Đề thi và đáp án HSG toán 7

Phần I Trắc nghiệm khách quan ( 2 điểm) Mỗi câu sau có nêu bốn phơng án trả lời, trong đó chỉ có một phơng án đúng . Hãy chọn phơng án đúng ( viết vào bài làm chứ cái đứng trớc phơng án lạ chọn) 1. Công thức nào sau đây không cho ta quan hệ tỉ lệ nghịch giữa hai đại lợng x và y? A. 1 2y x = B. xy = 2 C . y = 3x D. 3 = 1 xy 2. Giá trị của đa thức x 3 y 2 x 2 y tại x = - 1 ; y = - 2 là: A. 6 B. 2 C. 6 D. 2 3. Cho hai đa thức P(x) = x 2 + 2x + 1 và Q(x) = - x 2 + x 2. Bậc của P(x) + Q(x) đối với biến x là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. Trong cấc khảng định sau đây, khảng định nào sai? A.Trong một tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh dài nhất B.Trong một tam giác, một cạnh thì nhỏ hơn hiệu của hai cạnh kia. C. Trong một tam giác cân, góc ở đáy nhỏ hơn 45 0 thì cạnh đáy là cạnh dài nhất D.Trong một tam giác, một cạnh nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó Phần II Tự luận (18 điểm) Câu 1 ( 4 điểm): Thực hiện phép tính: a, A = 1 1 1 1 4.9 9.14 14.19 44.49 + + + + b, B = 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1).( 1).( 1) ( 1) 2 3 4 100 Câu 2 ( 4điểm) 1. Tìm x, biết: 2 3x + = x- 2 2. Tìm các số x, y, z; biết rằng 1 2 3 2 3 4 x y z = = và 2x 3y + z = -5 Câu 3(2 điểm): Chứng minh rằng đa thức x 2 x + 3 không có nghiệm. Câu 4 (6điểm): 1. Cho tam giác ABC có đờng trung tuyến AM ( M BC) đồng thời là tia phân giác của góc BAC. chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ AH BC tại H; M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối của tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA. Qua I vẽ đờng thẳng song song với AC, cắt đờng thẳng AH tại E.Chứng minh rằng AE = BC. Câu 5 (2 điểm) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố . Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6 PHềNG GD-T NGHA HNG HNG DN CHM KTCL HC SINH GII NM HC 2010 2011 MễN: TON 7 Phn I - Trc nghim khỏch quan (2 im): Mi cõu la chn ỳng ỏp ỏn c 0,5 im Cõu 1 2 3 4 phòng GD - Đt nghĩa hng đề kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2010 2011 môn: toán 7 thời gian làm bài : 120 phút Đáp án đúng C B A B Phần II – Tự luận (18 điểm): Câu 1 (4 điểm): a, A = 49.44 1 19.14 1 14.9 1 9.4 1 ++++ = 5 1 .( ) 49.44 5 19.14 5 14.9 5 9.4 5 ++++ (0,5 ®) = ) 49 1 44 1 19 1 14 1 14 1 9 1 9 1 4 1 ( 5 1 −++−+−+− (0,5 ®) = ) 49 1 4 1 ( 5 1 − (0,25 ®) = ) 196 449 ( 5 1 − (0,25 ®) = 196 45 . 5 1 = 196 9 (0,5 ®) b, B = )1 2 1 ( 2 − . )1 3 1 ( 2 − . )1 4 1 ( 2 − )1 100 1 ( 2 − = 2 2 2 21 − . 2 2 3 31 − . 2 2 4 41 − 2 2 100 1001 − (0,5 ®) = - ( 2 2 3 . 2 3 8 . 2 4 15 2 100 99 ) (vì có 99 thừa số) (0,5 ®) = - 100 4.3.2 101 5.4.3 . 100 4.3.2 99 3.2.1 (0,5 ®) = - 200 101 (0,5 ®) Câu 2 (4 điểm): 1. 