Đề chọn đội tuyển mở rộng 9 năm học 2006-2007

ðỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 - HUYỆN QUỐC OAI NĂM HỌC 2006 – 2007 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 : Chứng minh Znnnnn ∈∀−−+ 2422 234 ⋮ Bài 2 : Cho ña thức ( ) ( ) 23,33 2234 +−=+++−= xxxgbaxxxxxf a) Khi a = 7, b = -4, tìm dư khi chia f cho g b) Tìm a, b ñể f chia hết cho g Bài 3 : Giải các phương trình a) ( ) 1 3 1 1 1 1 2422 ++ = +− − − ++ + xxxxx x xx x b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1204321 xxxxx =++++ Bài 4: Một tổ theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 500 chiếc khăn, trên thực tế mỗi ngày dệt vượt kế hoạch 60 chiếc nên hoàn thành trước kế hoạch 3 ngày và dệt thêm ñược 1200 chiếc. Hỏi theo kế hoạch tổ phải dệt bao nhiêu chiếc khăn ? Bài 5 :Tìm số nguyên a sao cho 2006,1945 + + aa ñều là số chính phương Bài 6 : Chứng minh rằng ( ) *, 2 2 2 2 Qba a b b a a b b a ∈+≥+ Bài 7 : Cho tam giác ABC cân tại A, lấy D bất kỳ trên BC, qua D kẻ ⊥ BC cắt AC tại F, AB tại E, vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK, gọi I, J lần lượt là giao ñiểm AB và HD, AC và KD a) Chứng minh AIDJ là hình bình hành b) Tính AC AJ AB AI + c) Chứng minh A là trung ñiểm HK d) Tìm vị trí của D ñể tổng diện tích hai hình chữ nhật nhỏ nhất Bài 1 : Chứng minh Znnnnn + 2422 234 Giải - Ta có : ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) 211 1222 2222 22 23234 ++= +=++= +=+ nnnn nnnnnnn nnnnnnnn - Vì tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 và tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 mà UCLN(8;3) = 1 nên Znnnnn + 2422 234 2 điểm 1 điểm 1 điểm Bài 2 : Cho đa thức ( ) ( ) 23,33 2234 +=+++= xxxgbaxxxxxf c) Khi a = 7, b = -4, tìm d khi chia f cho g d) Tìm a, b để f chia hết cho g Giải a) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6101 6102323 4733 2 222 234 ++= ++++= ++= xxgx xxxxxx xxxxxf - Vì vậy thơng trong phép chia f cho g là 10x 6 b) Ta có : ( ) ( ) ( ) 2123 2 =+= xxxxxg nên nhận 1, 2 là nghiệm do đó f chia hết cho g khi và chỉ khi f nhận chúng là nghiệm - Nếu 1 là nghiệm của f thì 10331 = + = + + + baba - Nếu 2 là nghiệm của f thì 4202122416 = + = + + + baba - Từ đó suy ra : 2,3 = = ba 2 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài 3 : Giải các phơng trình c) ( ) 1 3 1 1 1 1 2422 ++ = + ++ + xxxxx x xx x d) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1204321 xxxxx =++++ Giải a) Điều kiện : x 0 do 01,01,01 2422 >++>+>++ xxxxxx - Mẫu thức chung : ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 1111 242 2 222 ++=+=+++ xxxxxxxxxxx - Phơng trình đã cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tmdkxx xxxx xxxxxxxx 2 3 32 011 31111 33 22 == =+ =++++ b) Phơng trình đã cho ( ) ( ) 222 1206567 xxxxx =++++ - Dễ thấy x 0, chia cả hai vế cho 2 x ta đợc : ( )( ) == = = =+= + =+ =++ = ++ = ++= ++ ++ 3,2 2 265 2 17 032 4 265 4 289 6 2 17 065 0617 11 6 6 1201 6 6120 6 5 6 7 2 2 2 2 xx x xx x xx xx x x x x x x x x 3 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,75 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm Bài 4: Một tổ theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 500 chiếc khăn, trên thực tế mỗi ngày dệt vợt kế hoạch 60 chiếc nên hoàn thành trớc kế hoạch 3 ngày và dệt thêm đợc 1200 chiếc. Hỏi theo kế hoạch