Phép phủ định của mệnh đề p, ký hiệu là p, đọc là "không p", là mệnh đề sai khi p đúng và đúng khi p sai.
Phép phủ định trong logic mệnh đề phù hợp với phủ định trong ngôn ngữ thông thường, nghĩa là phù hợp với ý nghĩa của từ "không" ("không phải").
Ví dụ:
1. p: "9 là một số lẻ" (Đ).
p: "9 không phải là một số lẻ" (S). 2. p: "Số 20 chia hết cho 6" (S).
p: "Số 20 không chia hết cho 6" (Đ). 3. p: "2 + 3 = 6" (S).
p: "2 + 3 6= 6" (Đ).
Ta có thể biểu diễn định nghĩa của phép phủ định bằng bảng dưới đây (gọi là bảng giá trị chân lý của phép phủ định).
p p
1 0 0 1
Bảng 2.1: Phép phủ định 2.1.2.2 Phép hội
Hội của hai mệnh đề p và q, ký hiệu p∧q, đọc là "p và q" là mệnh đề đúng khi cả p lẫn q cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại.
Phép hội phù hợp với nghĩa của liên từ "và" của ngôn ngữ thông thường. Ví dụ:
1. p: "2 là số nguyên tố" (Đ) vàq : "2 là số chẵn" (Đ) thì p∧q: "2 là số nguyên tố và là chẵn" (Đ).
2. Mệnh đề: "Số π lớn hơn 3 và là một số hữu tỉ" (S) là hội của hai mệnh đề: "Số π lớn hơn 3" (S) và "Số π là một số hữu tỉ" (S).
Từ định nghĩa của phép hội ta có bảng giá trị chân lý sau: p q p∧q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Bảng 2.2: Phép hội 2.1.2.3 Phép tuyển
Tuyển của hai mệnh đề p vàq, ký hiệup∨q, đọc là "p hoặc q" là mệnh đề sai khi cả p lẫn q đều sai và đúng trong các trường hợp còn lại.
Phép tuyển ứng với liên từ "hoặc" trong ngôn ngữ thông thường theo nghĩa không loại trừ, có nghĩa là mệnh đề "p hoặc q" đúng khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai mệnh đề p và q đúng.
Ví dụ:
1. p : "3 nhỏ hơn 5" (Đ) và q : "3 bằng 5" thì p∨q: "3 nhỏ hơn hoặc bằng 5" (Đ).
2. p : "Paris là thủ đô của nước Anh" (S) và q : "6 lớn hơn 8" (S) thì p∨q: "Paris là thủ đô của nước Anh hoặc 6 lớn hơn 8" (S).
Từ định nghĩa của phép tuyển ta có bảng giá trị chân lý sau: p q p∨q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Bảng 2.3: Phép tuyển 2.1.2.4 Phép kéo theo
Cho hai mệnh đề pvà q. Mệnh đề kéo theo p⇒q, đọc là "p kéo theo q" hay "nếu p thì q" là mệnh đề sai khi p đúng vàq sai; và đúng trong các trường hợp còn lại. Trong phép kéo theo nói trên, p được gọi là giả thiết và q được gọi là kết luận. Vì phép kéo theo xuất hiện nhiều trong các suy luận toán học, nên có nhiều thuật ngữ được dùng để diễn đạt mệnh đề p⇒q. Chẳng hạn,
- "Nếu p thì q". - "p kéo theo q". - "Từ p suy ra q". - "p là điều kiện đủ để có q". - "q là điều kiện cần để có p". Ví dụ: 1. p: "2 là số hữu tỉ" (Đ). q : "√ 2 là số hữu tỉ" (S). p⇒ q: "Nếu 2 là số hữu tỉ thì √ 2 cũng là số hữu tỉ" (S). 2. p: "2 = 2" (Đ). q : "4 = 4" (Đ). p⇒ q: "Nếu 2 = 2 thì 4 = 4" (Đ).
