Phòng giáo dục và đào tạo YênDũngĐềthi chọn học sinh giỏi huyện Môn Toán 9 Năm học 2009-2010 (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1. (2 điểm) a. Cho biểu thức 2 ì ữ ữ ữ x - 2 x + 2 1- x P = - x -1 x + 2 x +1 2 a. Rút gọn P. b. Tính giá trị của P khi x = ( ) ( ) 10 + 2 6- 2 5 3+ 5 Bài 2. (2 điểm) Giải phơng trình sau: a. ( ) 2 2 2 25x x + =11 x +5 b. 2 x-2 + 4-x = x -6x +11 Bài 3. (2 điểm) a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: M = (2x+y+1) 2 + (4x+my+5) 2 b. Cho pa rabol (P) : 2 x y = 4 . Điểm A trên P có hoành độ là 2. Tìm phơng trình tiếp tuyến tại A với (P). Bài 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C, có 1 BC = AB 2 . Trên cạnh BC lấy điểm E ( E khác B và C), từ B kẻ đờng thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lợt là I và K. a. Tính độ lớn của ã CIK . b. Chứng minh rằng KA. KC = KB. KI c. Gọi H là giao điểm của đờng tròn đờng kính AK với cạnh AB, chứng minh rằng I, K, E thẳng hàng. d. Khi E chạy trên BC thì I chạy trên đờng nào? Bài 5 . (2 điểm) Cho các số dơng a, b, c thoả mãn a + b +c = 3. Chứng minh rằng rằng : 2 2 2 a b c 3 + + b +1 c +1 a +1 2 Hớng dẫn chấm Bài ý Nội dung Điểm 1 a ĐK: x 0; x 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 + ữ ữ ì ữ ữ + ữ + x x x - 2 x + 2 P = - 2 x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ữ ữ ì ữ ữ ữ + + x - 2 x x + 2 x x x P = - 2 x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 + ì + x x x P = 2 x x ( ) 1P = x x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 b x= ( ) ( ) 10 + 2 6- 2 5 3+ 5 x= ( ) ( ) 2 2 15 + 1 5 3+ 5 x= ( ) ( ) ( ) 1 1 5 + 1 5 5 6+2 5 x= ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 16 =5 + 1 5 5 5 + 1 P = 4(1-4)= -12 0,25 0,25 2 a Điều kiện : 5x Biến đổi phơng trình về dạng 2 2 2 2 2 5 10 10 11 11 0 5 5 5 5 x x x x x x x x x + = + = ữ ữ + + + + Đăt t = 2 5 x x + thì phơng trình trở thành t 2 +10t-11=0 vì a+b+c= 0 nên phơng trình có nghiệm t 1 =1; t 2 =-11 Với t=1 1 21 2 x = Vời t= -11 x 2 +11x+55 = 0( Pt vô nghiệm) 0,25 0,25 0,25 0,25 b Điều kiện: 2 4x Đặt A = x-2 + 4- x ; B = 2 x -6x +11 A 2 = x-2+4-x+2 .x-2 4-x A 2 2+ x-2+4-x=4 A 2 (1) Lại có B = 2 x -6x +11 = (x-3) 2 +2 2 (2) Để A=B 2 3x = = 2 x-2 + 4- x x -6x +11= 2 0,25 0,25 025 0,25 3 a Ta có M 0 . Dấu "=" xảy ra 2 1 0 4 5 0 x y x my + + = + + = (m-2)y +3=0 * Nếu m 2 thì 2 2 5 2 4 x m m y m = = nên giá trị nhỏ nhất của M là 0. * Nếu m=2 khi đó M = (2x+y+1) 2 + (4x+2y+5) 2 Đặt t = 2x+y+1 thay vào M ta có M = t 2 + (2t+3) 2 M= 5t 2 + 12t +9 = 5 2 6 9 9 5 5 5 t + + ữ . M nhỏ nhất bằng 9 5 dạt đợc khi 2x +y +1 + 6 5 = 0 hay y = -2x - 11 5 . 0,25 0,25 0,25 0,25 b Vì A thuộc (P) và x A =2 =>y A =1 Vậy A(2;1) Phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm có dạng : y = ax +b Vì A thuộc (d) nên => 1= 2a+b hay b =1 -2a Khi đó phơng trình đờng thẳng (d) thở thành y= ax + 1 - 2a . Phơng trình xác định hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : 2 x 4 = ax + 1 - 2a x 2 - 4ax + 8a - 4 = 0 ( ) 2 ' 4 1a = Để (d) tiếp xúc với (P) thì ' 0 1a = = khi a=1 => b= -1 Vậy đờng thẳng cần tìm có phơng trình là : y = x-1. 0,25 0,25 0,25 0,25 4 a H I C B A E K a. Tứ giác ACIB nội tiếp đợc trong một đờng tròn ã CIK = ã KAB ( Cùng bù với ã CIB ) 0,25 Lại có ã KAB = 30 0 (Sin ã KAB =0,5) ã CIK =30 0 0,25 b b.Tam giác KIA đồng dạng với tam giác KCB KI KA = KC KB KA. KC = KB. KI 0,25 0,25 c c. ã KHA =90 0 ( Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) KH AB (1) Mà E là trực tâm của tam giác AKB KE AB (2) Từ (1) và (2) ba điểm I, K, E thẳng hàng. 0.25 0,25 0.25 d d. ã AIB = 90 0 (gt) mà A, B là hai điểm cố định Điểm I thuộc đờng tròn đờng kính AB. 0,25 5 ta có 2 2 2 = a ab a - b +1 b +1 mà theo BĐT Côsi ta có b 2 +1 2b 2 1 2 b b +1 2 2 ab -ab - b +1 2 2 2 ab ab a - a b +1 2 hay 2 2 a ab a - b +1 (1) Tơng tự ta có 2 2 b bc b- c +1 (2) 2 c 2 c ca - a +1 (3) Từ (1), (2) và (2) 2 2 2 a b c ab + bc + ca + + a + b + c- b +1 c +1 a +1 2 Mặt khác lại có a 2 +b 2 +c 2 ab +bc +ca ab+bc+ca 1 3 (a+b+c) 2 hay ab+bc+ca 3 2 2 2 3a b c + + a + b + c- b +1 c +1 a +1 2 2 2 2 3 2 a b c + + b +1 c +1 a +1 0,75 0,25 0,25 0,5 0,25 . Phòng giáo dục và đào tạo Yên Dũng Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Môn Toán 9 Năm học 20 09-2 010 (Thời gian làm bài 150 phút) Bài. cạnh BC lấy điểm E ( E khác B và C), từ B kẻ đờng thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lợt là I và K. a. Tính độ lớn của ã