Đề chọn đội tuyển mở rộng 9 năm học 2007-2008

ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN 9 HUYỆN QUỐC OAI NĂM HỌC 2008 – 2009 Bài 1 (4 ñiểm) a) Phân tích thành nhân tử : ( ) 2 3 2 x x 7 36x − − b) Chứng minh ña thức sau luôn không âm với mọi giá trị của x : ( ) ( ) ( ) x x 1 x 2 x 3 1 + + + + Bài 2 (3 ñiểm) Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm, tổ B may 16500 sản phẩm và bắt ñầu thực hiện công việc cùng lúc. Nếu sau sáu ngày tổ A ñược hỗ trợ 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B, nếu tổ A ñược hỗ trợ thêm 10 công nhân ngay từ ñầu thì họ hoàn thành công việc trước tổ B một ngày. Xác ñịnh số công nhân ban ñầu của mỗi tổ biết mỗi công nhân may mỗi ngày ñược 20 sản phẩm. Bài 3 (4 ñiểm) Cho tứ giác lồi ABCD, AB = b, CD = a, AD = BC và   0 ADC DCB 90 + = . Gọi I, N, J, M lần lượt là trung ñiểm các cạnh AB, AC, CD, BD. a) Tứ giác INJM là hình gì ? b) Giả thiết   ADC BCD > và A, B chuyển ñộng sao cho AD = BC, hỏi ñiểm I di chuyển trên ñường nào ? Bài 4 (5 ñiểm) a) Tìm các số x, y, z thỏa mãn : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y y z 1, x y z 12 y z x y z x y   + +     + + = + + + + =       + +       b) Cho các số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 2 2 2x x 3y y + = + . Chứng minh rằng 2x 2y 1, x y, 3x 3y 1 + + − + + là các số chính phương. Bài 5 (4 ñiểm) Cho tam giác ABC có các phân giác AA’, BB’, CC’ ñồng qui tại O a) Chứng minh OA OB OC 1 AA' AB' AC' + + = ? b) Chứng tỏ rằng 2bc AA' b c < + (trong ñó AC = b, AB = c) ? HƯỚNG DẦN GIẢI Bài 1 (4 ñiểm) a) Phân tích thành nhân tử : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 x x 7 36x x x x 7 36 x x x 7 6 x x 7 6 x x 7x 6 x 7x 6 x x 6x x 6 x 6x x 6 x x x 1 x 1 6 x 1 x x 1 x 1 6 x 1 x x 1 x x 6 x 1 x x 6 x x 1 x 1 x 3 x 2 x 3 x 2   − − = − −         = − + − −     = − + − − = − − + − − − = − + − − − + − +         = − + − + − − = − + + − − + b) Chứng minh ña thức sau luôn không âm với mọi giá trị của x : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x x 1 x 2 x 3 1 x 3x x 3x 2 1 t t 2 1 t x 3x t 2t 1 t 1 0 + + + + = + + + + = + + = + = + + = + ≥ Bài 2 (3 ñiểm) Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm, tổ B may 16500 sản phẩm và bắt ñầu thực hiện công việc cùng lúc. Nếu sau sáu ngày tổ A ñược hỗ trợ 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B, nếu tổ A ñược hỗ trợ thêm 10 công nhân ngay từ ñầu thì họ hoàn thành công việc trước tổ B một ngày. Xác ñịnh số công nhân ban ñầu của mỗi tổ biết mỗi công nhân may mỗi ngày ñược 20 sản phẩm. Giải Gọi x là số công nhân tổ A ban ñầu ( ) x N * ∈ Mỗi ngày tổ A may ñược 20x (sản phẩm) Sau sáu ngày tổ A may ñược 120x (sản phẩm) Nếu ñược hỗ trợ thêm 10 công nhân thì số công nhân tổ A là x + 10 (công nhân) Số sản phẩm mà số công nhân này may ñược là 16800 – 120x (sản phẩm) Thòi gian may số sản phẩm này là ( ) 16800 120x 20 x 10 − + (ngày) Thời gian tổ B hoàn thành công việc là ( ) 16800 120x 6 20 x 10 − + + (ngày) Nếu ñược hỗ trợ 10 công nhân ngay từ ñầu thì tổ A sẽ hoàn thành công việc trong ( ) 16800 20 x 10 + (ngày) Do tổ B hoàn thành công việc sau tổ A một ngày nên thời gian ñể tổ B hoàn thành công việc là ( ) 16800 1 20 x 10 + + (ngày) Ta có phương trình : ( ) ( ) 16800 16800 120x 1 6 20 x 10 20 x 10 − + = + + + Giải phương trình : ( ) ( ) ( ) 16800 16800 120x 1 6 20 x 10 20 x 10 840 480 6x 5 x 10 x 10 5 x 10 840 840 6x x 10 x 10 x 10 840 5x 50 840 6x x 50 − + = + + + − ⇔ = + + + + − ⇔ = + + + + ⇔ = + + − ⇔ = Vậy tổ A ban ñầu có 50 công nhân Số ngày tổ A hoàn thành công việc nếu có 60 công nhân là 16800 : 1200 = 14 ngày Số ngày tổ B hoàn thành công việc là 15 ngày Số công nhân ban ñầu của tổ B là 16500 : 300 = 55 (công nhân) ðáp số : Tổ A – 50 công nhân; Tổ B – 55 công nhân Bài 3 (4 ñiểm) Cho tứ giác lồi ABCD, AB = b, CD = a, AD = BC và   0 ADC DCB 90 + = . Gọi I, N, J, M lần lượt là trung ñiểm các