Từ định nghĩa của phép kéo theo, ta có bảng giá trị chân lý sau: p q p⇒q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Bảng 2.4: Phép kéo theo 2.1.2.5 Phép tương đương
Cho hai mệnh đề p và q. Mệnh đề "p tương đương q" (hay "p nếu và chỉ nếu q"), ký hiệu p ⇔ q là mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề p, q hoặc cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại.
Trong toán học, mệnh đề "p tương đương q" có thể phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau:
- "Nếu p thì q và nếu q thì p". - "Nếu p thì q và ngược lại" - "p nếu và chỉ nếu q". - "p khi và chỉ khi q".
- "Điều kiện cần và đủ để có p là q". Ví dụ:
1. Tứ giác là hình bình hành nếu và chỉ nếu các đường chéo của nó giao nhau tại trung điểm của mỗi đường.
2. Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC cân là hai góc ở đáy của nó là bằng nhau. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
p q p⇔q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Bảng 2.5: Phép tương đương 2.1.3 Công thức của logic mệnh đề
Từ các mệnh đề sơ cấp, nhờ các phép toán logic đã được định nghĩa, ta có thể thành lập được những mệnh đề phức tạp hơn.
Trong logic mệnh đề, người ta đưa ra khái niệm công thức tương tự như khái niệm biểu thức trong toán học.
2.1.3.1 Định nghĩa
1. Các biến mệnh đề p, q, r, s, t, ... là các công thức.
2. Nếu P, Q là các công thức thì P, (P ∧Q), (P ∨Q), P ⇒Q, (P ⇔Q) là các công thức.
3. Chỉ chấp nhận các công thức được thành lập bằng việc áp dụng một số hữu hạn các quy tắc 1) và 2).
Ví dụ: [(p∧q)→r]∧[p→ (p∧r)] là một công thức. 2.1.3.2 Định nghĩa
Công thức A gọi là hằng đúng (tương ứng hằng sai) nếu mọi giá trị của các mệnh đề tham gia trong A luôn có giá trị chân lý của A = 1 (tương ứng A = 0).
2.1.3.3 Định nghĩa
Cho hai công thức A vàB. Ta nói rằng A tương đương logic vớiB, ký hiệu A≡ B nếu chúng cùng nhận giá trị chân lý như nhau với mọi hệ chân lý có thể có của các biến mệnh đề có mặt trong chúng.
Hệ thức A ≡ B còn được gọi là một đẳng thức hay một tương đương logic. Ví dụ: 1. p≡ p. 2. p∧q ≡q∧p. 2.1.3.4 Những đẳng thức cơ bản 1. Luật phủ định kép: p= p.
2. Luật đồng nhất: p∧1≡ p, p∨0 ≡p. 3. Luật mốt: p∧0≡ 0, p∨1 ≡1. 4. Luật lũy đẳng: p∧p≡ p, p∨p ≡p. 5. Luật giao hoán:
p∧q ≡ q∧p, p∨q ≡ q∨p. 6. Luật kết hợp:
(p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r), (p∨q)∨r≡ p∨(q∨r). 7. Luật phân phối:
p∧(q∨r)≡ (p∧q)∨(p∧r), p∨(p∧r)≡(p∨q)∧(p∨r). 8. Luật De Morgan:
p∧q ≡ p∨q, p∨q ≡ p∧q. 9. Một số tương đương tiện ích:
p∧p≡ 0. p∨p≡ 1. p⇔q ≡ q ⇔p. p⇔ q≡ (p⇒q)∧(q ⇒p). p⇔q ≡ p⇔q. (p⇒q)≡(p∨q). (p⇒q)≡ (q⇒ p). ?????????? ?????????????????? ???????????
2.2 Logic vị từ
Chúng ta nghiên cứu logic mệnh đề với mục đích tìm hiểu, phân tích và xây dựng tiêu chuẩn đúng đắn cho các suy luận toán học.
Logic mệnh đề đã giúp ta nắm được thực chất một lớp các quy tắc suy luận toán học quan trọng.
Tuy nhiên người ta nhận thấy rằng còn có nhiều dạng suy luận thường gặp khác không thể dùng logic mệnh đề để phân tích. Chẳng hạn,
- Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ, 7 là số nguyên tố lớn hơn 2 nên 7 là số lẻ.