232 −=+ xx (1) Ta có: 3232 +=+ xx nếu 2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 3− (0,25 ®) 3232 −−=+ xx nếu 2x + 3 < 0 ⇔ x < 2 3− (0,25 ®) - Với x ≥ 2 3− thì (1) có dạng: 2x + 3 = x – 2 (0,25 ®) ⇔ x = - 5 (không thỏa mãn ĐK) (0,25 ®) - Với x < 2 3− thì (1) có dạng: - 2x - 3 = x – 2 (0,25 ®) ⇔ 3x = - 1 (0,25 ®) ⇔ x = 3 1− (không thỏa mãn ĐK) (0,25 ®) Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn 232 −=+ xx . (0,25 ®) Lưu ý: HS có thể mở dấu giá trị tuyệt đối mà không kèm theo điều kiện của x. Khi đó, mỗi giá trị x tìm được phải thay vào (1) và kết luận. Nhưng nếu không thay vào để thử thì chỉ cho 0,5 đ. 2. Ta có: 4 3 3 2 2 1 − = − = − z y x = 4 3 9 )2(3 4 )1(2 − = − = − z yx (1) (0,5 ®) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 4 3 3 2 2 1 − = − = − z y x = 4 3 9 )2(3 4 )1(2 − = − = − z yx = 494 3)2(3)1(2 +− −+−−− zyx = 1 36322 − −++−− zyx (0,25 ®) = - (2x – 3y + z + 1) = 4 (2) (0,5 ®) Từ (1), (2), tính được: x = 9 (0,25 ®) y = 14 (0,25 ®) z = 19 (0,25 ®) Câu 3 (2 điểm): Chứng minh rằng đa thức x 2 – x + 3 không có nghiệm. HS biến đổi x 2 – x + 3 = x 2 - x 2 1 - x 2 1 + 4 1 + 4 11 (0,5 ®) = (x 2 - x 2 1 )- ( x 2 1 - 4 1 ) + 4 11 (0,5 ®) = x(x - 2 1 ) - 2 1 (x - 2 1 ) + 4 11 (0,25 ®) = (x - 2 1 ) 2 + 4 11 ≥ 4 11 với mọi giá trị của x (vì )(0,5 ®) Từ đó khẳng định x 2 – x + 3 không có nghiệm. (0,25 ®) Câu 4 (6 điểm): 1. Hình vẽ bên: Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MA = MN Chứng minh hai tam giác AMB và NMC bằng nhau (0,5 đ) ⇒ ∠ BAM = ∠ MNC (0,25 đ) Mà ∠ BAM = ∠ CAM (gt) nên ∠ MNC = ∠ CAM (0,5 đ) ⇒ Tam giác CAN cân tại C (dh) (0,25 đ) ⇒ AC = CN (2 cạnh bên) (0,25 đ) Mà CN = AB (vì ) (0,25 đ) ⇒ AB = AC (0,25 đ) ⇒ Tam giác ABC cân tại A (đ/n). (0,25 đ) 2. §êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F V× AM = DM (gt), MB = MC (gt), ∠ AMB = ∠ DMC (®®) nªn ∆ ABM = ∆ DCM (0,5 ®) => ∠ BAM = ∠ CDM (0,25 ®) => FB // ID => ID ⊥ AC (0,25 ®) Vµ ∠ FAI = ∠ CIA (slt) (1) (0,25 ®) B C A M N D B A H C I F E M IE // AC (gt) => FIA = CAI (slt) (2) (0,25 đ) Từ (1) và (2) CAI = FIAAI chung) (0,25 đ) => IC = AC = AF (3) (0,25 đ) và E FA = 1v (4) (0,25 đ) Mặt khác EAF = BAH (đđ), (0,25 đ) BAH = ACB ( cùng phụ ABC) (0,25 đ) => EAF = ACB (5) (0,25 đ) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB ( ) (0,25 đ) =>AE = BC (0,25 đ) Cõu 5 (2 im): Vỡ p l s nguyờn t ln hn 3 => p l s l => p + 1 chia ht cho 2 (1)(0,5 đ) Mt khỏc, do p l s nguyờn t ln hn 3 => p = 3k + 1 hoc p = 3k +2 (k l s t nhiờn khỏc 0) (0,25 đ) Nu p = 3k + 1 => p + 2 = 3k + 3 chia ht cho 3 v p + 2 > 3 => p cú ớt nht 3 c l 1; 3; p + 2 => p + 2 l hp s (loi). (0,25 đ) Do ú p = 3k + 2 => p + 1 = 3k + 3 chia ht cho 3 (2) (0,5 đ) M CLN(2; 3) = 1 (3) (0,25 đ) T (1), (2), (3), ta cú p + 1 chia ht cho 2. 3 hay p + 1 chia ht cho 6. (0,25 đ) L u ý: - Các lời giải theo cách khác mà vẫn đúng và phù hợp với kiến thức trong chơng trình thì cho điểm tơng tự. - ở câu Hình học, nếu hình vẽ sai thì không cho điểm phần có liên quan. . ( 2 điểm) Mỗi câu sau có nêu bốn phơng án trả lời, trong đó chỉ có một phơng án đúng . Hãy chọn phơng án đúng ( viết vào bài làm chứ cái đứng trớc phơng án lạ chọn) 1. Công thức nào sau đây không. 2011 MễN: TON 7 Phn I - Trc nghim khỏch quan (2 im): Mi cõu la chn ỳng ỏp ỏn c 0,5 im Cõu 1 2 3 4 phòng GD - Đt nghĩa hng đề kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2010 2011 môn: toán 7 thời gian. mà không kèm theo điều kiện của x. Khi đó, mỗi giá trị x tìm được phải thay vào (1) và kết luận. Nhưng nếu không thay vào để thử thì chỉ cho 0,5 đ. 2. Ta có: 4 3 3 2 2 1 − = − = − z y x = 4 3 9 )2(3 4 )1(2 − = − = − z yx