GIẢI TÍCH HÀM

GIẢI TÍCH HÀM

Mục lục 1 Không gian định chuẩn 3 1.1 Khônggiantôpô 3 1.1.1 Tập mở và tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Tập liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Giớihạn 12 1.2.3 Không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.4 Các định lý về suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.4 Phép chiếu trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Bàitậpch-ơng1 24 2 Các ánh xạ tuyến tính liên tục 31 2.1 Các ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1 Các ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 Phiếm hàm và các áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Các ánh xạ đa tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Địnhlýánhxạmở 38 2.2.1 Định lý ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2 Vài áp dụng của định lý ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Toán tử compact và toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1 Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2 Toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.3 Chỉ số của toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4 Phổ của toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5 Bàitậpch-ơng2 46 3 Đại c-ơng về phép tính vi phân 49 3.1 Đạoánh 49 3.1.1 Đạo ánh và đạo ánh riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1 3.1.2 Một số qui tắc tính đạo ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.3 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.4 Một số ứng dụng của định lý giá trị trung bình . . . . . . . 55 3.2 Định lý ánh xạ ng-ợc, ánh xạ ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2.1 Định lý ánh xạ ng-ợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2.2 Định lý ánh xạ ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Nguyên ánh và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.1 Các ánh xạ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.2 Nguyên ánh và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.3 Một số qui tắc tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Đạo ánh cấp cao và công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.1 Đạo ánh cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.2 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5 Bàitậpch-ơng3 67 2 1 Không gian định chuẩn 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Tập mở và tập đóng Cho tập X và một họ O nào đó các tập con của X. Chúng ta sẽ nói O là một tôpô trên X nếuu ba điều kiện sau đây đ-ợc thỏa mãn: (op 1). Tập X và tập thuộc họ O. (op 2). Giao hữu hạn các tập thuộc họ O là tập thuộc O. (op 3). Hợp bất kỳ (có thể vô hạn) các tập thuộc họ O là tập thuộc O. Khi họ O là một tôpô trên X, ta nói (X,O ) là một không gian tôpô; mỗi phần tử thuộc O đ-ợc gọi là một tập mở; phần bù của tập mở đ-ợc gọi là tập đóng. Trong tr-ờng hợp không sợ sự lầm lẫn giữa các tôpô khác nhau, chúng ta nói X là một không gian tôpô, mỗi phần tử thuộc X còn đ-ợc gọi là một điểm của X. Ví dụ 1.1.1 Cho X là một tập không rỗng. Khi đó họ {,X} là một tôpô trên X; tôpô