- Mọi số n là ước của 6 thì đều là ước của 12, 3 là ước của 6 nên 3 là ước của 12. Sự tồn tại của các dạng suy luận như vậy rất phổ biến. Điều đó đặt ra phải mở rộng logic mệnh đề để có một hệ logic rộng hơn, người ta gọi đó là logic vị từ (hay còn gọi là hàm mệnh đề).
2.2.1 Hàm mệnh đề
2.2.1.1 Khái niệm hàm mệnh đề
Xét câu:"x là số nguyên tố" (x ∈N) ta thấy đây không phải là một mệnh đề vì ta không thể xác định được là đúng hay sai. Nhưng khi thay x bởi một số tự nhiên cụ thể thì ta được một mệnh đề. Chẳng hạn,
- Với x= 3 ta được mệnh đề đúng: "3 là số nguyên tố". - Với x= 6 ta được mệnh đề sai: "4 là số nguyên tố".
Ta gọi câu "x là số nguyên tố" là một hàm mệnh đề một biến hay vị từ một ngôi xác định trên tập N các số tự nhiên.
Hàm mệnh đề là một câu chứa biến và trở thành mệnh đề khi ta thay biến đó bằng một phần tử cụ thể thuộc một tập hợp xác định. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Người ta ký hiệu một hàm mệnh đề một biến xác định trênXbởi:P(x), Q(x), F(x), Q(x), ... trong đó:
- x gọi là biến tử.
- Mỗi phần tử cụ thể của X gọi là hằng tử.
Khi thay x bởi a ∈ X ta được mệnh đề P(a) hoàn toàn xác định. Ví dụ:
1. Mỗi phương trình là một hàm mệnh đề. Chẳng hạn phương trình2x2+x−3 = 0 là hàm mệnh đề một biến xác định trên R tập các số thực. Phương trình này là mệnh đề đúng với x= 1, x =−1/3; là mệnh đề sai với các giá trị khác của x.
5)(x− 9) < 0 là hàm mệnh đề một biến xác định trên R tập các số thực. Bất phương trình này là mệnh đề đúng với những giá trị x ∈ R sao cho
−5< x <9, là mệnh đề sai với các giá trị thực còn lại của x. 3. Bất phương trình 5x−7y = 15 là một hàm mệnh đề hai biến.
2.2.2 Miền đúng của hàm mệnh đề
Định nghĩa 2.2.1. Giả sử P(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X. Ta gọi tập
EP(x) = {x∈ X|P(x) đúng}
={x ∈X|P(x) = 1}
là miền đúng của hàm mệnh đề P(x). Ví dụ:
1. Hàm mệnh đề "x là số nguyên tố" xác định trên tập N các số tự nhiên có miền đúng là tập P các số nguyên tố. P = {2,3,5,7,11,13, ...}.
2. Hàm mệnh đề "n < 7" xác định trên tập N các số tự nhiên có miền đúng là tập {0,1,2,3,4,5,6}.
2.2.3 Hàm mệnh đề hằng đúng, hằng sai
Định nghĩa 2.2.2. Giả sử P(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X. 1. Hàm mệnh đề P(x) là hằng đúng trên tập hợp X nếu và chỉ nếu P(a) = 1
với mọi a∈ X, tức là
EP(x) = X.
2. Hàm mệnh đề P(x) là hằng sai trên X nếu và chỉ nếu P(a) = 0 với mọi a ∈X, tức là: EP(x) =∅.
3. Hàm mệnh đề P(x) là thực hiện được nếu và chỉ nếu tồn tại a ∈ X sao cho P(a) = 1, tức là: EP(x) 6=∅. Ví dụ: 1. Hàm mệnh đề x2 + 1> 0 xác định trên tập R các số thực là một hàm mệnh đề hằng đúng trên R. 2. Hàm mệnh đề x2 + 1 = 0 xác định trên tập R các số thực là một hàm mệnh đề hằng sai trên R.
