GIẢI TÍCH 1 BIẾN - VIỆN TOÁN HỌC

GIẢI TÍCH 1 BIẾN - VIỆN TOÁN HỌC

Lời giới thiệu Do ảnh hởng cách mạng thông tin phát triển nội toán học, việc giảng dạy toán bậc đại học cao học có nhiều thay đổi Xu hớng chung nhanh chóng cho học viên nắm bắt đợc kiến thức toán học khả ứng dụng, đồng thời sử dụng đợc chơng trình tính toán thực hành cách thục Để đáp ứng nhu cầu đó, sở đề tài khoa học Phần mềm Cơ sở Toán học Trung tâm Khoa học tự nhiên Công nghệ Quốc gia Viện Toán học chủ trì thực từ năm 1996 đến năm 1998, biên soạn giáo trình Cơ sở Toán học Cao cấp giành cho sinh viên đại học cao học Bộ giáo trình đợc biên soạn dựa theo nội dung chơng trình toán cao cấp khoa trờng đại học Bộ Giáo dục Đào tạo qui định, kết hợp với giáo trình toán đợc giảng dạy trờng đại học Hà Nội số nớc tiên tiến giới Mục đích giáo trình là: Trình bày khái niệm, nguyên lý cần thiết toán học, với chứng minh chặt chẽ, lô gic; Rèn luyện kỹ tính toán thực hành máy tính khả áp dụng công cụ toán học việc giải toán thực tiễn; Giíi thiƯu mét sè h−íng ph¸t triĨn míi toán học đại đợc quan tâm giới Để đáp yêu cầu thứ nhất, chủ trơng tránh đa vào giáo trình phần lý thuyết nặng nề sử dụng đến sau Phần tập đợc biên soạn với mục đích giúp học viên củng cố kiến thức lý thuyết, không sa vào kỹ sảo tính toán phức tạp Mục đích thứ hai đợc thể giáo trình phần tập tính toán thực hành biên soạn công phu cho chơng Nó giúp cho học viên tiếp cận cách nhẹ nhàng thoải mái với công việc tính toán cụ thể, lĩnh vực bị xem đáng ngại học viên bậc ®¹i häc ë n−íc ta x−a i Ng−êi häc không thử sức với toán thách đố (để rèn luyện t duy), mà biết sử dụng máy tính để giải cách dễ dàng toán hóc búa mà họ tởng chừng giải Hi vọng trờng họ ngại ngùng việc đa công cụ toán học vào công việc Thực tế cho thấy, đâu toán học phát huy đợc tác dụng thờng thu đợc kết bất ngờ Công cụ tính toán thực hành giới thiệu giáo trình chơng trình Maple V Đây chơng trình tổng hợp, đồ sộ, nhng đà cài đặt máy tính cá nhân với cấu hình bình thờng (bộ nhớ tối thiểu 8MB) Với khả biểu diễn tính toán cực mạnh (kể ký hiệu hình thức), đợc xem chơng trình phổ biến sử dụng công tác đào tạo trờng đại học giới Nếu sử dụng đợc Maple cách thục học viên dễ dàng tiếp cận với chơng trình tính toán phổ biến khác nh: Matematica, Matlab, Mathcad, B»ng c¸c h−íng dÉn thĨ cho tõng chơng, giáo trình giúp ngời đọc tự bớc tiến hành công việc tính toán cách nhẹ nhàng nh bấm máy tính bỏ túi, không cần chuẩn bị đặc biệt kiến thức lập trình Để đạt đợc mục đích thứ ba, đa vào giáo trình số chơng mục không kinh điển (không bắt buộc học viên bậc đại học), giúp ngời đọc làm quen với ý tởng toán học đại, khích lệ tìm tòi phát triển mà lâu đợc xem nh bất di bất dịch toán học cổ điển Phần chắn đem lại hứng thú gợi ý mặt định hớng cho ngời có nguyện vọng đợc đào tạo cao toán học, học viên cao học Giáo trình đợc thiết lập dới dạng siêu văn bản, thuận tiện cho việc đọc tra cứu máy tính Phần tính toán thực hành đợc thực dễ dàng thuận tiện khuôn khổ giáo trình (học đến đâu thực hành đến đó), nhằm xoá nhoà ranh giới học toán làm toán Bạn đọc có nhu cầu giáo trình dới dạng siêu văn thực hành tính toán Maple V xin liên hệ với tác giả theo địa Viện Toán học (Đờng Hoàng Quốc Việt, Quận Cầu Giấy, Hà Nội) ii phần đọc Giải Trongcác tácnày giới thiệu với bạnbiên),cuốn Phạmtích I giả : Ts §inh ThÕ Lơc (chđ Ts Huy §iĨn, Ts Ngun Xu©n Tấn, Pts Tạ Duy Phợng Nội dung sách bao gồm kiến thức đòi hỏi học viên phải nắm đợc môn Giải tích năm thứ bậc đại học Trong Chơng không trình bầy chi tiết xây dựng trờng số thực (để không làm lại phần việc ngời biên soạn giáo trình Số học), mà sử dụng lát cắt để chứng minh tồn biên tập bị chặn, tính chất quan trọng đợc dùng nhiều lần chơng trình Giải tích, đồng thời làm quen sinh viên với môn học Tô pô đại cơng thông qua khái niệm đờng thẳng thực Ngoài việc sử dụng giáo trình này, giúp học viên hiểu rõ chất khái niệm trừu tợng lý thuyết Tô pô tổng quát Bên cạnh khái niệm kinh điển nh: đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi hàm, giới thiệu (trong Chơng 7) số khái niệm Giải tích không trơn, lĩnh vực đợc quan tâm ứng dụng Chơng phơng trình vi phân (Chơng 11) đợc đa vào nhằm củng cố kiến thức đạo hàm, tích phân phục vụ nhu cầu tìm hiểu toán đặt học, vật lý, hóa học, sinh học, Chúng không sâu vào lĩnh vực (để tránh gây chồng tréo với ngời biên soạn giáo trình phơng trình