này chỉ có đúng hai tập mở và đ-ợc gọi là tôpô thô. Họ P(X) gồm tất cả các tập con của X cũng là một tôpô, đ-ợc gọi là tôpô rời rạc trên X; mỗi tập con bất kỳ của X đều là tập mở trong tôpô này. Ví dụ 1.1.2 Giả sử U R. Ta nói U là tập mở nếuu mỗi điểm x U đều có khoảng mở tâm x nằm trọn trong U. Họ các tập mở này là một tôpô và đ-ợc gọi là tôpô thông th-ờng trên đ-ờng thẳng thực. Giả sử O , O là hai tôpô trên cùng một tập X. Chúng ta dễ dàng thấy hai tôpô này là bằng nhau khi và chỉ khi điều kiện sau đây đ-ợc thoả mãn với mọi x X : mọi U O chứa x, tồn tại U O để x U U; và ng-ợc lại, mọi U O chứa x, tồn tại U O để x U U . Trong không gian tôpô X bất kỳ, họ C gồm tất cả các tập đóng thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (cl 1). Tập X và tập thuộc họ C. (cl 2). Hợp hữu hạn các tập thuộc họ C là tập thuộc C. 3 (cl 3). Giao bất kỳ các tập thuộc họ C là tập thuộc C. Ng-ợc lại, có thể thấy rằng khi có họ C nào đó các tập con của X thỏa mãn ba điều kiện (cl 1), (cl 2), (cl 3) ta có thể xác định tập mở nh- là phần bù của tập thuộc C. Cho S là một tập con của không gian tôpô X và a X. Điểm a đ-ợc gọi là điểm dính của S nếuu mọi tập mở chứa a đều chứa điểm của S. Hiển nhiên mỗi phần tử của S đều là điểm dính của S. Tập tất cả các điểm dính của S đ-ợc gọi là bao đóng của S, ký hiệu là S. Dễ thấy rằng: tập S là đóng khi và chỉ khi S = S. Chúng ta nói tập con S của không gian tôpô X là trù mật (trong X) nếuu S = X. Điểm a đ-ợc gọi là điểm biên của S nếuu mọi tập mở chứa a đều chứa điểm của S và chứa điểm không thuộc S. Hiển nhiên mỗi điểm dính của S mà không thuộc S đều là điểm biên của S. Tập tất cả các điểm biên của S đ-ợc gọi là biên của S, ký hiệu là S. Điểm a đ-ợc gọi là điểm trong của S nếuu có tập mở U sao cho a U S; trong tr-ờng hợp này ta còn nói: S là một lân cận của a. Điểm trong của S cũng chính là điểm của S nh-ng không là điểm biên. Tập tất cả các điểm trong của S đ-ợc gọi là phần trong của S, ký hiệu là o S. Dễ thấy rằng: tập S là mở khi và chỉ khi S = o S. Cho S là một tập con của không gian tôpô X và V là một tập con của S. Nếu có tập mở U X sao cho V = U S thì ta nói tập V là mở trong S. Dễ thấy rằng họ các tập mở trong S là một tôpô trên S, tôpô này đ-ợc gọi là tôpô cảm sinh. Với tôpô cảm sinh, ta có thể nói S là không gian tôpô con của X. Cơ sở tôpô là một họ B nào đó các tập mở sao cho mọi tập mở đều là hợp (có thể vô hạn) các phần tử của B. Dễ thấy rằng nếu B là cơ sở tôpô thì B có hai tính chất sau đây: (b 1). Mỗi phần tử của X đều thuộc vào một tập nào đó của họ B. (b 2). Nếu B, B B và x B B thì có B B sao cho x B B B . Hai tính chất trên là đặc tr-ng của cơ sở. Giả sử X là một tập và B là một họ nào đó các tập con của X thoả mãn (b 1) và (b 2), khi đó có một tôpô duy nhất để B là cơ sở tôpô; mỗi tập mở của tôpô này chính là hợp (bất kỳ) các tập thuộc B. Tôpô duy nhất này đ-ợc gọi là tôpô gây bởi B. Ví dụ 1.1.3 Tôpô thông th-ờng trên R chính là tôpô gây bởi cơ sở là họ tất cả các khoảng mở hữu hạn. Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm ta hiểu R là không gian với tôpô này. Giả sử f là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y và a X. Chúng ta nói f liên tục tại điểm a nếuu mọi lân cận của f(a) đều có nghịch ảnh là lân cận của a. Nếu f liên tục tại mọi điểm của X, ta nói f liên tục trên tập X (có thể nói một cách đơn giản: f liên tục). Định lý 1.1 Giả sử f là ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Khi đó ba phát biểu sau là t-ơng đ-ơng: 1) f liên tục trên X. 2) Nghịch ảnh của tập mở bất kỳ đều là tập mở. 3) Nghịch ảnh của tập đóng bất kỳ đều là tập đóng. 4 Chứng minh. 1) 2). Giả sử V là tập mở của Y. Với mọi x U := f 1 (V ), do V là lân cận của f(x) nên U là lân cận của x; suy ra U là tập mở. 2)1). Giả sử x X và S là lân cận của f(x). Thế thì có tập mở V sao cho f(x) V S. Do U := f 1 (V ) là tập mở, x U và U f 1 (S) nên f 1 (S) là lân cận của x. Đọc giả tự chứng minh các phát biểu 2) và 3) là t-ơng đ-ơng với nhau. Định lý 1.2 Giả sử f là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y và g là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô Y vào không gian tôpô Z. Thế thì gf là liên tục. Chứng minh. Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập. Nếu ánh xạ f: X Y là song ánh, f và f 1 là các ánh xạ liên tục thì ta nói f là một phép đồng phôi; X và Y là đồng phôi (đồng tôpô) với nhau. Dễ dàng thấy rằng các tính chất tôpô là bất biến qua phép đồng phôi. Cho (X i ) iI là một họ các không gian tôpô và giả sử X = iI X i . Chúng ta xác định một tôpô trên X và gọi nó là tôpô tích: tập con U của X là tập mở nếuu với mỗi x U đều có tập hữu hạn J I và các tập U j mở trong X j với mọi j J thoả mãn x jJ U j ì iI\J X i U. Nói cách khác, tôpô tích có cơ sở gồm tất cả các tập dạng (tích có một số hữu hạn các thành phần là tập mở, các thành phần còn lại là toàn bộ không gian) jJ U j ì iI\J X i Tôpô tích là tôpô duy nhất với ít nhất các tập mở (tôpô thô nhất) trong các tôpô trên X đảm bảo mọi phép chiếu i : X X i là liên tục. Từ đây (nếu không nói gì thêm) ta hiểu X = iI X i là không gian với tôpô tích. 5 1.1.2 Tập liên thông Không gian tôpô X đ-ợc gọi là liên thông nếuu không thể biểu diễn X nh- là hợp của hai tập mở không rỗng rời nhau; hay cũng vậy: chỉ có tập hợp rỗng và bản thân X là đồng thời mở và đóng. Tập con S của không gian tôpô X đ-ợc gọi là tập liên thông nếuu không gian (tôpô) con S của X là liên thông. Hiển nhiên là: trong không gian tôpô bất kỳ, tập chỉ gồm một điểm là tập liên thông. Ví dụ 1.1.4 Xét đ-ờng thẳng thực R với tôpô thông th-ờng. Dễ dàng thấy rằng: tập S R là liên thông khi và chỉ khi S là khoảng (có thể là khoảng trống, hữu hạn hoặc vô hạn, mở hoặc đóng, nửa mở nửa đóng). Định lý 1.3 Giả sử (S i ) iI là họ các tập con liên thông của không gian tôpô X. Nếu họ này có phần tử chung thì hợp của họ này là liên thông. Chứng minh. Giả sử S = iI S i ,a iI S i , và S = U V, trong đó U, V là các tập mở rời nhau. Khi đó S i =(S i U) (S i V ) với mọi i. Do S i liên thông nên S i U = S i hoặc S i V = S i . Giả sử có i 0 để S i 0 U = S i 0 (tr-ờng hợp S i 0 V = S i 0 , ta lý luận t-ơng tự). Trong tr-ờng hợp này ta có a U và a S i với mọi i. Vậy S