3. Hàm mệnh đề n < 13 xác định trên tập N các số tự nhiên là thực hiện được nhưng không phải là hằng đúng.
2.2.4 Sự tương đương logic giữa hai hàm mệnh đề
Định nghĩa 2.2.3. Giả sử P(x) và Q(x) là hai hàm mệnh đề cùng xác định trên tập X. Ta nói rằng P(x) tương đương logic với Q(x) và ký hiệu P(x)≡ Q(x) nếu và chỉ nếu EP(x) =EQ(x).
Ví dụ:
1. Mỗi phương trình là một hàm mệnh đề. Hai phương trình tương đương chính là hai hàm mệnh đề tương đương logic với nhau, chẳng hạn hai phương trình:
2x2−3 =−x
2x2+x−3 = 0.
là hai phương trình tương đương. Đó cũng là hai mệnh đề tương đương logic với nhau.
2. Hai bất phương trình tương đương là hai mệnh đề tương đương logic với nhau, chẳng hạn hai bất phương trình:
5x2−6 < x (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
5x2−x−6<0
là hai bất phương trình tương đương và đó cũng là hai mệnh đề tương đương logic với nhau.
2.3 Các phép toán logic trên các hàm mệnh đềTa chỉ xét các hàm mệnh đề một biến. Ta chỉ xét các hàm mệnh đề một biến.
Cho hai hàm mệnh đề P(x) và Q(x) cùng xác định trên tập X.
2.3.1 Phép phủ định
Phủ định của P(x), ký hiệu P(x) là một hàm mệnh đề xác định trên X và nhận giá trị 1 trên tập các phần tử a ∈X sao cho P(a) = 0 và nhận giá trị 0 trên miền đúng của P(x), tức là:
2.3.2 Phép hội
Hội của hai mệnh đềP(x)và Q(x), ký hiệuP(x)∧Q(x) là một hàm mệnh đề xác định trên X sao cho nó nhận giá trị 1 trên tập các phần tử a ∈ X mà P(a) = 1
và Q(a) = 1 và nhận giá trị 0 trong các trường hợp còn lại, tức là: EP(x)∧Q(x) =EP(x)∩EQ(x).
2.3.3 Phép tuyển
Tuyển của hai mệnh đề P(x) và Q(x), ký hiệu P(x)∨Q(x) là một hàm mệnh đề xác định trên X sao cho nó nhận giá trị 0 trên tập hợp tất cả các phần tử a ∈X mà P(a) = 0 và Q(a) = 0 và nhận giá trị 1 trong các trường hợp còn lại, tức là:
EP(x)∨Q(x) =EP(x)∪EQ(x).
2.3.4 Phép kéo theo
Kéo theo của hai mệnh đề P(x) vàQ(x), ký hiệu P(x)⇒Q(x)là một hàm mệnh đề xác định trên X sao cho nó nhận giá trị 0 trên tập hợp tất cả các phần tử a ∈ X mà P(a) = 1 và Q(a) = 0 và nhận giá trị 1 trong các trường hợp còn lại, tức là:
EP(x)⇒Q(x) = CX(EP(x) ∪EQ(x)).
2.3.5 Phép tương đương
Tương đương của hai mệnh đề P(x) và Q(x), ký hiệu P(x)⇔ Q(x) là một hàm mệnh đề xác định trên X sao cho nó nhận giá trị 1 trên tập hợp các phần tử a∈ X mà P(a) = Q(a) và nhận giá trị 0 trong các trường hợp còn lại, tức là:
EP(x) ⇔Q(x) = [X −(EP(x) ∪EQ(x))]∪(EP(x) ∩EQ(x)).
2.4 Lượng từ
2.4.1 Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 2.4.1. Giả sử P(x) là một hàm mệnh đề xác định trên X. 1. ∀
x∈XP(x) (đọc là "với mọi x ∈ X ta có P(x)") là một mệnh đề đúng nếu EP(x) = X và sai trong trường hợp còn lại.
2. ∃
x∈XP(x) (đọc là "tồn tại" (ít nhất một) x ∈ X) sao cho P(x) là một mệnh đề đúng nếu EP(x) 6=∅ và sai trong các trường hợp còn lại.