vi phân) mà đặt mục đích giới thiệu khái niệm làm sở cho việc thực hành tính toán Để ngời đọc dễ tiếp thu, cố gắng trình bày giáo trình cách gọn gàng, đơn giản nhng đầy đủ Ngoại trừ phần giành lại cho môn khác, vấn đề nêu khuôn khổ giáo trình giải tích đợc chứng minh chặt chẽ khúc triết Phần tập tính toán thực hành đợc biên soạn công phu, có nội dung bao quát tất chủ đề Chúng hy vọng giáo trình cẩm nang tốt cho sinh viên trờng kỹ thuật tổng hợp iii Ch−¬ng 1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp Sè thùc 1.1.1 TËp hợp Tập hợp, Toán học, đợc xem khái niệm khởi đầu không định nghĩa Nó đồng nghĩa với từ họ, hệ, lớp, đợc dùng để mô tả quần thể đối tợng phân biệt đợc mà t nh thĨ trän vĐn ThÝ dơ Khi ta nãi: Hä c¸c đờng tròn đồng tâm, hệ phơng trình tuyến tính, lớp hàm đa thức, có nghĩa tập hợp đối tợng nói Tập hợp xe giới thành phố Hà Nội, tập hợp sinh viên Việt Nam, tập hợp đờng phố xuất phát từ Hồ Gơm, v.v ví dụ điển hình khái niệm tập hợp không Toán học, mà ngôn ngữ thông thờng Những thành viên tập hợp gọi phần tử (hay ®iĨm) Cho A lµ mét tËp, ta viÕt x ∈ A (đọc: x thuộc A) có nghĩa x phần tử A, viết x A (đọc: x không thuộc A) có nghĩa x phần tử A 1.1.2 Diễn tả tập hợp Để diễn tả tập hợp ngời ta dùng dấu móc { } Trong dÊu mãc ta cã thĨ liƯt kª tÊt phần tử tập hợp {x1 , , x n } , nêu thuộc tính chung (P) phần tử tập hợp cách viết {x : x tháa m·n (P)} ThÝ dô A = {1, 2, 3, 4, 5} hc A = {1, 2, ,5} A = {x : x số tự nhiên cho x 5} 1.1.3 Tập rỗng Ta quy ớc Tập rỗng (hay tập trống) tập hợp phần tử Ngời ta thờng ký hiệu tập rỗng Thí dụ Tập hợp cầu thủ bóng đá Việt Nam đà đoạt giải Olympic năm 1996 tập rỗng; tập hợp số lẻ chia hết cho tập rỗng Chơng Tập hợp Số thực 1.1.4 Tập trùng Ta nãi tËp A vµ tËp B trïng (hay nhau) viết A = B (đọc: A B) chúng có phần tử, tức lµ x ∈ A vµ chØ x ∈ B Khi chóng kh«ng trïng ta viÕt A ≠ B ThÝ dơ A lµ tËp gåm sè số 4, B tập số chẵn d−¬ng bÐ h¬n Ta cã A = B 1.1.5 Tập hợp Ta nói A tập tập B phần tử A phần tư cđa B Khi ®ã ta viÕt A ⊆ B (đọc: A nằm B), B A (đọc: B chøa A) NÕu A ⊆ B vµ A ≠ B ta nãi A lµ tËp thËt sù cđa B Quy ớc: Tập rỗng tập tập Chú ý Mỗi phần tử x A tạo thành tập {x} A Cần phân biệt phần tử x tập hợp A (viết x A ) víi tËp {x} cđa tËp hỵp A (viết {x} A) 1.2 Các phép toán 1.2.1 Hợp hai tập Hợp hai tập A B đợc ký hiệu A B (đọc: A hợp B) tập gồm tất phần tử thuộc A thuộc B Nghĩa là, A B = {x : x ∈ A hc x ∈ B } ThÝ dô A = {1,2,10,{a, b}}, B = {a,2,{a,b}}, A ∪ B = {1,2,10,{a,b},a} Chó ý {a,b} lµ mét tËp nhng lại phần tử A cña B 1.2.2 Giao cña hai tËp Giao cña hai tập A B đợc ký hiệu A B (đọc: A giao B) tập gồm tất phần tử vừa thuộc A lại vừa thuộc B Vậy A ∩ B= { x : x ∈ A vµ x ∈ B } ThÝ dơ Víi A = {a,b,c}, B = {{a},b,d}, th× A ∩ B = {b} 1.2.3 Phần bù Phần bù A B đợc ký hiệu B \ A tập gồm tất phần tử thuộc B nhng không thuộc A Đôi ng−êi ta gäi B \ A lµ hiƯu cđa B vµ A VËy B \ A = {x : x ∈ B vµ x ∉ A } ThÝ dơ A = {1,5,10,b}, B = {5,b} Khi ®ã B \ A = Minh họa hình học: Chơng Tập hợp Số thực 1.2.4 Tính chất phép tính Cho A, B C ba tập hợp Khi ta có: Tính kết hỵp (1) A ∪ (B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C , (1’) A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C TÝnh giao ho¸n (2) A ∪ B=B ∪ A , (2’) A ∩ B= B ∩ A TÝnh ph©n phèi (3) A ∪ ( B ∩ C )=( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) , (3’) A ∩ ( B ∪ C )=( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) , (4) A \ ( B ∪ C )=( A \ B) ∩ ( A \ C ), (4’) A \ ( B ∩ C )=( A \ B ) ∪ ( A \ C ) Chøng minh §Ĩ chứng minh đẳng thức X = Y hai tập X vµ Y ta chØ r»ng víi x ∈ X suy x Y tức X Y , ngợc lại với y Y suy y X, tức Y X Tr−íc hÕt ta chøng minh (3) Cho x phần tử A ( B C ) Khi x A x ∈ ( B ∩ C ) NÕu x A x A B x ∈ A ∪ C , cã nghÜa lµ x ∈ ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) NÕu x ∈ ( B ∩ C ) th× x B x C Lúc x ∈ A ∪ B vµ x ∈ A ∪ C , cã nghÜa lµ x ∈ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) Ng−ỵc lại, cho y phần tử ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) Khi y A B y ∈ A ∪ C VËy hc y ∈ A tøc lµ y ∈ A ∪ ( B ∩ C ) , hc y ∉ A Nh−ng y ∉ A y B y C , cã nghÜa lµ y ∈ B ∩ C Rót cuéc y ∈ A ∪ ( B ∩ C ) (3) Những đẳng thức khác chứng minh tơng tự Chú ý 1) Dùng cách diễn tả, chứng minh viết ngắn gọn nh sau: A ∪ ( B ∩ C ) = {x : x ∈ A hc x ∈ ( B ∩ C )} = {x : x ∈ A hc {x ∈ B vµ x ∈ C}} = {x : {x ∈ A x B} {x A x ∈ C}} = { A ∪ B}∩{ A ∪ C } Chơng Tập hợp Số thực 2) Do tÝnh kÕt hỵp, víi ba tËp A, B, C cho tr−íc ta cã thĨ lÊy hỵp hai tËp bÊt kỳ sau hợp với tập lại kết cho ta tập, hợp A ∪ B ∪ C T−¬ng tù nh− thÕ phép giao, nh phép hợp phép giao nhiều tập 1.2.4 Tích tập hợp Cho tập hợp A B Tập hợp tất cặp điểm (a,b), với a A b B, lập thành tập hợp gäi lµ tÝch cđa hai tËp A vµ B, vµ đợc ký hiệu A ì B Nh vậy, phần tử z tập tích A ì B biĨu diƠn d−íi d¹ng z=(a,b), víi a ∈ A, b B, ngời ta gọi a,b thành phần (hay toạ độ) z 1.3 Phép ứng lùc l−ỵng 1.3.1 PhÐp øng Cho A B hai tập khác rỗng Phép ứng từ A tới B quy tắc cho phép với phần tử x A đợc phần tử y B ứng với Th«ng th−êng ng−êi ta ký hiƯu f : A → B cã nghÜa f lµ phÐp øng tõ A tíi B, vµ viÕt y = f ( x) cã nghÜa y đợc y ) Tập A đợc gọi miền xác định ứng với x, x ứng với y (đôi lúc ta viết x phép ứng tập B đợc gọi miền giá trị phép ứng Khi B tập hợp số ngời ta gọi f hàm số Chú ý Có thể nhiều phần tử B đợc ứng với phần tử A phần tử B đợc ứng với nhiều phần tử A Đơn ứng phép ứng cho phép với phần tử A đợc phần tử B ứng với (Điều không loại trừ khả nhiều phần tử A đợc ứng với phần tử B) Phép ứng từ A tới B đợc gọi phép ứng 1-1 (hay phép tiêm) phần tử khác A đợc ứng với phần tử khác B Toµn øng lµ mét phÐp øng mµ phần tử tập B đợc ứng với (Ýt nhÊt) mét phÇn tư A Song øng tõ A tới B phép ứng mà x ∈ A chØ øng víi mét y ∈ B vµ y B đợc ứng với x ∈ A Nh− vËy, song øng võa lµ toµn øng, võa lµ phÐp øng 1-1 ThÝ dơ a) A = {a,b,c,d}, B = {1,2,3} PhÐp øng a 1, b 1, c vĂ d song ứng tõ A tíi B b) A = {1,2, ,n, }, B = {2,4, ,2n, } PhÐp øng n 2n lµ mét song øng tõ A tíi B Chó ý NÕu cã mét song øng f tõ A tíi B th× ta cã thĨ x©y dùng mét song øng tõ B tới A cách với y B ta cho øng víi x ∈ A mµ f ( x) = y Song ứng có tên gọi song ứng ngợc f thờng đợc ký hiệu f Chơng Tập hợp Số thực 1.3.2 Tơng đơng Hai tập A B gọi tơng đơng xây dựng đợc song ứng A B Khi ta viÕt A ∼ B ThÝ dơ a) Víi A tập hợp số thực dơng, B tập hợp số thực âm, A B phÐp øng a − a lµ mét song øng b) A={1,2, },B={±1,± 2, } Khi ®ã A ∼ B phép ứng 2n n 2n n lµ song øng Chó ý NÕu A vµ B hữu hạn A B sè phÇn tư cđa A b»ng sè phÇn tư cđa B 1.3.3 Lực lợng Những tập tơng đơng đợc gọi lực luợng Khi A có hữu hạn phần tử ngời ta thờng xem lực lợng A số phần tử ký hiệu card(A) (đọc cac-đi-nal A) Thí dụ a) Tập A rỗng card(A) = b) A = {1,a,{10,b}} th× card ( A) = 3; Khi A có vô hạn phần tử ta nói lực lợng A vô hạn (hay siêu hạn), viết card( A) = 1.3.4 Tập đếm đợc Ký hiệu tập số tự nhiên Đây tập vô hạn Tập A gọi đếm đợc hữu hạn tơng đơng với Định lý Tập tập đếm đợc tập đếm đợc tËp ®Õm Chøng minh Dïng phÐp song øng ta chØ cần chứng tỏ tập đợc Cho A Ký hiệu a1 phần tử đầu A, a phần tử đầu A \ { a1 }, v.v a n phần tử đầu cña A \ { a1 , , a n −1 } Nếu nh đến số n A \ { a1 , , a n −1 } kh«ng cã phần tử A hữu hạn (nó chứa (n-1) phần tử) và, theo định nghĩa, đếm ®−ỵc NÕu víi mäi n tËp A \ {a1 , ,a n −1 } ≠ ∅ th× ta thiÕt lËp ®−ỵc phÐp øng f (n) = a n víi mäi n = 1,2, Nã lµ mét song øng tõ tới A Thật vậy, với n , f(n) phần tử đầu A \ { a1 , , a n } nên số Ngợc lại với a A , ta biết đợc số phần tử đứng trớc nó, thí dơ lµ k, vËy f (k + 1) = a Song øng f chØ r»ng A ∼ A không hữu hạn Chú ý Không phải tập vô hạn đếm đợc Thí dụ a) Họ cặp số tự nhiên {(m,n)}: m,n } tập đếm đợc Thật vậy, xếp phần tử họ theo hàng cột nh sau : Chơng Tập hợp Số thực (1,1) (1,2) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) X©y dùng phÐp øng tíi (1,3) theo quy tắc theo đờng xiên : (1,1) (2,1) ; (1,2) 3; (1,3) ; (2,2) ; (3,1) Dễ kiểm tra song ứng Do họ cặp số tự nhiên đếm đợc b) Họ gồm tất tập tập không đếm đợc Giả sử trái lại đếm đợc có song ứng f tõ ℵ vµo Ký hiƯu xn ∈ ℵ lµ phần tử ứng với n, nghĩa f( x n ) = n Khi ta xây dựng đợc tập X gồm số tự nhiên không nằm | n ∉ x n } Ta sÏ chØ r»ng nã không tập ứng với nó, nghĩa X:={n đợc ứng với số tự nhiên Thật vậy, giả sử ngợc lại X đợc ứng với số tự nhiên k đó, tức X = X k Khi có khả năng: k nằm X k k nằm X k Trong trờng hợp thứ k phần tử X điều m©u thn víi viƯc X = X k Trong trờng hợp thứ k phần tử X điều lại dẫn đến mâu thuẫn Tất mâu thuẫn chứng tỏ giả thiết đếm đợc xảy Nhận xét Phơng pháp chứng minh cho phép ta đến khẳng định tổng quát là: tập tất tập tập khác rỗng A (thờng đợc ký hiệu 2A) không cïng lùc l−ỵng víi A 1.4 Sè thùc _ Để tập trung trình bày phơng pháp Giải tích toán học, không sâu vào