Đề chọn đội tuyển mở rộng 9 năm học 2009-2010

ðỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN QUỐC OAI NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN : TOÁN 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 : Rút gọn biểu thức 2 2 1 1 4 1 2 3 1 1 1 3 2 x x x x x M x x x x   − + − − + = − +   + − − +   Câu 2 : Tìm thương của phép chia ña thức 2 2 7 x x − + cho ña thức 2 2 4 x x − + Câu 3 : Phân tích thành nhân tử : 3 7 6 x x − − Câu 4 : Giải các phương trình sau : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ) 3 1 9 3 18 2 4 14 5 7 9 ) 6 1 3 5 a x x x x x b x x x x + − = + − + − = + + + + + Câu 5 : Cho , 1 xy m x y = + = , tính giá trị biểu thức 4 4 A x y xy = + theo m Câu 6 : Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a, trung tuyến AM = m. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 a c b m + = + Câu 7 : Cho hình vuông ABCD, lấy E, F trên các cạnh DA, DC sao cho  0 45 EBF = . Gọi G, H là giao ñiểm của AC với BE, BF. Chứng minh : ) ~ ) ~ ) 2 BFE BGH a BOG BCF b BGF BOC c S S ∆ ∆ ∆ ∆ = Câu 8 : Ghép 2010 số tự nhiên liên tiếp từ 1 ñến 2010 thành các cặp số sao cho mỗi cặp có tổng chia hết cho 6. Hỏi ghép ñược nhiều nhất bao nhiêu cặp ? HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 : Rút gọn biểu thức 2 2 1 1 4 1 2 3 1 1 1 3 2 x x x x x M x x x x   − + − − + = − +   + − − +   Câu 2 : Tìm thương của phép chia ña thức 2 2 7 x x − + cho ña thức 2 2 4 x x − + Câu 3 : Phân tích thành nhân tử : 3 7 6 x x − − - Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 7 6 6 6 1 1 6 1 1 6 1 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x − − = − − + = − + − + = + − − = + − + Câu 4 : Giải các phương trình sau : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 14 5 7 9 ) 3 1 9 3 18 2 ) 6 1 3 5 x a x x x x b x x x x + + − = + − − = + + + + + - Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 14 5 7 9 6 1 3 5 5 7 9 10 4 1 3 5 6 5 7 9 10 1 1 1 1 0 1 3 5 6 4 4 4 4 0 1 3 5 6 1 1 1 1 4 0 1 3 5 6 1 1 1 1 2 0 1 3 5 6 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x do x x x x + − = + + + + + ⇔ + + + = + + + + ⇔ − + − + − + − = + + + + − − − − ⇔ + + + = + + + +   ⇔ − + + + =   + + + +     ⇔ = ± + + + >  + + + +    Câu 5 : Cho , 1 xy m x y = + = , tính giá trị biểu thức 4 4 A x y xy = + theo m - Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 3 .1. 1 3. 1 3 A xy x y xy x y x y xy m m m m   = + = + + − = − = −   Câu 6 : Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a, trung tuyến AM = m. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 a b c m + = + c b a 2 a 2 K H M A B C - Kẻ , BH AM CK AM ⊥ ⊥ . Dễ thấy BH = CK = d, HM = KM = e - Theo Pitago ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 a c d m e d e m me m me a b c m a b d m e d e m me m me  = + − = + + − = + −   ⇒ + = +   = + + = + + + = + +   Câu 7 : Cho hình vuông ABCD, lấy E, F trên các cạnh DA, DC sao cho  0 45 EBF = . Gọi G, H là giao ñiểm của AC với BE, BF. Chứng minh : ) ~ ) ~ ) 2 BFE BGH a BOG BCF b BGF BOC c S S ∆ ∆ ∆ ∆ = 2 1 H G O F C D A B E a) Xét , BOG BCF ∆ ∆ có   0 90 BOG BCF= = ,   1 2 B B = (cùng cộng với  0 45 HBO = ). Do ñó ( ) ~ . BOG BCF g g ∆ ∆ b) Gọi a là ñộ dài cạnh hình vuông, dễ thấy 2 , 2 a AB BC CD DA a OA OB OC OD= = = = = = = = (tính chất hình vuông). Theo câu a : 2 / 2 2 ~ 2 BG BO a BOG BCF BF BC A ∆ ∆ ⇒ = = = . Mặt khác   ( ) 0 45 ~ . . GBF OBC BGF BOC c g c = = ⇒ ∆ ∆ c) Tương tự câu a, ta có : ( ) 2 / 2 2 ~ . 2 2 BH BO a BOH BAE g g BE AB ∆ ∆ ⇒ = = = . Xét , BGH BFE ∆ ∆ có 2 AF 2 BG BH AE = = và  B chung nên ( ) 2 2 2 1 ~ . . 2 2 BGH BFE S BG BGH BFE c g c S BH     ∆ ∆ ⇒ = = =           . Do ñó 2 BFE BGH S S = Câu 8 : Ghép 2010 số tự nhiên liên tiếp từ 1 ñến 2010 thành các cặp số sao cho mỗi cặp có tổng chia hết cho 6. Hỏi ghép ñược nhiều nhất bao nhiêu cặp ? - Giả sử 6 a b + ⋮ và { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } , 0; 1; 2; 3; 4; 5 ; 0; 0 ; 1; 5 ; 2; 4 ; 3; 3 a b a b∈ ⇒ ∈ ɺ - Do ñó với hai bộ { } 0; 1; 2; 3; 4; 5 ta sẽ ghép ñược nhiều nhất 6 cặp số có tổng chia hết cho 6 - Mặt khác 2010 = 6.335 và 335 = 2.167 + 1 nên với 2010 số tự nhiên liên tiếp từ 1 ñến 2010 ta có 167 cặp bộ { } 0; 1; 2; 3; 4; 5 và 1 bộ lẻ { } 0; 1; 2; 3; 4; 5 - Vì vậy có thể ghép tối ña 167.6 + 2 = 1004 cặp hai số có tổng chia hết cho 6 . ðỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN QUỐC OAI NĂM HỌC 20 09 – 2010 MÔN : TOÁN 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 : Rút gọn biểu. 14 5 7 9 ) 3 1 9 3 18 2 ) 6 1 3 5 x a x x x x b x x x x + + − = + − − = + + + + + - Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 14 5 7 9 6 1 3 5 5 7 9 10 4 1. 6 x x − − Câu 4 : Giải các phương trình sau : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ) 3 1 9 3 18 2 4 14 5 7 9 ) 6 1 3 5 a x x x x x b x x x x + − = + − + − = + + + + + Câu 5 : Cho , 1 xy m