Ký hiệu ∃ đọc là "tồn tại", gọi là lượng từ tồn tại. Ví dụ:
1. ∀
x∈R(x2+ 1 > 0) là mệnh đề đúng. 2. ∀
n∈N(n là số nguyên tố (n là số lẻ)) là mệnh đề sai, vì 2 là số nguyên tố nhưng 2 không phải là số lẻ. Tuy nhiên mệnh đề ∀
n∈N\{2}⇒ nlà số nguyên tố ⇒n là số lẻ là mệnh đề đúng. 3. ∃ x∈Q (x2 = 2) là mệnh đề sai. 4. ∃ x∈R(x2 = 2) là mệnh đề đúng. Chú ý: • Mệnh đề ∀ x∈XP(x) gọi là mệnh đề phổ dụng. Theo định nghĩa, ta có mệnh đề ∀ x∈XP(x) là đúng khi và chỉ khi hàm mệnh đề P(x)là hằng đúng trên X. • Mệnh đề ∃ x∈XP(x) gọi là mệnh đề tồn tại. Theo định nghĩa, ta có ∃ x∈XP(x) là đúng khi và chỉ khi hàm mệnh đề P(x)
thực hiện được trên X (EP(x) 6=∅). Trong các mệnh đề ∀ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
x∈XP(x) và ∃
x∈XP(x)biến tử x gọi là biến tử ràng buộc. 2.4.2 Lượng từ và các hàm nhiều biến
Cho hàm mệnh đề hai biến P(x, y) xác định trên X. Nếu ta áp dụng một trong hai lượng từ ∀và ∃lên hàm mệnh đề P(x, y)thì ta được một hàm mệnh đề, trong đó có một biến tử tự do, một biến tử bị ràng buộc.
Ví dụ: Cho hàm mệnh đền hai biến”x > y” xác định trên tập R các số thực. Ta có ∀
x∈R(x > y) là một hàm mệnh đề có biến tử tự do y và biến tử bị ràng buộc x. Khi áp dụng cả hai lượng từ lên hàm mệnh đề hai biến P(x, y), tác động lên hai biến x, y ta được một mệnh đề hoàn toàn xác định.
Ví dụ: 1. ∃
x∈R ∃
2. ∀ x∈R ∀ y∈R (x < y) là mệnh đề sai. 3. ∃ x∈R ∃ y∈R (x > y) là mệnh đề sai. 4. ∀ x∈R ∀ y∈R (x > y) là mệnh đề đúng. 2.4.3 Lượng từ và phép phủ định
Giữa các lượng từ và phép phủ định có mối liên hệ. Các đẳng thức sau phản ánh mối liên hệ đó 1. ∀ x∈XP(x)≡ ∃ x∈XP(x). 2. ∃ x∈XP(x)≡ ∀ x∈XP(x).
Ví dụ: Phủ định của mệnh đề : "Mọi số nguyên tố x đều là số lẻ" (sai) là mệnh đề: "Tồn tại một số nguyên tố x không là số lẻ" (đúng).
2.5 Quy tắc suy luận trong logic vị từ
Cũng như trong logic mệnh đề, trong logic vị từ khái niệm luật liên hệ chặt chẽ với khái niệm quy tắc suy luận.
Dưới đây là một số quy tắc suy luận trong logic vị từ thường dùng trong các chứng minh toán học. 1. ∀ x∈XP(x) P(y) 2. ∀ x∈X(P(x)⇒Q(x)), P(y) Q(y) Ý nghĩa:
• Với quy tắc suy luận (1): "NếuP(x)đúng với mọi phần tử x∈ X vày là một phần tử của X thì P(y) đúng".
Ví dụ: Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ, 7 là số nguyên tố lớn hơn 2. Vậy 7 là số lẻ.
• Với quy tắc suy luận (2): "Nếu với mọi x∈ X, P(X)⇒ Q(x)là đúng và P(y)
là đúng với y ∈X thì Q(y) là đúng."
Ví dụ: Với mọi n ∈ N, nếu n là ước của 6 thì n là ước của 12. 3 là ước của