việc xây dựng khái niệm số thực, việc đòi hỏi nhiều công phu thời gian Trong phần nhắc lại số tính chất quan träng cđa sè thùc cÇn thiÕt cho viƯc thiÕt lập nguyên lý Giải tích ứng dụng chúng 1.4.1 Số hữu tỷ số vô tỷ Nh trên, ký hiệu tập số tự nhiên tập số nguyên Theo định m nghĩa số hữu tỷ số có dạng n , m (m, n) = (−íc sè n chung lín nhÊt cđa m vµ n lµ 1, hay m vµ n lµ hai số nguyên tố nhau) Ta ký hiệu tập số hữu tỷ Những số không biểu diễn đợc dạng gọi số vô tỷ Nh vậy, tập số thực bao gồm tất số vô tỷ hữu tỷ, đợc ký hiệu 10 Chơng Thí dụ 0,5 số hữu tỷ 0,5 = Tập hợp Số thực q = số vô tỷ biểu diễn dới dạng m nêu Thật vËy nÕu n m th× m = 2n Chứng tỏ m số chẵn, m số chẵn: m = 2m' Khi n n = 2(m' ) vµ cã nghÜa n số chẵn Điều phi lý (m,n) = 2= 1.4.2 BiĨu diƠn sè thùc §Ĩ dƠ hình dung ngời ta hay biểu diễn số thực trục số Ox Mỗi điểm trục biểu diễn số thực Điểm O gốc biểu diễn số không Số đợc biểu diễn điểm bên phải gốc cho đoạn [0,1] có độ dài đơn vị Khi số hữu tỷ m m với m > điểm nằm phía bên phải gốc cho đoạn [0, q] có độ dài q= n n m m lần đơn vị Sè h÷u tû q = víi m < sÏ điểm đối xứng với qua gốc Những n n điểm khác trục số biểu diễn số vô tỷ Thí dụ điểm bên phải gốc tọa độ cách gốc tọa độ đoạn độ dài đờng chéo hình vuông với cạnh đơn vị Ta biết khoảng cách biểu diễn đợc dới dạng tỷ số hai số nguyên, biểu diễn số vô tỷ 1.4.3 Các phÐp tÝnh Trong còng nh− cã phÐp tÝnh số học bản: cộng, trừ, nhân chia Các phép tính có tính chất sau: Giao hoán : a + b = b + a vµ ab = ba KÕt hỵp : (a + b) + c = a + (b + c) Phân phối : a (b + c) = ab + ac ab(c)=a(bc) 1.4.4 Thø tự Bất hai phần tử a, b (thuộc ) so sánh a > b (a lớn b), a = b a < b (a nhá h¬n b) Thø tù (>) cã tÝnh chÊt sau: Bắc cầu : a > b, b > c th× a > c, Trï mËt : a > b có c để a > c > b Tiên ®Ị (Archimedes): Víi mäi sè c > tån t¹i số tự nhiên n > c Ngoài số hữu tỷ có tính chất trù mật mạnh sau đây: Cho a, b thuộc a > b cã q thc ®Ĩ a > q > b Nếu 11 Bài tập tính toán thực hành Chơng 12 1) ( x + 1)( yy ′ − 1) = y ; 2) xdx = ( x − y + 1)dy ; 3) x(e y − y ′) = ; 4) ( x − 1) y ′ sin( y ) + x cos( y ) = x − x ; x 6) x x 5) y ( x) = ∫ y (t )dt + + x ; ∫ ( x − t ) y (t )dt = x + ∫ y (t )dt ; Bµi Tìm quy luật biến thiên dòng điện mạng điện có cuộn tự cảm I = I t = 0, U = A sin(ωt ) , A = const Bài Tìm đờng cong mà tiếp tuyến cắt trục Oy đoạn tổng toạ độ n tiếp điểm Bài 10 Tìm đờng cong cho tung độ trung bình đoạn [0, x] , (tức đại lợng x ydx ) tỷ lệ với tung độ điểm ứng với cận bên phải đoạn [0, x] x Bài 11 Tìm đờng cong AM cho hoành độ trọng tâm hình OAMP hoành độ điểm M Bài 12 Chứng minh nghiệm phơng trình tuyến tính y ′ + p( x) y = q( x) víi giá trị khởi đầu x0 , y0 viÕt d−íi d¹ng x y = y0 e − ∫ p ( t ) dt x0 x + ∫ q (ξ )e − ∫ p ( t ) dt ξ dξ _ Thực hành giải phơng trình vi phân máy Dùng MAPLE V bạn tìm nghiệm xác nhiều phơng trình vi phân thòng (ODE) Hơn nữa, MAPLE cho phÐp t×m nghiƯm xÊp xØ cđa bÊt kú phơng trình vi phân Ngoài ra, vẽ đợc đồ thị nghiệm phơng trình vi phân Điều có lợi ta muốn biết dáng điệu thay đổi nghiệm giải toán cụ thể Để tiến hành giải phơng trình vi phân, ta khởi động chơng trình nạp gói công cụ chuyên dụng cho chuyên mục lệnh sau [> restart; [> with(DEtools); Sau Ên phÝm [Enter] cho lƯnh thùc hiƯn, ta sÏ thÊy hiƯn danh mơc công cụ chứa gói: [DEnormal, DEplot, DEplot3d, Dchangevar, PDEchangecoords, PDEplot, autonomous, convertAlg, convertsys, dfieldplot, indicialeq, phaseportrait, reduceOrder, regularsp, translate, untranslate, varparam] 223 Bài tập tính toán thực hành Chơng 12 2.1 Giải phơng trình vi phân thờng Mét sè ký hiƯu cÇn nhí: Ký hiƯu D(y) đạo hàm bậc hàm y Ký hiệu D(D)(y)(x) đạo hàm bậc hai y theo x Ký hiệu D@@k có nghĩa D đợc kết hợp với k lần Muốn giải phơng trình vi phân thờng, ta cần dùng dòng lƯnh cã có ph¸p nh− sau: [> dsolve({deq, x(t0)=x0 },x(t)); Trong , deq phơng trình vi phân, x(t)là nghiệm, x(t0)=x0 điều kiện khởi đầu Nếu tìm nghiệm tổng quát ta bỏ điều kiện khởi đầu x(t0)=x0 (Khi điều kiện khởi đầu, MAPLE tự động sinh số _C1 kết quả) Sau dấu ;, ấn phím Enter, hình đáp số Chú ý Dấu ; biểu thị kết thúc dòng lệnh Thiếu dấu ; máy hiểu dòng lệnh cha kết thúc, không giải báo lỗi Có thể nói, hầu hết phơng trình vi phân giải đợc cầu phơng giải đợc nhờ MAPLE Phơng trình vi phân tách biến Dạng dx = f (t ) dt [>dsolve(D(x)(t) =f(t),{x(t)}); x(t ) = ∫ f (t )dt + C ThÝ dụ Giải phơng trình vi phân