ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2008-2009 Trường Chuyên Lê Quý Đôn pps

Trường Chuyên Lê Quý Đôn ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2008-2009 Thời gian làm bài: 120 phút - Câu 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 8 2 18 x y z yz 2zx 3xy x y z         Câu 2. Cho dãy số (x n ) xác định bởi điều kiện   1 n 1 2 n 1 x 1;x 2008 2 x 1      với n=1; 2; …. Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn khi n   Câu 3. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là điểm giữa của cung BC không chứa điểm A và K là trung điểm của BC. Hai tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau ở M; AM cắt BC tại N. a) Chứng minh rằng AI là phân giác của góc  MAK b) Chứng minh rằng 2 NB AB NC AC        Câu 4. Tìm tất cả các hàm số f : R R liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện       2 f x 2f 2x f 4x x x , x R      Câu 5. Cho a, b, c là các số không âm phân biệt. Chứng minh rằng         2 2 2 2 2 2 1 1 1 11 5 5 a b c 2 a b b c c a                  Câu 6. Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ m và cột thứ n   1 m 8;1 n 8    . Gọi S(m;n) là số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của S(m;n). HẾT Trường Chuyên Lê Quý Đôn LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỀN HSG NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN LỚP 12 Câu 1. Hệ phương trình bài ra tương đương với:       2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y z xyz 8 y x y z 2xyz 2 z x y z 3xyz 18                    Cách 1. Đặt a = x 2 + y 2 + z 2 và b = xyz. Bình phương 2 vế của từng phương trình trong hệ rồi cộng lại ta thu được       2 2 2 3 3 2 a b 8 2b 2 3b 18 a 10b 114b 392          (1) Nhân 3 phương trình bài ra theo vế được:       3 a b b 8 2b 2 3b 18    (2) Từ (1) và (2) ta có:         2 b 10b 114b 392 b 8 2b 2 3b 18      3 2 4b 19b 94b 144 0 b 2        Thay vào (1) được a 3 = 216 tức là b=6. Thay vào hệ phương trình ban đầu giải được x = 1, y = -1, z = 2 Cách 2. Nhân 2 vế của các phương trình ban đầu lần lượt với 7; 1; -3 rồi cộng theo vế thu được (7x + y – 3z) (x 2 + y 2 + z 2 ) =0. Mà x, y, z không đồng thời bằng 0 nên 7x + y – 3z =0. Thay y = 3z + 7x vào 2 phương trình trong hệ ta thu được một hệ phương trình đẳng cấp bậc 3 ( giải ra nghiệm duy nhất x = 1, y = -1, z = 2) Câu 2. Xét hàm số           2 2 2 1 x 1 f x 2008 f ' x f ' x x R 2 2 x 1 x 1            Xét hàm số         2 2 x g x f x x g' x 1 0 x R x 1           Nên phương trình g(x) = 0 có không quá 1 nghiệm mà     g 2008 0 và g 0 0   nên phương trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = c. Áp dụng định lý Lagrange tồn tại số y n sao cho       n 1 n n n n 1 x c f x f c x c f ' y x c 2         Do đó 1 n n 1 x c x c 2     . Theo nguyên lý kẹp thì lim x n =c. Vậy dãy (x n ) có giới hạn hữu hạn. (Lưu ý: Có thể chứng minh từ n=2 trở lên thì x n <0 và do đó xét hàm f(x) như trên với x>0, hàm số đồng biến. Dễ chứng minh được dãy số giảm khi n>2 và x n >c với mọi n>2. Do đó dãy có giới hạn hữu hạn theo nguyên lý Weierstrass) Câu 3. a) Gọi E là giao điểm khác A của MA với đường tròn (O). Ta có 2 M\(O) ME.MA MB  Tam giác MBO vuông tại B có đường cao BK nên 2 MB MK.MO MK.MO ME.MA   Do đó tứ giác AOKE nội tiếp được    EAK EOK 2EAI   Nên AI là phân giác góc  MAK . b) Do AI là phân giác chung của các góc   BAC , NAK , nên ta có     BAN KAC , BAK NAC  . Áp dụng công thức tính diện tích   ANB ANC S NB ABsin BAN NC S ACsinCAN   (1)       AKB AKC S KB ABsin KAB ABsin NAC sin NAB AB 1 KC S AC ACsin KAC ACsin NAB sin NAC       (2) Thay (2) vào (1) ta thu được 2 2 NB AB NC AC  (đpcm) Câu 4. Xét hàm số g(x) = f(x) + ax 2 + bx với a, b là các hằng số. Khi đó g(x) là hàm số liên tục trên R và f(x) = g(x) – ax 2 –bx. Thay vào điều kiện bài ra thu được                 2 2 g 4x 2g 2x g x f 4x 2f 2x f x 7ax bx 1 7a x b 1 x x R             Ta chọn 1 a , b 1 7     . Thì       g 4x 2g 2x g x 0 x R     Xét hàm số h(x) = g(2x) –g(x) thì h(x) là hàm số liên tục trên R và h(2x) = h(x) với mọi số thực x. Tuy nhiên h(0) = g(0) – g(0) =0. Lấy a bất kì, lập dãy cấp số nhân n 1 n 1 x x a ,x 2    . Rõ ràng lim x n =0 và dãy h(x n ) là dãy hằng số. Do hàm h(x) liên tục trên R nên h(a) = lim h(x n ) = h (limx n ) = h(0) =0 do đó h(x) =0 với mọi x. Do đó g(2x) = g(x) với mọi x. Lập luận như trên do hàm g(x) liên tục ta suy ra g(x) = g(0) = c (const) Từ đó suy ra   2 x f x x c 7    với c là hằng số bất kì. Thử lại thấy đúng. (Lưu ý: + Bài toán vẫn đúng nếu chỉ cho giả thiết hàm f(x) liên tục tại x = 0. + Hs không giải thích tính liên tục của hàm mà dùng lim h(x n ) = h (limx n ) thì không cho điểm.) Câu 5. Không giảm tính tổng quát ta giả sử a<b<c. Đặt x = b – a , y = c – b. Khi đó               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a a x a x y x y a b b c c a x y                                               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x xy y 1 1 1 x x y 2x 2xy y x y x y x y x y                         Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a = 0. Xét biểu thức         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x 2 2 1 1 y y y y x xy y f x, y 2x 2xy y x y x y x x 1 y y                                                     Đặt 2 x x t ,t 0 y y          ta xét hàm số         2 2 2t 1 t 1 g t ,t 0; t      Tính đạo hàm, lập BBT tìm ra   11 5 5 g t 2   Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 1 5 t 2   , từ đó giải ra x/y và tính được tỉ lệ các bộ (a, b, c) A B C M I K N E . Trường Chuyên Lê Quý Đôn ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2008-2009 Thời gian làm bài: 120 phút - Câu 1. Giải hệ phương trình 2 2. trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của S(m;n). HẾT Trường Chuyên Lê Quý Đôn LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỀN HSG NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN LỚP 12 Câu 1. Hệ phương trình bài ra tương đương với: . lý kẹp thì lim x n =c. Vậy dãy (x n ) có giới hạn hữu hạn. (Lưu ý: Có thể chứng minh từ n=2 trở lên thì x n <0 và do đó xét hàm f(x) như trên với x>0, hàm số đồng biến. Dễ chứng minh được