i U = ; do đó S i U = S i , hay cũng vậy S i U với mọi i; từ đây suy ra U = S. Từ định lý 1.3 chúng ta có thể định nghĩa thành phần liên thông của điểm a X,đó chính là hợp của tất cả các tập liên thông chứa a. Hiển nhiên, thành phần liên thông của điểm a là tập liên thông lớn nhất chứa a. Định lý 1.4 Giả sử S là tập con liên thông của không gian tôpô X. Thế thì bao đóng của S cũng là liên thông. Thực ra, nếu S T S thì T là liên thông. Chứng minh. Giả sử U, V là các tập mở (trong X) sao cho U T,V T là rời nhau và T = (U T ) (V T). Khi đó U S, V S là rời nhau và S =(U S) (V S). Do S liên thông, giả sử U S = ; ta suy ra U T = , vì nếu có a U, a T S thì trong U phải có điểm của S. Hệ quả 1.4.1 Thành phần liên thông của điểm a X là tập đóng. Chứng minh. Ký hiệu T (a) là thành phân liên thông của a; ta có: T (a) T (a) T (a). 6 Định lý 1.5 Giả sử f: X Y là ánh xạ liên tục. Nếu X là liên thông thì ảnh f(X) là liên thông. Chứng minh. Nếu U, V là các tập mở trong f(X) và f(X)=U V thì f 1 (U) và f 1 (V ) là các tập mở và X = f 1 (U) f 1 (V ). Định lý 1.6 Không gian X là liên thông khi và chỉ khi ánh xạ liên tục bất kỳ từ X vào không gian rời rạc nhiều hơn một phần tử đều phải là hằng. Chứng minh. . Giả sử X liên thông và f là ánh xạ liên tục từ X vào không gian rời rạc Y nhiều hơn một phần tử. Nếu f không là hằng, giả sử f(x 0 )=p. Khi đó f 1 (p) và f 1 (Y \{p}) là các tập mở không rỗng rời nhau và X = f 1 (p) f 1 (Y \{p}). . Giả sử X là hợp của hai tập mở không rỗng rời nhau U và V . Với p = q Y, xét ánh xạ f với f(x):=p nếuu x U và f(x):=q nếuu x V. Dễ thấy ánh xạ f liên tục nh-ng không là hằng. Định lý 1.7 Nếu (X i ) iI là một họ các không gian tôpô liên thông thì X = iI X i cũng là liên thông. Chứng minh. Giả sử f là ánh xạ liên tục từ X vào không gian rời rạc Y nhiều hơn một phần tử và f(a)=p. Chúng ta còn phải chứng minh rằng f là hằng. Do f 1 (p) mở nên nó chứa một lân cận mở của a có dạng U = U i 1 ìãããìU i n ì i/{i 1 ,ããã ,i n } X i . Với bất kỳ b X, giả sử a =(a i 1 , , a i n , ),b=(b i 1 , , b i n , (b i ) i/{i 1 ,ããã ,i n } ),c=(a i 1 , , a i n , (b i ) i/{i 1 ,ããã ,i n } ). Xét ánh xạ g : X i 1 X với g(x i 1 )=(x i 1 ,a i 2 ããã ,a i n , (b i ) i/{i 1 ,ããã ,i n } ) thì g là liên tục. Thế thì f g là liên tục. Do X i 1 liên thông nên f g là hằng trên X i 1 ; suy ra f(b i 1 ,a i 2 , , a i n , (b i ) i/{i 1 ,ããã ,i n } )=f g(b i 1 )=f g(a i 1 )=f(c) f(U)={p}. Bằng cách lặp lại thích hợp, ta thay đ-ợc a i 2 bởi b i 2 , , a i n bởi b i n , và nh- vậy f(b)=p. 7 Hệ quả 1.7.1 Không gian Euclid R n là liên thông. Tích bất kỳ các khoảng là liên thông. Chứng minh. Vì R và mỗi khoảng của nó là không gian tôpô liên thông. Không gian tôpô X đ-ợc gọi là liên thông đ-ờng nếuu với mọi x, y X đều tồn tại ánh xạ liên tục từ đoạn nào đó [a; b] R vào X sao cho (a)=x và (b)=y. Định lý 1.8 Không gian liên thông đ-ờng là liên thông. Chứng minh. Giả sử X là hợp của hai tập mở không rỗng rời nhau U và V. Lấy x U và y V. Giả sử là đ-ờng với (a)=x và (b)=y. Khi đó 1 (U) và 1 (V ) là các tập mở không rỗng rời nhau có hợp bằng [a; b]. Điều này mâu thuẫn vì đoạn [a; b] R là liên thông. 