dx = dt t − [>dsolve(D(x)(t) =2/(t^2-1),{x(t)}); x(t ) = −2 arctan h(t ) + C1 ( arctan h(t ) hàm ngợc hàm tan hyperbolic) Nhận xét Đáp số cã thĨ viÕt d−íi d¹ng x(t ) = ln t + C Hai đáp số khác nhau, để so t +1 sánh ta dùng lệnh convert(expr,ln)(chuyển đổi biểu thức expr dạng lôgarit tự nhiên) [> convert(x(t)=-2*arctanh(t)+_C1,ln); x(t) = -ln(t + 1) + ln(1 - t) + _C1 D¹ng dx = g ( x) dt [> dsolve(D(x)(t) =g(x),{x(t)}); 224 Bài tập tính toán thực hành Chơng 12 x (t ) dx1 + t = C1 g ( x1 ) dx x − = dt ThÝ dô Giải phơng trình vi phân [> dsolve(D(x)(t) =(x^2-1)/2,{x(t)}); arctanh(x(t)) + t = _C1 + Ce t NhËn xét Đáp số viết dới dạng x = Để so sánh ta dùng lệnh convert Ce t (chuyển đổi dạng ln(.)) [> convert(2*arctanh(x(t))+t=C1,ln); ln(x(t) + 1) - ln(1 - x(t)) + t = C1 D¹ng f (t )dt + g ( x)dx = [> dsolve(D(x)(t)=-(f(t)/g(x)),{x(t)}); x (t ) ∫ D¹ng g ( y1 )dy1 + ∫ f (t )dt = C1 M (t ) N ( x)dt + P(t )Q( x) dx = [> dsolve(D(x)(t)=((M(t)*N(x))/(P(t)*Q(x))),{x(t)}); x (t ) Thí dụ Giải phơng trình vi phân Q( y1 ) M (t ) dy1 + ∫ dt = C1 N ( y1 ) P (t ) t ( x − 1) dx =− dt (t − 1) x [> dsolve(D(x)(t) =-((t*(x^2-1))/((t^2-1)*x)),{x(t)}); t + C1 t Nhận xét Đáp số viết dới dạng ( x 1)(t − 1) = C ThÝ dơ Gi¶i phơng trình vi phân x (t ) = x x − x dt − (4 + t )dx = [> dsolve(D(x)(t)=(2*x*sqrt(2*x-x^2))/(4+t^2),{x(t)}); 2−x t + arctan  = C1 x 2 NhËn xÐt Máy giải thiếu nghiệm đặc biệt x = 2 Phơng trình vi phân Phơng trình vi phân x = f (t , x) đợc gọi f hàm bậc 0, nghÜa lµ, f (λ t , λ x) = f (t , x) víi mäi λ bÊt kú 225 Bµi tập tính toán thực hành Chơng 12 Thí dụ Giải phơng trình vi phân dx 2tx = dt t − x [> dsolve(D(x)(t)=(2*t*x)/(t^2-x^2),{x(t)}); t2 + x(t ) = C1 x(t ) NhËn xÐt Đáp số viết dới dạng t + x = Cx Phơng trình vi phân tuyến tính Phơng trình vi phân tuyến tính nhÊt dx + p (t ) = dt [> dsolve(D(x)(t)+p(t)*x=0,{x(t)}); x(t ) = exp ∫ − p (t )dt _ C1 Phơng trình vi phân tuyến tính không nhÊt dx + p (t ) = q (t ) dt [> dsolve(D(x)(t)+p(t)*x=q(t),{x(t)}); x(t ) = exp( ∫ − p (t )dt )( ∫ exp( ∫ − p(t )dt )q (t )dt + C1) Thí dụ Giải phơng trình vi ph©n y′ + y = x + Ta dùng lệnh để giải phơng trình nh thí dụ Tuy nhiên, thực bớc sau để đợc công thức tờng minh hình: Bớc 1: Định nghĩa phơng trình cần giải diff_eq: [> diff_eq:=D(y)(x)+y(x)=x+2; Lệnh hiểu D(y)(x)+y(x)=x+2 đợc gán tên diff_eq Ta cịng cã thĨ thay b»ng mét ký hiƯu t chän khác Sau dấu ; ấn phím Enter, hình phơng trình diff _ eq := D ( y )( x) + y ( x) = x + Bớc 2: Giải phơng trình lệnh: [> dsolve({diff_eq},{y(x)}); Sau dấu ; ấn phím Enter, hình công thức nghiệm phơng trình vi phân đà cho: y ( x) = x + + C1e x Thí dụ Giải phơng trình vi phân xy ′ − y = x víi ®iỊu kiƯn khởi đầu y(0) = 226 Bài tập tính toán thực hành Chơng 12 Đây phơng trình tuyến tính không nhất: y y = x x B−íc 1: ThiÕt lËp c«ng thøc biĨu diễn phơng trình lệnh: [> diff_eq2:= x*D(y)(x)-y=x^3; diff _ eq := xD( y )( x) − y = x Bớc 2: Vào điều kiện đầu dòng lÖnh: [> init_con:= y(0)=1; init _ := y (0) = Bớc 3: Giải phơng trình vi phân lệnh: [> dsolve({diff_eq2,init_con},{y(x)}); Máy có giải nhng không cho trả lời phơng trình vô nghiệm (không có nghiệm ®i qua ®iĨm (0,1)) Ta cã thĨ dïng ký hiƯu diff(f(t),t) "lấy đạo hàm f theo x " ®Ĩ thay thÕ cho c¸c lƯnh D(y)(x)trong c¸c thÝ dơ dy t +y=0 dt Bớc 1: Gán tên deq cho phơng trình (ký hiệu diff thay cho D) Thí dụ Giải phơng trình [> deq:=diff(y(t),t)*t^2+y(t)=0; deq :=  y (t ) t + y (t ) = ∂t    B−íc 2: Giải phơng trình [>dsolve(deq,y(t)); y (t ) = e t C1 NÕu mn, ta cã thĨ t×m nghiệm ứng với giá trị khởi đầu y(1) = a: [> dsolve({deq,y(1)=a},y(t)); et a y (t ) = e Phơng trình đa tuyến tính không f ' ( x) dx + p(t ) f ( x) = q(t ) dt [> dsolve(D(f)(x)*D(x)(t)+p(t)*f(x)=q(t),{x(t)}); p ( t ) dt p ( t ) dt p ( t ) dt e∫ p (t ) f ( x(t )) − e ∫ q (t )dt + f ( x(t )e ∫ ∫ − f ( x(t ) ∫ e ∫ p ( t ) dt p(t )dt = _ C1 − f ( x(t ) ∫ e ∫ p ( t ) dt p(t )dt = _ C1 227 Bài tập tính toán thực hành Chơng 12 Thí dụ Giải phơng trình vi phân x dx + tx = t dt [> dsolve(x*D(x)(t)+t*x^2=t^2,{x(t)}); 2 x (t ) = t + Ie −t π erf ( It ) + e −t C1 x Hàm erf đợc định nghĩa erf ( x) = Phơng trình Bernouli 2 e t dt π dx + p(t ) = q ( t ) x dt Thí dụ Giải phơng trình Bernouli với = dx , tức t − 4x = t x dt [> dsolve(t*D(x)(t)-4*x=t^2*sqrt(x),{x(t)}); t = _ C1e Phơng trình Riccati − x(t ) t2 dx = P(t ) x + Q(t ) x + R(t ) dt Ph−¬ng trình Riccati giải