Định nghĩa 2.4.1. Giả sử P(x) là một hàm mệnh đề xác định trên X. 1. ∀
x∈XP(x) (đọc là "với mọi x ∈ X ta có P(x)") là một mệnh đề đúng nếu EP(x) = X và sai trong trường hợp còn lại.
2. ∃
x∈XP(x) (đọc là "tồn tại" (ít nhất một) x ∈ X) sao cho P(x) là một mệnh đề đúng nếu EP(x) 6=∅ và sai trong các trường hợp còn lại.
Ký hiệu ∃ đọc là "tồn tại", gọi là lượng từ tồn tại. Ví dụ:
1. ∀
x∈R(x2+ 1 > 0) là mệnh đề đúng. 2. ∀
n∈N(n là số nguyên tố (n là số lẻ)) là mệnh đề sai, vì 2 là số nguyên tố nhưng 2 không phải là số lẻ. Tuy nhiên mệnh đề ∀
n∈N\{2}⇒ nlà số nguyên tố ⇒n là số lẻ là mệnh đề đúng. 3. ∃ x∈Q (x2 = 2) là mệnh đề sai. 4. ∃ x∈R(x2 = 2) là mệnh đề đúng. Chú ý: • Mệnh đề ∀ x∈XP(x) gọi là mệnh đề phổ dụng. Theo định nghĩa, ta có mệnh đề ∀ x∈XP(x) là đúng khi và chỉ khi hàm mệnh đề P(x)là hằng đúng trên X. • Mệnh đề ∃ x∈XP(x) gọi là mệnh đề tồn tại. Theo định nghĩa, ta có ∃ x∈XP(x) là đúng khi và chỉ khi hàm mệnh đề P(x)
thực hiện được trên X (EP(x) 6=∅). Trong các mệnh đề ∀
x∈XP(x) và ∃
x∈XP(x)biến tử x gọi là biến tử ràng buộc. 2.4.2 Lượng từ và các hàm nhiều biến
Cho hàm mệnh đề hai biến P(x, y) xác định trên X. Nếu ta áp dụng một trong hai lượng từ ∀và ∃lên hàm mệnh đề P(x, y)thì ta được một hàm mệnh đề, trong đó có một biến tử tự do, một biến tử bị ràng buộc.
Ví dụ: Cho hàm mệnh đền hai biến”x > y” xác định trên tập R các số thực. Ta có ∀
x∈R(x > y) là một hàm mệnh đề có biến tử tự do y và biến tử bị ràng buộc x. Khi áp dụng cả hai lượng từ lên hàm mệnh đề hai biến P(x, y), tác động lên hai biến x, y ta được một mệnh đề hoàn toàn xác định.
Ví dụ: 1. ∃
x∈R ∃
2. ∀ x∈R ∀ y∈R (x < y) là mệnh đề sai. 3. ∃ x∈R ∃ y∈R (x > y) là mệnh đề sai. 4. ∀ x∈R ∀ y∈R (x > y) là mệnh đề đúng. 2.4.3 Lượng từ và phép phủ định
Giữa các lượng từ và phép phủ định có mối liên hệ. Các đẳng thức sau phản ánh mối liên hệ đó 1. ∀ x∈XP(x)≡ ∃ x∈XP(x). 2. ∃ x∈XP(x)≡ ∀ x∈XP(x).
Ví dụ: Phủ định của mệnh đề : "Mọi số nguyên tố x đều là số lẻ" (sai) là mệnh đề: "Tồn tại một số nguyên tố x không là số lẻ" (đúng).
2.5 Quy tắc suy luận trong logic vị từ
Cũng như trong logic mệnh đề, trong logic vị từ khái niệm luật liên hệ chặt chẽ với khái niệm quy tắc suy luận.
Dưới đây là một số quy tắc suy luận trong logic vị từ thường dùng trong các chứng minh toán học. 1. ∀ x∈XP(x) P(y) 2. ∀ x∈X(P(x)⇒Q(x)), P(y) Q(y) Ý nghĩa:
• Với quy tắc suy luận (1): "NếuP(x)đúng với mọi phần tử x∈ X vày là một phần tử của X thì P(y) đúng".
Ví dụ: Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ, 7 là số nguyên tố lớn hơn 2. Vậy 7 là số lẻ.
• Với quy tắc suy luận (2): "Nếu với mọi x∈ X, P(X)⇒ Q(x)là đúng và P(y)
là đúng với y ∈X thì Q(y) là đúng."