1.1.3 Tập compact Giả sử (S i ) iI là một họ nào đó các tập con của tập X. Chúng ta nói họ này là một phủ của X nếuu hợp của họ này bằng X. Nếu J I và họ (S j ) jJ là một phủ của X ta nói họ (S j ) jJ là một phủ con của phủ (S i ) iI . Khi (U i ) iI là phủ của không gian tôpô X và hơn nữa mọi tập U i đều là mở, chúng ta sẽ nói họ (U i ) iI là một phủ mở của X. Giả sử X là không gian tôpô. Chúng ta nói X là không gian compact nếuu mọi phủ mở của X đều tồn tại phủ con hữu hạn. Tập con S của không gian tôpô X đ-ợc gọi là tập compact nếuu không gian con S là compact. Ví dụ 1.1.5 Xét không gian Euclid R n . Có thể thấy rằng: tập con của R n là compact khi và chỉ khi nó đóng và giới nội. Đặc biệt: mặt cầu, hình cầu đóng, hình hộp là các tập compact; R n không là compact. Giả sử họ (F i ) iI gồm các tập con đóng nào đó của không gian tôpô X. Chúng ta nói họ này có tính giao hữu hạn nếuu jJ F j = với mọi tập con hữu hạn không rỗng J của I. Định lý 1.9 Không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi iI F i = với mọi họ (F i ) iI các tập con đóng có tính giao hữu hạn. Chứng minh. 8 . Giả sử X compact và họ (F i ) iI các tập con đóng có tính giao hữu hạn. Nếu iI F i = thì (X \F i ) iI là phủ mở của X. Giả sử (X \F j ) jJ là phủ con hữu hạn phủ X, ta suy ra jJ F j = . . Giả sử (U i ) iI là phủ mở của X nh-ng jJ U j X với mọi tập con hữu hạn không rỗng J của I. Khi đó jJ (X \ U j )=X \ jJ U j = với mọi tập con hữu hạn không rỗng J của I và iI (X \ U i )=X \ iI U i = . Thế thì họ (F i = X \U i ) iI các tập con đóng có tính giao hữu hạn với iI F i = . Định lý 1.10 Giả sử S là tập con đóng của không gian compact X. Thế thì S là compact. Chứng minh. Giả sử S là tập con đóng của không gian compact X và (U i ) iI là họ các tập mở (trong X) phủ S. Khi đó U = X \S cùng với (U i ) iI là họ các tập mở phủ X. Giả sử họ con hữu hạn (U i 1 , , U i n ,U) phủ X. Vì U S = ta suy ra (U i 1 , , U i n ) phủ S. Chúng ta nói không gian tôpô X là không gian Hausdorff nếuu với mọi x, y X, x = y đều có các tập mở rời nhau U, V sao cho x U và y V. Hiển nhiên: không gian con của không gian Hausdorff cũng là Hausdorff; tập gồm một điểm trong không gian Hausdorff là tập đóng. Định lý 1.11 Trong không gian Hausdorff, tập compact là tập đóng. Chứng minh. Giả sử S là tập compact của không gian Hausdorff X và x X \S. Với mỗi y S đều có các tập mở rời nhau U y x, V y y. Họ các tập mở (V y ) yS phủ S nên có phủ con hữu hạn (V y 1 , , V y n ). Khi đó U = n i=1 U y i là tập mở chứa x và U X \S. Định lý 1.12 Giả sử f: X Y là ánh xạ liên tục. Nếu X là compact thì ảnh f(X) là compact. Chứng minh. Giả sử (V i ) iI là một phủ mở của f(X). Thế thì (f 1 (V i )) iI là một phủ mở của X. Do X là compact, ta giả sử f 1 (V i 1 ), ,f 1 (V i n ) phủ X; suy ra V i 1 , ,V i n phủ f(X). 9 Tập con S của không gian tôpô X đ-ợc gọi là compact t-ơng đối nếuu bao đóng của S là tập compact. Không gian tôpô X đ-ợc gọi là compact địa ph-ơng nếuu mọi điểm của nó đều có lân cận compact. Ví dụ 1.1.6 Không gian Euclid R n là compact địa ph-ơng. Mỗi tập con của R n là compact t-ơng đối khi và chỉ khi nó là bị chặn. Để kết thúc mục này chúng tôi phát biểu định lý sau đây mà không đ-a ra chứng minh. Định lý 1.13 Nếu (X i ) iI là một họ các không gian compact thì X = iI X i cũng là compact. 