IM = DC/2

tơng tự đợc MK //BE MK = BE/2 C/m CD = BE CD  BE

Từ suy đpcm

0,5 0,25 0,25

4

1® x = => 30F(5) = F(- 5) + => F(- 5) = 30F(5) - 5x = - =>30F(- 5) = F( 5) - => 30[30F(5) - 5] = F(5) - => 900F(5) - 150 = F(5) - => F(5) = 5/31

0,25 0,25 0,25 0,25