Ví dụ: Với mọi n ∈ N, nếu n là ước của 6 thì n là ước của 12. 3 là ước của 6 nên 3 là ước của 12.
BÀI TẬP
1. Trong các câu sau, câu nào là một mệnh đề. Xác định giá trị chân lý của các mệnh đề đó.
a) Không được đi qua.
b) Tổng các góc trong một tam giác có bằng 180o không? c) x là một số lẻ.
d) 51 chia cho 6 được 8 dư 2.
e) Số 11 không phải là số nguyên tố. f) 15 < 13.
2. Hãy đưa mỗi mệnh đề sau đây về dạng hội hoặc tuyển của các mệnh đề đơn, sau đó hãy tìm giá trị chân lý của các mệnh đề đó.
a) 1< √
5< 7. b) |sin12π| > 1.
c) Sô 235 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2. d) 11 và 13 là hai số lẻ nguyên tố cùng nhau.
e) 5 và 7 là hai số nguyên tố. 3. Tìm phủ định của các mệnh đề sau.
a) Không có ô nhiễm ở Quảng Bình.
b) Mùa hè ở TP. Hồ Chí Minh nắng và nóng. c) 5 + 7 =13.
d) Số 7777777 là số chẵn.
4. Hãy phát biểu các định lý sau đây dưới dạng mệnh đề kéo theop ⇒q. a) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
b) Mọi số chia hết cho 6 thì đều chia hết cho 3. c) Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau. d) Mọi hình vuông đều có hai đường chéo bằng nhau. e) Mọi số tự nhiên tận cùng là chẵn đều chia hết cho 2.
5. Hãy phát biểu các định lý sau đây dưới dạng mệnh đề tương đương p⇔q. a) Nếu tam giác ABC là tam giác cân thì nó có hai góc ở đáy bằng nhau và ngược lại.
b) Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. c) Mọi số tự nhiên tận cùng bằng 0 hoặc 5 đều chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.
6. Lập bảng giá trị chân lý cho các mệnh đề sau: a) p⇒(q∨r)
b) p⇒(q ⇒r)
c) (p ⇒q)∨(p⇒r)
e) (p ⇔q)∨(q ⇔r) f) (p⇔q)⇔ (q ⇔r). 7. Cho p, q, r là các mệnh đề p : Bạn bị ốm q : Bạn thi rớt học phần Xác suất r : Bạn được lên lớp
Hãy diễn đạt các mệnh đề sau thành những câu thông thường. a) p⇒q
b) q ⇔r c) q ⇒r d) p∨q∨r
e) (p ⇒r)∨(q ⇒r).
8.Phát biểu mệnh đề đảo và phản đảo của các mệnh đề kéo theo sau: a) Nếu hôm nay có gió mùa Đông Bắc thì ngày mai trời rét. b) Tôi đều đi ra bãi biển bất cứ ngày nào trời nắng.
c) Nếu một số chia hết cho 6 thì chia hết cho 2 và 3.
d) Nếu một số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. 9. Chứng minh các công thức sau đây là những công thức hằng đúng, sau đó viết chúng dưới dạng các luật.
a) p∧(p∨q)⇒q b) (p⇔q)⇒(p⇒q)
c) p∧(p⇔q)⇒q d) (p⇒q∧q)⇒ p.
10. Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề xác định trên tập R các số thực. a) 2x+ 1 >5x.
b) x2+ 15x−16 = 0. c) 3x2+ 2x−1>0. d) 7x2−35x+ 42≤ 0.
11. Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề xác định trên tập N các số tự nhiên. a) n chia hết cho 2 và 3.
b) n chia hết cho 5. c) n chia cho 7 dư 5. d) n là hợp số.
12. Tìm miền đúng của hàm mệnh đề hai biến xác định trên tập R các số thực và biểu diễn chúng trên mặt phẳng tọa độ.
a) x= y. b) x ≤y. c) x+y = 0.
13. Cho P(x) là một hàm xác định trên X. Chứng minh a) P(x)∨P(x) là hằng đúng trên X.
b) P(x)∧P(x) là hằng sai trên X.
14. Cho hai hàm mệnh đề xác định trên tập R các số thực. a) P(x) : 2x+ 1> 0.
b) Q(x) : x2−7x+ 10 <0.
Hãy tìm miền đúng của các hàm mệnh đề P(x)∧Q(x) và P(x)∨Q(x). 15. Cho hàm mệnh đề hai biến xác định trên tập R các số thực.
a) P(x) : 4x+ 4y = 111. b) Q(x) : 4x+ 2y = 100.