De thi chon doi tuyen toan thi tinh nam hoc 2010-2011

Phòng GD& ĐT Thuận Thành Đề kiểm tra chọn đội tuyển HSG lớp 9 Môn: Toán Năm học: 2009-2010 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(6đ) Cho biểu thức A= ( 32 2 2 2 2 3 :) 2 2 4 4 2 2 xx xx x x x x x x + + a) Rút gọn A b) Tìm x để AA > c) Tính giá trị của A biết 57 = x Bài 2(4đ) a) Cho (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 và a,b,c 0. Chứng minh : abc 3 c 1 b 1 a 1 333 =++ b) Giải phơng trình : 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9 Bài 3(4đ) a) Chứng minh : a 5 -a chia hết cho 30 với a Z b) Chứng minh rằng : x 5 -x+2 không là số chính phơng với mọi x Z + Bài4 (4đ) Cho tam giác cân ABC đỉnh A, đờng cao AH. Gọi D, F lần lợt lợt là trung điểm của AB và AC, O là giao điểm các đờng trung trực của tam giác ABC. G và E tơng ứng là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD. Từ G kẻ đ- ờng thẳng song song với AC cắt BC tại I. a) Chứng minh: DO HI AD GH = b) Chứng minh: OE vuông góc với CD Bài 5:(2đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Gọi H;K;I lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên BC; AC; AB. Xác định trí của M để AI 2 + BH 2 + CK 2 nhỏ nhất. Hớng dẫn chấm toán 9 Bài 1: a) (2đ) Rút gọn A đkxđ: x 3;2;2;0 (0.25đ) A= )3( )2( . )2)(2( )2(4)2( 2222 + ++ xx xx xx xxx (0.5đ) = 3 . 2 44444 222 + ++++ x x x xxxxx (0.5đ) = 3 . 2 )2(4 + + x x x xx (0.5đ) = 3 4 2 x x (0.25đ) b)(2đ) Tìm x để AA > để AA > thì A<0 hay 3 4 2 x x <0 (0.5đ) Vì 4x 2 >0 với mọi x đkxđ nên x-3<0 (0.75đ) Hay x<3 (0.25đ) đối chiếu đkxđ ta thấy với x<0; x 2;2;0 thì AA > (0.5đ) c)(2đ) - Từ 57 = x tính đợc x = 12 và 2 (mỗi giá trị cho 0.5đ) - đối chiếu đkxđ loại x=2 (0.25đ) - Thay x=12 vào A tính đúng giá trị (0.75đ) Nếu HS nào thay cả x=2 vào thì trừ điểm Bài 2 (4đ) a)(2đ) Vì: (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 và a,b,c 0. =++ 0bcacab 0 abc bcacab = ++ (0.75đ) 0 c 1 b 1 a 1 =++ Đặt : z c 1 ;y b 1 ;x a 1 === (0.5đ) áp dụng bài toán cơ bản ta có Nếu x+y+z=0 thì: x 3 +y 3 +z 3 =3xyz đpcm (0.75đ) b)(2đ)phơng trình : 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9 9)x2x8)(1x16x64( 22 =+ `(0.5đ) 72)x16x64)(1x16x64( 22 =+ đặt :64x 2 -16x+0,5=k (0.5đ) Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72 5,8k25,72k 2 = (0.5đ) Với k=8,5 Ta có x= 2 1 x; 4 1 = Với k=-8,5 phơng trình vô nghiệm vậy phơng trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2 (0.5đ) Bài 3(4đ) a) (2đ) có: a 5 -a=a(a 4 -1)=a(a 2 -1)(a 2 +1)=a(a-1)(a+1)(a 2 -4+5) =a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1) (0.75đ) vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên 30 ; 5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết cho 30 đpcm ( mỗi ý cho0.5đ) (Kết luận cho 0.25đ) b) (2đ) Từ bài toán trên ta có: x 5 -x 5 (0.75 đ) x 5 - x+2 chia 5 d 2 (0.5đ) x 5 -x+2 có tận cùng là 2 hoặc 7 (không có số chính phơng nào có tận cùng là 2hoặc 7) (0.5đ) Vậy x 5 -x+2 không thế là số chính phơng với mọi x + Z (0.25đ) Bài 4 a) (2đ) Chỉ ra tan giác GHI đồng dạng tam giác ADO (1.5đ) Lập tỷ số DO HI AD GH = (0.5đ) F E D O G C IH B A b) (2®) Tõ trªn ta cã DO AD HI HG = mµ DE = 2/3 DF = 2/3 HC = 2 HI (0.5®) GH=1/2 AG Suy ra DO AD DE AG HI GH == mµ ODEDAG ∠=∠ suy ra ADG ∆ ®ång d¹ng DOE ∆ (1®) Suy ra DEOAGD ∠=∠ suy ra EO vu«ng gãc víi CD (0.5®) Bµi 5(2®) I K H M C B A Chøng minh ®îc AI 2 + BH 2 + CK 2 = BI 2 + CH 2 + AK 2 (0.5®) Ta cã (AI – IB) 2 ≥ 0 suy ra 2 (AI 2 + IB 2 ) ≥ (AI + IB) 2 hay 2(AI 2 + IB 2 ) ≥ AB 2 Chøng minh t¬ng tù ta cã 2( BH 2 + CH 2 ) ≥ BC 2 2 ( CK 2 + KA 2 ) ≥ AC 2 (0.75®) Tõ 3 ®iÒu trªn suy ra 2 (AL 2 +BH 2 + CK 2 ) + 2 (BI 2 + CH 2 + AK 2 ) ≥ AB 2 + BC 2 + CA 2 Suy ra AI 2 + BH 2 + CK 2 4 1 ( AB 2 + BC 2 + CA 2 ) không đổi (0.5đ) dấu bằng xảy ra khi I;K;H đều là trung điểm của các cạnh hay M là giao điểm các đờng trung trực của tam giác ABC suy ra cực trị cần tìm (0.25đ) Chú ý: - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa - Điểm của học sinh để nguyên đến 0.25 đ không làm tròn số. - Học sinh không vẽ hình không chấm bài - Bài đợc điểm 20 phải trình bày sạch đẹp đúng . HI HG = mµ DE = 2/3 DF = 2/3 HC = 2 HI (0.5®) GH=1/2 AG Suy ra DO AD DE AG HI GH == mµ ODEDAG ∠=∠ suy ra ADG ∆ ®ång d¹ng DOE ∆ (1®) Suy ra DEOAGD ∠=∠ suy