đợc cầu phơng dx a Thí dụ Giải phơng trình Riccati = x + x+c dt t 2t [> dsolve(D(x)(t)=(a/t)*x^2+(1/(2*t))*x+c,{x(t)}); x(t ) = Thí dụ Giải phơng trình Riccati c t (C1sin( ac t ) − cos(2 ac t ) ac (C1 cos(2 ac t ) + sin( ac t ) dx = ax + bt − dt [> dsolve(D(x)(t)=a*x^2+b*t^(-2),{x(t)}); Thí dụ Giải phơng trình Riccati  ax ( t ) t +1   arctan     4ba −1  4ba −1 t = Ce dx b c = ax + x + dt t t [> dsolve(D(x)(t)=a*x^2+b*(x/t)+c/t^2,{x(t)}); t = Ce Thí dụ Giải phơng trình Riccati  ax ( t ) +1+ b arctan    ac −1− b −b     ac −1− b −b dx = x2 + dt t [> dsolve(D(x)(t) =x^2+1/t^2,{x(t)}); t = Ce 228 1  arctan  ( x ( t ) t +1)  3  Bµi tËp vµ tính toán thực hành Chơng 12 dx = x + t dt Thí dụ Giải phơng trình vi ph©n [> dsolve(D(x)(t)=x^2+t^(-4),{x(t)}); 1 1 1 1 Ct sin   − C cos  + t cos  + sin   t t t    t  x(t ) = − 1 1 C sin + cos t t Phơng trình Riccati không giải đợc cầu phơng dx a = x + x+c dt t t ThÝ dô Giải phơng trình Riccati [> dsolve(D(x)(t)=(a/t)*x^2+(1/t)*x+c,{x(t)}); x(t ) = t ac (C1Bessel1Y (0,2 ac t ) + Bessel1J (0,2 ac t ) a(C1Bessel1Y (1,2 ac t ) + Bessel1J (1,2 ac t ) Trong ®ã, Bessel1Y (v, x) Bessel1J (v, x) hàm Bessel loại loại 2, tức chúng nghiệm phơng trình vi phân x y"+ xy '+ ( x − v ) y = Phơng trình không giải đợc qua đạo hàm F ( x, Thí dụ Giải phơng trình vi phân dx , t) = dt dx dx + =0 dt dt [> dsolve(D(x)(t)+abs(D(x)(t))=0,{x(t)}); x(t) = RealRange(-infinity, 0) t + _C1, nghÜa lµ nghiƯm phơng trình có dạng x = at + C víi mäi a < vµ C bÊt kú Tuy nhiên, máy giải thiếu nghiệm x = t + C t ≤ dx  dx  + xt =  − (x + t) dt dt Thí dụ Giải phơng trình vi ph©n  [>dsolve((D(x)(t))^2-(x+t)*D(x)(t)+x*t,{x(t)}); x(t ) = t + C vµ x ( t ) = Ce t Phơng trình Clairaut x = dx dx t + g( ) dt dt [> dsolve(x=D(x)(t)*t+g(D(x)(t)),{x(t)}); 229 Bµi tËp tính toán thực hành Chơng 12 t= g (T )  ∂T  vµ x(t ) = g (C ) + tC     x(t ) = g (T ) − T  ∂ g (T )  ∂T      2.2 Phơng trình vi phân bậc cao Ghi nhớ Đạo hàm bậc hai y theo x đợc ký hiệu D(D(y)(x) Nghiệm tổng quát phơng trình vi phân bậc hai phụ thuộc vào tham số tự Các bớc giải phơng trình vi phân bậc cao giống nh giải phơng trình vi phân bậc Thí dụ Giải phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai y"+5 y '+6 y = với điều kiện khởi đầu: y (0) = 0, y ' (0) = B−íc 1: Ta gán tên diff_eq1 cho phơng trình cần giải [> diff_eq1:=D(D(y))(x)+5*D(y)(x)+6*y(x)= 0; Sau dÊu chÊm phÈy (;), Ên phÝm "Enter", hình phơng trình vi phân cần giải: diff_eq1 := (D(2))(y)(x) + D(y)(x) + y(x) = B−íc 2: NhËp ®iỊu kiƯn khëi đầu lệnh [> init_con:=y(0)=0,D(y)(0)=1; Sau dấu (;) đánh lệnh [Enter] công thức mô tả điều kiện ®Çu: init_con := y(0) = 0, D(y)(0) = B−íc 3: Giải phơng trình vi phân lệnh [> dsolve({diff_eq1,init_con},{y(x)}); Sau dấu ";", đánh lệnh "Enter", hình công thức nghiệm phơng trình vi phân cần gi¶i: y ( x) = e −2 x − e x Thí dụ Giải phơng trình vi phân tuyÕn tÝnh cÊp hai: y ′′ − y ′ − 10 y = sin( x) + cos( x) với điều kiện khởi đầu y (0) = 1, y ' (0) = Bớc 1: Nhập phơng trình b»ng lÖnh: [> diff_eq3:=D(D(y))(x)-3*D(y)(x)-10*y=sin(x)+3*cos(x); diff _ eq3 := ( D )( y )( x) − 3D ( y )( x) − 10 y = sin( x) + cos( x) Bớc 2: Vào liệu điều kiện đầu: [> init_con:= y(0)=1,D(y)(0)=1; init _ := y (0) = 1, D( y )(0) = 230 Bµi tËp tính toán thực hành Chơng 12 Bớc 3: Giải phơng trình: [> dsolve({diff_eq3,init_con},{y(x)}); Sau thực lệnh, máy cho công thức nghiệm phơng trình vi phân cần gi¶i 47 x − x y ( x) = − cos( x) − sin( x) + e + e 91 13 13 Ta dùng ký hiệu diff(y(x),x,x) "lấy đạo hàm bậc hai cđa y theo x " ®Ĩ thay thÕ cho lệnh D(D(y))(x) thí dụ Maple giải phơng trình vi phân với nghiệm mô tả qua hàm đặc biệt     ∂ x y ( x)  + 5 ∂ x y ( x)  =     [>dsolve(x^2*diff(y(x),x,x)+5*diff(y(x),x)=0,y(x)); 5 y = C1 + C ( xe x + 5Ei (1,− )) x Ei (n, x ) lµ ký hiƯu hàm tích phân mũ: Thí dụ Giải phơng trình x  ∞ e − xt dt n t Ei (n, x) = 2.3 Hệ phơng trình vi phân thờng Ghi nhớ Các bớc giải phơng trình hệ vi phân tơng tự nh giải phơng trình vi phân bậc Nghiệm tổng quát hệ phơng trình vi phân bậc phụ thuộc vào tham số tự Thí dụ Giải hệ phơng trình vi phân thờng bậc hai (không có điều kiện khởi đầu) sau: ( D )( y )( x) = z ( x) , ( D )( z )( x) = y ( x) Bớc 1: Gán tên sys (viết tắt chữ system - hệ) cho hệ phơng trình cần giải: [>sys:=(D@@2)(y)(x)=z(x),(D@@2)(z)(x)=y(x); sys := ( D )( y )( x) = z ( x), ( D )( z )( x) = y ( x) B−íc 2: Giải hệ phơng