1.2 Không gian metric 1.2.1 Không gian metric Giả sử X là một tập và d là ánh xạ từ X ìX vào tập các số thực R. Chúng ta sẽ nói d là một khoảng cách (metric) trong X nếuu ba điều kiện sau đ-ợc thoả mãn: (dis 1). d(x, y) > 0 với mọi x = y và d(x, x)=0với mọi x. (dis 2). d(x, y)=d(y,x) với mọi x, y (tính đối xứng). (dis 3). d(x, y) d(x, z)+d(z,y) với mọi x, y, z (bất đẳng thức tam giác). Khi d là một khoảng cách trong X, ta nói (X, d) là một không gian metric. Trong tr-ờng hợp không có sự lầm lẫn giữa các khoảng cách khác nhau, ta có thể nói X là một không gian metric, và ký hiệu d đ-ợc dùng để chỉ khoảng cách. Giả sử X là không gian metric, x X và A X; ta cũng định nghĩa khoảng cách từ điểm x đến tập A, d(x, A):= inf{d(x, y):y A}. Giả sử S là một tập con của không gian metric (X, d). Khi đó thu hẹp d| S của d trên S là một metric trong S; nh- vậy S (với khoảng cách d| S ) là không gian metric và đ-ợc gọi là không gian con của không gian metric X. Để đơn giản, nhiều khi ta nói mỗi tập con là một không gian con của không gian metric đã cho. Giả sử a là một điểm của không gian metric (X, d) và r là một số thực d-ơng. Tập B(a; r):= {x X : d(x, a) <r} sẽ đ-ợc chúng ta gọi là hình cầu mở tâm a bán kính r. Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập B (a; r):= {x X : d(x, a) r }. Tập S X đ-ợc gọi là mở (trong X) nếuu mỗi x S đều có hình cầu mở tâm x sao cho hình cầu này là tập con của S. Dễ thấy rằng họ tất cả các tập mở trong không gian metric (X, d) là một tôpô trên X, tôpô này đ-ợc gọi là tôpô sinh bởi khoảng cách. Từ đây về sau (nếu không nói gì thêm), ta hiểu không gian metric (X, d) là không gian với tôpô sinh bởi metric này. Chúng ta nói d 1 và d 2 là các khoảng cách t-ơng đ-ơng nếuu chúng sinh ra cùng một tôpô trên X; hay cũng vậy, ánh xạ đồng nhất từ không gian (X, d 1 ) vào không gian (X, d 2 ) là một phép đồng phôi. 10 [...]... Chứng minh rằng: không gian định chuẩn vô hạn chiều không là compact địa ph-ơng 44 Giả sử S là một tập không rỗng và B(S) là tập tất cả các hàm số (thực hoặc phức) giới nội trên S Phép cộng trong B(S) là cộng các hàm số và phép nhân với l-ợng vô h-ớng là phép nhân hàm số với một số Chứng minh rằng f := sup{|f (x)| : x S} là một chuẩn trong B(S) và (B(S), ) là không gian Banach 45 Giả sử E là không... Thế thì ta có (Ti)iI là bị chặn Chứng minh Từ Hệ quả của Định lý Baire và Định lý Banach-Steinhaus, ta có ngay đpcm 2.1.2 Phiếm hàm và các áp dụng Định lý 2.5 (Định lý Hahn-Banach) Nếu F là không gian con của không gian định chuẩn E và f là phiếm hàm trên F thì tồn tại phiếm hàm g trên E, là mở rộng của f và g = f Chứng minh Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng: nếu v E \ F thì có mở rộng tuyến tính bảo... không gian metric Với mọi cặp điểm x = (x1, x2), y = (y1, y2) của tích X1 ì X2 , ta đặt d1 (x, y):= d(x1 , y1) + d(x2 , y2), d2 (x, y):= d2 (x1, y1 ) + d2 (x2, y2) , d (x, y):= max{d(x1 , y1), d(x2 , y2)} Dễ dàng thấy rằng d1 d2 , d là các khoảng cách t-ơng đ-ơng đồng đều trong X1 ì X2 Từ đây về sau, nếu không nói gì thêm, ta hiểu tích của hai không gian metric (X1 , d) và (X2 , d) là không gian X1... Tm(x)T (x) Tn Tm + Tm(x)T (x) Khi m > N, đủ lớn để Tm (x) T (x) < /2 ta có (Tn T )(x) < ; và nh- vậy Tn T Không gian L(E; ) còn đ-ợc gọi là không gian các phiếm hàm trên E Do (là R hoặc C ) là đầy đủ, nên không gian các phiếm hàm là không gian Banach Định lý 2.4 (Định lý Banach-Steinhaus) Cho họ (Ti)iI các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F Thế... 1.3.1 Giả sử (E1 , ) và (E2 , ) là các không gian định chuẩn Với mọi điểm x = (x1, x2 ), của tích E1 ì E2, ta đặt x 1:= x1 + x2 x1 2 + x2 2 , x 2:= x := max{ x1 , x2 } Dễ dàng thấy rằng 1, 2, , là các chuẩn t-ơng đ-ơng trong E1 ì E2 Từ đây về sau, nếu không nói gì thêm, ta hiểu chuẩn trong không gian tích E1 ì E2 là một chuẩn nào đó trong ba chuẩn vừa nêu trên Không gian định chuẩn đầy đủ, còn... 0 = t R thì với y = x/t F, ta có |g(x + tv)| = |t| |g(y + v)| = |t| |f (y) + a | |t| y + v = ty + tv = x + tv ; suy ra g = f Đối với tr-ờng hợp = C Dễ dàng thấy rằng, nếu T là phiếm hàm trên E thì ReT là phiếm hàm từ E vào R Vì mỗi x E đều có t R để T (eitx) = eitT (x) = |T (x)| = ReT (eitx); suy ra T = ReT Hơn nữa, chúng ta còn có 33 T (x) = ReT (x) iReT (ix) Giả sử h là một mở rộng tuyến... mỗi j {1, , n}, ký hiệu Hj là không gian i=1 con sinh bởi (ai )i=j Vì mỗi không gian Hj là một siêu phẳng đóng trong không gian F nên có các phiếm hàm fj trên F sao cho Hj = fj1 (0) và f (aj ) = 1 Theo định lý Hahn-Banach, ta có thể coi fj là phiếm hàm trên E Với mỗi x E, đặt f (x) = n fi (x)ai Dễ thấy rằng f là ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F và i=1 f (y) = y với mọi y F Lấy G = f 1 (0)... B), (B, A)} Chứng minh rằng h là một metric trong K(X) (đ-ợc gọi là khoảng cách Hausdorff); hơn nữa, nếu X đầy đủ thì (K(X), h) cũng là đầy đủ 26 Giả sử (X, d) là không gian metric Chứng minh rằng các hàm cho bởi d(x, y) d1 (x, y):= ln(1+d(x, y)), d2 (x, y):= , d3 (x, y):= max{1 , d(x, y)}, 1 + d(x, y) cũng là các metric trong X Hơn thế nữa, với mỗi m {1, 2, 3}, ánh xạ id : (X, d) (X, dm ) và ng-ợc... gì thêm, ta hiểu tích của hai không gian metric (X1 , d) và (X2 , d) là không gian X1 ì X2 với khoảng cách d là một trong ba khoảng cách nêu trên Định lý 1.16 Giả sử (X, d) là không gian metric Khi đó hàm khoảng cách d là liên tục đều trên X ì X Chứng minh Dành cho đọc giả xem nh- bài tập 1.2.2 Giới hạn Giả sử A là một tập con của không gian metric X, a là một điểm dính của A và f là một ánh xạ từ A... sao cho chuỗi n |xn |2 hội tụ Trong G, ta định nghĩa < x, y >:= n xn yn và x 2 :=< x, x >1/2 Chứng minh rằng (G, 2) là không gian Hilbert khả ly 50 Giả sử I = [1; 1] R Ký hiệu CC(I) là tập tất cả các hàm số phức liên tục 1 trên I Đặt < f, g >:= 1 f (t) g(t) dt và f 2 :=< f, f >1/2 a) Chứng minh rằng (CC(I), 2) là không gian tiền Hilbert và (m / 2)mZ là một hệ trực chuẩn, trong đó m (t) := emit ;