cạnh AB, AC, CD, BD. a) Tứ giác INJM là hình gì ? b) Giả thiết   ADC BCD > và A, B chuyển ñộng sao cho AD = BC, hỏi ñiểm I di chuyển trên ñường nào ? Giải a) Theo tính chất ñường trung bình tam giác ta có : 1 MI// AD// NJ 2 = = và 1 MI// BC// MJ 2 = = mà AD = BC nên tứ giác INJM là hình thoi. Kéo dài AD và BC cắt nhau tại E, do   0 ADC DCB 90 + = nên DE CE MI NI ⊥ ⇒ ⊥ nên tứ giác INJM là hình vuông. b) Gọi K là giao ñiểm của IJ và EC, kẻ phân giác Et của  BEC , dễ thấy Et // IJ (do    0 JIN JKC 45 TEC = = = ở vị trí ñồng vị) mà J cố ñịnh, Et cồ ñịnh nên I chạy trên ñoạn thẳng JK (ñi qua J và song song với phân giác của  BEC ) Bài 4 (5 ñiểm) a) Tìm các số x, y, z thỏa mãn : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y y z 1, x y z 12 y z x y z x y   + +     + + = + + + + =       + +       Giải ðặt 2 2 2 a x , b y , c z a b c 12 = = = ⇒ + + = Ta có : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c 1 b c a b c a b a a b b c b a b b c c a b b c b c a a b b c a b b c a ab b bc ac b ab b bc ac b c c ab b bc ac a 3ab 3b 3bc c ac a a c ab b a ab ac b ab b c c b c bc bc c a 3ab 3b 3bc c ac a a + + + + = + + + + + + + + + + ⇔ + + = = + + + + + + + + + + + + ⇔ + + + + + + = + + + + + ⇔ + + + + + + + + + + + + = + + + + + 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 a c ab b b c bc ab 2b 2bc b c c a a a c b a c c b b c b c a 2b b c b a c a a c 2ab 4b 4bc ⇔ + + + + = + +         ⇔ + + + + + + +                 = + + Mặt khác : ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 a c b a c c b b c b c a 2b b c b a c a a c c 2ab 2 ac 2b 4b Cauchy a 2ab 4bc 4b Cauchy         + + + + + + +                 ≥ + + + ≥ + + Vậy ñẳng thức xảy ra khi a b c 4 = = = b) Cho các số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 2 2 2x x 3y y + = + . Chứng minh rằng 2x 2y 1, x y, 3x 3y 1 + + − + + là các số chính phương. Giải Ta có : ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2x x 3y y 2x x 2y y y 2 x y x y x y y x y 2x 2y 1 y + = + ⇔ + − − = ⇔ − + + − = ⇔ − + + = Ta ñi chứng minh ( ) x y; 2x 2y 1 1 − + + = Thật vậy : ( ) ( )( ) ( ) 2 x y d d x y; 2x 2y 1 2x 2y 1 d 4x 4y d 2x 2y 1 d 4y 1 d 1 d do y x y 2x 2y 1 d y d −  = − + + ⇒  + +  −  ⇒  + +  ⇒ + ⇒ = − + + ⇒ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Do ñó ( ) x y; 2x 2y 1 1 − + + = hay 2x 2y 1, x y + + − là các số chính phương Tương tự : ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2x x 3y y 3x x 3y y x 3 x y x y x y x x y 3x 3y 1 x + = + ⇔ + − − = ⇔ − + + − = ⇔ − + + = Và ( ) x y; 3x 3y 1 1 − + + = hay 3x 3y 1, x y + + − là các số chính phương Tóm lại 2x 2y 1, x y, 3x 3y 1 + + − + + là các số chính phương Bài 5 (4 ñiểm) Cho tam giác ABC có các phân giác AA’, BB’, CC’ ñồng qui tại O a) Chứng minh OA OB OC 1 AA' AB' AC' + + = ? b) Chứng tỏ rằng 2bc AA' b c < + (trong ñó AC = b, AB = c) ? Giải a) Kẻ AH, OG vuông góc với BC, ta có : OBC ABC OA' OG S AA' OH S = = Tương tự ta cũng có các tỷ số OAC OAB ABC ABC OB' S OC' S ; BB' S CC' S = = . Do ñó : OBC OAC OAB ABC ABC ABC OA OB OC S S S S 1 AA' AB' AC' S S + + + + = = = b) Từ C kẻ ñường thẳng song song với AB cắt AA’ tại N Dễ thấy NC = AC = b và A'N NC b b A'N AA' AA' AB c c = = ⇒ = Áp dụng bất ñẳng thức tam giác vào ACN ∆ ta có : ( ) AC CN AN 2b AA' A'N b b c 2b AA' AA' 2b AA' c c 2bc 2bc b c AA' AA' b c + > ⇔ > + + ⇔ > + ⇔ > ⇔ > + ⇔ < + . ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN 9 HUYỆN QUỐC OAI NĂM HỌC 2008 – 20 09 Bài 1 (4 ñiểm) a) Phân tích thành nhân tử : ( ) 2 3 2 x x 7 36x −. ñược 20 sản phẩm. Bài 3 (4 ñiểm) Cho tứ giác lồi ABCD, AB = b, CD = a, AD = BC và   0 ADC DCB 90 + = . Gọi I, N, J, M lần lượt là trung ñiểm các cạnh AB, AC, CD, BD. a) Tứ giác INJM là hình. 55 công nhân Bài 3 (4 ñiểm) Cho tứ giác lồi ABCD, AB = b, CD = a, AD = BC và   0 ADC DCB 90 + = . Gọi I, N, J, M lần lượt là trung ñiểm các cạnh AB, AC, CD, BD. a) Tứ giác INJM là hình