trình vi phân lệnh [> dsolve({sys},{y(x),z(x)}); 1 1 _ C1e ( − x ) + _ C1e x + _ C1 cos( x) − _ C 2e − x + 4 1 1 _ C 2e x + _ C sin( x) + _ C 3e − x + _ C 3e x − _ C cos( x) 4 1 − _ C sin( x) + _ C 4e x − _ C 4e − x , 4 1 1 1 z ( x) = _ C1e − x + _ C1e x − _ C1 cos( x) − _ C sin( x) + _ C 2e x − _ C 2e − x 4 2 4 { y ( x) = + 1 1 1 _ C 3e − x + _ C 3e x + _ C cos( x) − _ C 4e − x + _ C 4e x + _ C sin( x)} 4 4 231 Bài tập tính toán thực hành Chơng 12 Thí dụ Giải hệ phơng trình vi phân y ( x) = z ( x), z ( x) = y ( x) ∂x ∂x víi ®iỊu kiƯn khëi ®Çu y (0) = 0, z (0) = Bớc 1: Gán tên sys cho hệ: [> sys:={diff(y(x),x)=z(x),diff(z(x),x)=y(x),y(0)=0,z(0)=2}; sys := { ∂ ∂ y ( x) = z ( x), z ( x) = y ( x), y (0) = 0, z (0) = 2} ∂x ∂x B−íc 2: Gán tên cho nghiệm: [> fcns:={y(x),z(x)}; fcns := { y ( x), z ( x)} B−íc 3: Gi¶i hƯ phơng trình vi phân: [> dsolve(sys,fcns); { y ( x) = e x − e − x , z ( x) = e − x + e x } 2.4 Giải tìm nghiệm theo phơng pháp tuỳ chọn Không phải phơng trình có nghiệm dới dạng biểu thức giải tích thông thờng, đáng ngạc nhiên ta thấy MAPLE "không chịu" cho ta kết số phơng trình HÃy xem xét Thí dụ Giải phơng tr×nh d f ( x) + f ( x) x = sin( x) dx Để giải ta đa vào dòng lệnh [> dsolve(diff(f(x),x)+f(x)^5*x=sin(x),f(x); Sau lệnh gi¶i (Ên phÝm “Enter” sau dÊu chÊm phÈy “;”), ta thấy máy có chạy nhng không đa kết Tuy nhiên, xin đừng thất vọng, MAPLE làm việc "không chê vào đâu đợc" nh ta biết dạy làm việc cách hợp lý Lệnh giải phơng trình vi phân có cú pháp tổng quát là: [> dsolve(deqns,vars,keyword); Trong deqns phơng trình vi phân, vars biến nghiệm, phần keyword cho phép ta xác định phơng pháp giải dạng biểu diễn nghiệm Cách biểu diễn mặc định "chính xác " (exact) NÕu chän c¸ch biĨu diƠn nghiƯm nh− vËy ta cho giá trị phần keyword Nếu cách biểu diễn không thành (nh ta thấy thí dụ đây), ý ta muốn, ta yêu cầu máy cho ta cách biểu diễn sau đây: Với keyword đợc cho dới dạng type=series máy cho ta nghiệm dới dạng chuỗi 232 Bài tập tính toán thực hành Chơng 12 Với keyword đợc cho dới dạng type=numeric máy cho nghiệm dới dạng hàm tợng trng mà ta biết đợc giá trị số điểm Với keyword đợc cho dới dạng ouput=basic máy cho ta tập hàm sở mà tập nghiệm đợc căng (nh bao tuyến tính) Nếu phơng trình máy cho ta thêm nghiệm riêng, để nghiệm biểu diễn qua tập nghiệm sở nghiệm riêng Thông thờng, nghiệm đợc cho dới dạng hàm ẩn (tức phơng trình biểu thị mối liên hệ hàm số y biến phụ thuộc x không thông qua đạo hàm), dới dạng biến phụ thuộc tham số Nếu ta muốn bắt phải cho ta nghiệm dới dạng hiển (tức hàm số y theo x ) ta cho keyword dới dạng explicit=true (Vì khả thờng khó thực đợc nên ngời ta thờng cho giá trị mặc định explicit=false ) Muốn biểu diễn đợc nghiệm thông qua hàm đặc biệt kiểu Dirac(.), Heaviside(.), ta phải cho keyword method=laplace Trong thí dụ nêu trên, với điều kiện đầu f (0) = , ta cho máy tìm nghiệm dới dạng chuỗi, nã sÏ cho kÕt qu¶ lËp tøc: [>dsolve({f(0)=1/2,diff(f(x),x)+f(x)^5*x=sin(x)},f(x), series); 31 977 f ( x) = + x − x + O( x ) 64 12288 ThÝ dơ Gi¶i hƯ  dy  dx = z − y − x  dz  =y dx với giá trị khởi đầu y (0) = 0, z (0) = 1) Theo phơng pháp mặc định: [> sys:=diff(y(x),x)=z(x)-y(x)-x,diff(z(x),x)=y(x): fcns:={y(x),z(x)}: [> dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns); 1    − ( +1) x   ( −1) x  1    5e 5e − + x + 1, y ( x) =  z ( x) = 5    − − ( 5e  10  +1) x   1 +  ( 5e  10  −1) x   1  ( + − e 2  −1) x    1 − ( − e 2  +1) x       2) Tìm nghiệm dới dạng chuỗi (với điều kiện đầu y(0) = 0, z(0) = ) [> dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns, type=series); 233 Bài tập tính toán thực hành Chơng 12 5 x − x + x + O( x ), 24 15 1 1 z ( x) = + x − x + x − x + O( x )} 24 { y ( x) = x − x + 3) Với điều kiện đầu nh trên, tìm nghiệm phơng pháp số, yêu cầu máy cho biết giá trị nghiệm điểm x = 1, x = 1.5, x = 1.7 : [> F:=dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns,type=numeric); F := proc(rkf45_x) end [> F(1); [x = 1, y(x) = 343731408276753914, z(x) = 1.25897207653682308] [> F(1.5); [x = 1.5, y(x) = 237649509495644756, z(x) = 1.40935827136441327] [> F(1.7); [x = 1.7, y(x) = 163416733680997378, z(x) = 1.44974926864546538] Thí dụ Giải phơng trình vi phân bậc y"= x y phơng pháp số (với chơng trình mang tên dverk78 ) cho giá trị nghiệm đạo hàm điểm x = 1, x = 1.5, x = 1.7 dới dạng bảng số liệu: [> sys2:={(D@@2)(y)(x)=2*x^3*y(x),y(0)=1,D(y)(0)=1}: [> s:=dsolve(sys2,{y(x)},type=numeric,method=dverk78, value=array([1.0,1.5,1.7])); s :=  ∂   x , y ( x ), ∂x    y ( x)     1.5000000000   1.6999999999    0000000 9999996 1701324352 5314170 2682679662 7041372 7103985466 5199442 1.9360378831 1791480 3639169165 4069902 17 2757972122 874470 Ta cã thÓ lÊy tõng số liệu bảng (ma trận) này, thí dụ nh: [> s[1,1][3]; ∂ y (x) , ∂x [> s[2,1][2,3]; 8.36391691654069902 Thí dụ Giải phơng trình vi phân tuyến tính bậc không xy"+ y '+3 y = x cho biết hệ sở tập nghiƯm (cïng mét nghiƯm riªng) [> solve(2*x*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)+3*y=x,y(x), output=basis); 234  Bài tập tính toán thực hành Chơng 12 x1 cos( x ) x1 sin( x )  1    ,− + x  ,    x x  MAPLE biến đổi hệ phơng trình vi phân thờng bậc cao hệ phơng trình vi phân bậc lệnh convertsys Hơn nữa, lệnh dsolve MAPLE giải nhiều phơng trình vi phân phơng pháp số, sử dụng phơng pháp cổ điển, ngoại suy nhiều bớc, công cụ giải phơng trình vi phân thờng Livermore Stiff 2.5 Vẽ đồ thị nghiệm phơng trình vi phân Để vẽ đồ thị nghiệm phơng trình vi phân, ta nhập dòng lệnh sau [> with(DEtools): [>DEplot(deqns,vars,trange,inits,eqns); [>DEplot(deqns,vars,trange,inits,xrange, yrange, eqns); Trong đó: deqns - bảng phơng trình vi phân bậc phơng trình vi phân bậc cao vars - biến phụ thuộc bảng biến phụ thuộc trange - miền thay ®ỉi cđa biÕn ®éc lËp inits - ®iỊu kiƯn khëi đầu xác định đờng cong nghiệm cần vẽ yrange - miỊn thay ®ỉi cđa biÕn phơ thc thø nhÊt xrange - miỊn thay ®ỉi cđa biÕn phơ thc thø hai eqns - tuỳ chọn (màu, tiêu đề, độ đậm nhạt đồ thị, ) Thí dụ Vẽ đồ thị nghiệm phơng trình vi phân d3y d2y dy − +π =y−x dx dx dx víi ®iỊu kiƯn khởi đầu y (0) = 1, y (0) = 2, y" (0) = , biÕn ®éc lËp x thay ®ỉi ®o¹n [2.5,1.4], biÕn phơ thc y thay ®ỉi đoạn [4,5], chọn bớc 0.05 cos( x) [>DEplot({cos(x)*diff(y(x),x$3)Hình 12.1 diff(y(x),x$2)+Pi* diff(y(x),x)=y(x)-x},{y(x)},x=-2.5 1.4,[[y(0)=1, D(y)(0)=2,(D@@2)(y)(0)=1]],y=-4 5,stepsize=.05); 235 Bµi tËp vµ tính toán thực hành Chơng 12 Thí dụ Vẽ đồ thị nghiệm hệ phơng trình x' = y − z   y' = z − x z' = x − y  víi ®iỊu kiƯn khởi đầu x(0) = , y (0) = , z (0) = , biÕn ®éc lËp t thay đổi đoạn [2,2], biến phụ thuộc y thay đổi đoạn [4,5], chọn bớc: 0.05, yêu cầu máy cho biểu diễn thành phần [z(t), x(t)] nghiệm Hình 12.2 [> DEplot({D(x)(t)=y(t)z(t),D(y)(t)=z(t)-x(t),D(z)(t)= x(t)y(t)*2},{x(t),y(t),z(t)},t=-2 2,[[x(0)=1, y(0)=0,z(0)=2]],stepsize=.05,scene=[z(t),x(t)]); Với phơng trình vi phân bậc hệ phơng trình vi phân bậc ẩn máy không vẽ cho ta nghiệm mà vẽ trờng vectơ Thí dụ Vẽ đồ thị nghiệm phơng trình vi phân dy = (− x − x + y ) , dx biÕn ®éc lËp x thay ®ỉi ®o¹n [-3,3], biÕn phơ thc y thay ®ỉi đoạn [-3,2] (Khi không cho điều kiện dầu máy không cho nghiệm cụ thể nào, mà cho trờng vectơ) Hình 12.3 [> DEplot(diff(y(x),x)=1/2*(-x (x^2+4*y(x))^(1/2)),y(x), x=-3 3,y=-3 2, title=`Restricted domain`); Thí dụ Vẽ đồ thị nghiệm hệ phơng trình x' = x(1 y ) , biến độc lập t vi phân   y ' = 0.3 y ( x − 1) thay đổi đoạn [-7,7] Với điều kiện khởi đầu [x(0)=1.2, y(0)=1.2] [x(0)=1, y(0)=0.7], máy cho ta tõng nghiƯm t−¬ng øng [> DEplot({diff(x(t),t)=x(t)* (1-y(t)),diff(y(t),t)=.3* y(t)*(x(t)-1)},[x(t), y(t)],t=-7 7, [[x(0)=1.2, H×nh 12.4 y(0)=1.2],[x(0)=1, y(0)=.7]],stepsize=.2, title=`Lotka-Volterra model`); 236 Bài tập tính toán thực hành Chơng 12 Thí dụ Vẽ đồ thị nghiệm phơng trình vi ph©n y ' = − y − x , biến độc lập x thay đổi đoạn [-1,2.5] Các điều kiện khởi đầu [y(0)=0], [y(0)=1], [y(0)=-1], tiêu ®Ị: ‘Asymptotic solution’ (NghiƯm tiƯm cËn) [>DEplot(D(y)(x)=-y(x)-x^2, y(x),x=1 2.5,[[y(0)=0], [y(0)=1],[y(0)=-1]], title=`Asymptotic solution`); H×nh 12.5 237 ... dòng lƯnh) vµ nhÊn phÝm “Enter” ThÝ dơ [>(2^64 +19 !)/( 31! -3 ^15 +12 3456789); 928 419 458705 919 1808 411 1 419 3270889 614 088627 814 945539 41 Maple có khả tính toán xác số thực, không cần phải đa kiện vô tỷ... 45 413 9539 3-2 .269448485*I}, {x = 45 413 953 81+ 2.269448485*I}, {x = 4586046 318 e -1 + .74696 015 90*I}, {x = 4586045942e -1 - .74696 015 84*I} Nhận xét Rõ ràng phơng trình mà giải đợc mẹo hay mò nghiệm, mà giải. .. thực (1, 1) (1, 2) (1, 4) (2 ,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3 ,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4 ,1) (4,2) (4,3) (4,4) X©y dùng phÐp øng tíi (1, 3) theo quy tắc theo đờng xiên : (1, 1) (2 ,1) ; (1, 2) 3; (1, 3)