tổ phải dệt bao nhiêu chiếc khăn ? Giải - Gọi số khăn phải dệt theo kế hoạch là x ( x N, x > 1200) - Số ngày dệt theo kế hoạch : 500 x (ngày) - Số ngày dệt thực tế : 560 1200 + x (ngày) - Theo bài ra ta có phơng trình : 3 560 1200 500 + + = xx - Giải phơng trình : )(24000 560 1 500 1 560 1200 3 560 1200 3 560 1 500 1 3 560 1200 500 tmdkx x xx = + = += + + = - Vậy theo kế hoạch tổ phải dệt 24000 chiếc khăn 3 điểm 0,5 điểm 1,75 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm Bài 5 :Tìm số nguyên a sao cho 2006,1945 + + aa đều là số chính phơng Giải - Giả sử ( )( ) ( ) 1045 30 31 1 61 6161 2006,1945 22 22 = = = >+ = =+ =+= =+=+ a l k Nlklkdo lk lk lklklk kala 3 điểm 1 điểm 1 điểm 1 điểm Bài 6 : Chứng minh rằng ( ) *, 2 2 2 2 Qba a b b a a b b a ++ Giải - Nếu a, b trái dấu bất đẳng thức hiển nhiên đúng - Nếu a, b cùng dấu : - Đặt 2 2 2 2 2 2 =++= x a b b a a b b a x - Ta phải chứng minh ( ) ( ) 021022 22 + xxxxxx - Thật vậy, ta thấy ( ) abbabababa 202 2222 2 ++= - Mà dpcm x x ab ab ab ba a b b a x >+ = + =+= 02 01 2 2 22 Cách khác : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 22 2 3.3 22 3344 2 2 2 2 ++=+ + ++ bababaabbbaa ba baabba a b b a a b b a 3 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 1 điểm Bài 7 : Cho tam giác ABC cân tại A, lấy D bất kỳ trên BC, qua D kẻ BC cắt AC tại F, AB tại E, vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK, gọi I, J lần lợt là giao điểm AB và 4 điểm HD, AC và KD e) Chứng minh AIDJ là hình bình hành f) Tính AC AJ AB AI + g) Chứng minh A là trung điểm HK h) Tìm vị trí của D để tổng diện tích hai hình chữ nhật nhỏ nhất Giải G M N J I K F H C B A D E a) Theo tính chất hình chữ nhật ta có các tam giác DJC và BID cân nên các góc JDC = góc IBD, góc JCD = góc IDB DJ // IA, AJ // ID . Do đó tứ giác AIDJ là hình bình hành b) Từ câu a, theo Talét ta có : BC BD AC AJ BC DC AB AI == , - Do đó : 1= + =+ BC DBCD AC AJ AB AI c) Theo câu a và theo tính chất hình chữ nhật ta có các tứ giác AHIJ và AKJI là hình bình hành nên AH //= JI //= AK hay A là trung điểm HK d) Dựng hình chữ nhật BNMC nh hình vẽ constSS ABCBNMC = = 2 - Khi D là trung điểm BC thì tổng diện tích S của hai hình chữ nhật bằng diện tích hình chữ nhật BNMC - Ta chứng minh khi D không là trung điểm BC thì S luông lớn hơn diện tích BNMC - Thật vậy, giả sử BD > CD QN > QM, xét hai hình chữ nhật QMKF và QEHN có QF = QE ( do tam giác EAF cân tại A), QN > QM BNMCCDFKBDEHQMKFQEHN SSSSS > + > - Vậy khi D là trung điểm BC thì tổng diện tích của hai hình chữ nhật sẽ nhỏ nhất và bằng hai lần diện tích tam giac ABC Cách khác : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) tgaaxtgaxaxtgSS ax tgaxS tgaxS CDFKBHED CDFK BHED 222 22 2 2 22 0 +=++=+ = += 0,25 điểm 1 điểm 1 điểm 1 điểm 0,75 điểm . ðỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 - HUYỆN QUỐC OAI NĂM HỌC 2006 – 2007 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 : Chứng minh Znnnnn. 0,25 điểm Bài 5 :Tìm số nguyên a sao cho 2006, 194 5 + + aa đều là số chính phơng Giải - Giả sử ( )( ) ( ) 1045 30 31 1 61 6161 2006, 194 5 22 22 = = = >+ = =+ =+= =+=+ a l k Nlklkdo lk lk lklklk kala . ) == = = =+= + =+ =++ = ++ = ++= ++ ++ 3,2 2 265 2 17 032 4 265 4 2 89 6 2 17 065 0617 11 6 6 1201 6 6120 6 5 6 7 2 2 2 2 xx x xx x xx xx x x x x x x x x 3 điểm