Bài tập giải tích 12 thầy Trần Sĩ Tùng

Bài tập giải tích 12 thầy Trần Sĩ Tùng

Trần Só Tùng Khảo sát hàm số Trang 1 1. Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số f nghòch biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I. c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác đònh của hàm số. – Tính y ′ . Tìm các điểm mà tại đó y ′ = 0 hoặc y ′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y ′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch biến của hàm số. Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 2 245 y xx=−++ b) 2 5 44 x yx=+− c) 2 43yxx=−+ d) 32 22yxxx=−+− e) 2 (4)(1)yxx=−− f) 32 341 y xxx=−+− g) 42 1 21 4 yxx=−− h) 42 23yxx=−−+ i) 42 11 2 1010 yxx=+− k) 21 5 x y x − = + l) 1 2 x y x − = − m) 1 1 1 y x =− − n) 2 226 2 xx y x ++ = + o) 1 3 1 yx x =−+− − p) 2 4159 3 xx y x −+ = CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VNMATHS.TK - Free Ebooks Khảo sát hàm số Trần Só Tùng Trang 2 Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 432 6831yxxx=−+−− b) 2 2 1 4 x y x − = − c) 2 2 1 1 xx y xx −+ = ++ d) 2 21x y x − = e) 2 32 x y xx = −+ f) 322 y xx=++− g) 213 y xx=−−− h) 2 2 y xx=− i) 2 2 y xx=− k) sin2 22 yxx  =−<<   l) sin2 22 yxxx  =−−<<   VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh) Cho hàm số (,) y fxm= , m là tham số, có tập xác đònh D. • Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y ′ ≥ 0, ∀ x ∈ D. • Hàm số f nghòch biến trên D ⇔ y ′ ≤ 0, ∀ x ∈ D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y ′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu 2 ' y axbxx=++ thì: • 0 0 '0, 0 0 ab c yxR a   ==   ≥  ≥∀∈⇔   >    ≤   • 0 0 '0, 0 0 ab c yxR a   ==   ≤  ≤∀∈⇔   <    ≤   3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai 2 ()gxaxbxc=++: • Nếu < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. • Nếu = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2 b a −) • Nếu > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai 2 ()gxaxbxc=++ với số 0: • 12 0 00 0 xxP S  >  <<⇔>   <  • 12 0 00 0 xxP S  >  <<⇔>   >  • 12 00xxP<<⇔< 5) Để hàm số 32 y axbxcxd=+++ có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau: • Tính y ′ . • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến: 0 0 a  ≠  >  (1) Trần Só Tùng Khảo sát hàm số Trang 3 • Biến đổi 12 xxd−= thành 22 1212 ()4xxxxd+−= (2) • Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó: a) 3 513yxx=++ b) 3 2 391 3 x y xx=−++ c) 21 2 x y x − = + d) 2 23 1 xx y x +− = + e) 3sin(31) y xx=−+ f) 2 21xmx y xm −− = − Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghòch biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó: a) 5cot(1) y xx=−+− b) cos y xx=− c) sincos22 y xxx=−− Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác đònh (hoặc từng khoảng xác đònh) của nó: a) 32 3(2) y xmxmxm=−++− b) 32 21 32 xmx yx =−−+ c) xm y xm + = − d) 4mx y xm + = + e) 2 21xmx y xm −− = − f) 22 23 2 xmxm y xm −+ = − Bài 4. Tìm m để hàm số: a) 32 3 y xxmxm=+++ nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. b) 32 11 231 32 yxmxmxm=−+−+ nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. c) 32 1 (1)(3)4 3 yxmxmx=−+−++− đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. Bài 5. Tìm m để hàm số: a) 3 2 (1)(1)1 3 x y mxmx=++−++ đồng biến trên khoảng (1; +∞). b) 32 3(21)(125)2yxmxmx=−++++ đồng biến trên khoảng (2; +∞). c) 4 (2) x ym xm + =≠± + đồng biến trên khoảng (1; +∞). d) xm y xm + = − đồng biến trong khoảng (–1; +∞). e) 22 23 2 xmxm y xm −+ = − đồng biến trên khoảng (1; +∞). f) 2 23 21 xxm y x −−+ = + nghòch biến trên khoảng 1 ; 2  −+∞   . VNMATHS.TK - Free Ebooks Khảo sát hàm số Trần Só Tùng Trang 4 VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: • Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥ , ≤ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác đònh do đề bài chỉ đònh. • Xét dấu f ′ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến. • Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận. Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f ′ (x) thì ta đặt h(x) = f ′ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h ′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3 sin,0 6 x xxxvớix−<<> b) 21 sintan,0 332 xxxvớix+><< c) tan,0 2 xxvớix<<< d) sintan2,0 2 xxxvớix+><< Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) tan ,0 tan2 aa vớiab bb <<<< b) sinsin,0 2 aabbvớiab−<−<<< c) tantan,0 2 aabbvớiab−<−<<< Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 2 sin,0 2 x xvớix><< b) 335 sin,0 66120 xxx xxxvớix−<<−+> Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1,0 x exvớix>+> b) ln(1),0xxvớix+<> c) 1 ln(1)ln,0 1 xxvớix x +−>> + d) ( ) 22 1ln11xxxx+++≥+ Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 0 tan551,4> b) 0 17 sin20 320 << c) 23 log3log4> HD: a) 000 tan55tan(4510)=+. Xét hàm số 1 () 1 x fx x + = − . b) Xét hàm số 3 ()34fxxx=− . f(x) đồng biến trong khoảng 11 ; 22  −   và 0 17 ,sin20, 320 ∈ 11 ; 22  −   . c) Xét hàm số ()log(1) x fxx=+ với x > 1. Trần Só Tùng Khảo sát hàm số Trang 5 VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: • Chọn được nghiệm x 0 của phương trình. • Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghòch biến. Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0 . Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*). Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 55xx+−= b) 53 1340xxx+−−+= c) 571614xxxx+−++++= d) 22 15328xxx+=−++ Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 555 1230xxx+++++= b) ln(4)5xx−=− c) 345 x xx += d) 23538 xxx ++= Bài 3. Giải các bất phương trình sau: a) 345 157751378xxxx++−+−+−< b) 2 272735xxxxx+++++< Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: a) 32 32 32 21 21 21 xyyy y zzz z xxx  +=++   +=++  +=++  b) 32 32 32 2 2 2 xyyy yzzz zxxx  =++−   =++−  =++−  c) tantan 5 23 4 xyyx xy  −=−   +=   d) 32 32 32 6128 6128 6128 yxx zyy xzz  =−+   =−+  =−+  HD: a, b) Xét hàm số 32 ()ftttt=++ c) Xét hàm số f(t) = tant + t d) Xét hàm số 2 ()6128fttt=−+ VNMATHS.TK - Free Ebooks Khảo sát hàm số Trần Só Tùng Trang 6 I. Khái niệm cực trò của hàm số Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D ⊂ R) và x 0 ∈ D. a) x 0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho f(x) < f(x 0 ), với ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f. b) x 0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho f(x) > f(x 0 ), với ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x 0 là điểm cực trò của f thì điểm (x 0 ; f(x 0 )) đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trò tại điểm đó thì f′ (x 0 ) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò 1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x 0 } a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f′ (x 0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 . a) Nếu f′′ (x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . b) Nếu f′′ (x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1. • Tìm f ′ (x). • Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. • Xét dấu f ′ (x). Nếu f ′ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trò tại x i . Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2. • Tính f ′ (x). • Giải phương trình f ′ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …). • Tính f ′′ (x) và f ′′ (x i ) (i = 1, 2, …). Nếu f ′′ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i . Nếu f ′′ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i . II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Trần Só Tùng Khảo sát hàm số Trang 7 Bài 1. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) 23 32 y xx=− b) 32 221 y xxx=−+− c) 32 1 415 3 y xxx=−+− d) 4 2 3 2 x yx=−+ e) 42 45yxx=−+ f) 4 2 3 22 x yx=−++ g) 2 36 2 xx y x −++ = + h) 2 345 1 xx y x ++ = + i) 2 215 3 xx y x −− = − Bài 2. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) 34 (2)(1)yxx=−+ b) 2 2 421 23 xx y xx +− = +− c) 2 2 344 1 xx y xx ++ = ++ d) 2 4yxx=− e) 2 25yxx=−+ f) 2 2 y xxx=+− Bài 3. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) 3 2 1yx=+ b) 3 2 21 x y x = + c) 4 xx y ee − =+ d) 2 552ln y xxx=−++ e) 2 4sin y xx=− f) 2 ln(1) y xx=−+ VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò 1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x 0 thì f ′ (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x 0 thì f ′ (x) đổi dấu khi x đi qua x 0 . Chú ý: • Hàm số bậc ba 32 y axbxcxd=+++ có cực trò ⇔ Phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x 0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x 0 ) bằng hai cách: + 32 0000 () y xaxbxcxd=+++ + 00 () y xAxB=+, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y ′ . • Hàm số 2 '' axbxc y axb ++ = + = () () Px Qx (aa ′≠ 0) có cực trò ⇔ Phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác ' ' b a − . Khi đó nếu x 0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x 0 ) bằng hai cách: 0 0 0 () () () Px yx Qx = hoặc 0 0 0 '() () '() Px yx Qx = • Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. • Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là đònh lí Vi–et. VNMATHS.TK - Free Ebooks Khảo sát hàm số Trần Só Tùng Trang 8 Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu: a) 3223 33(1) y xmxmxm=−+−− b) 32 23(21)6(1)1 y xmxmmx=−++++ c) 224 (1)1xmmxm y xm +−−+ = − d) 2 2 1 xmxm y xm +−+ = −+ Bài 2. Tìm m để hàm số: a) 32 (2)35 y mxxmx=+++− có cực đại, cực tiểu. b) 322 3(1)(232)(1)yxmxmmxmm=−−+−+−− có cực đại, cực tiểu. c) 322 3(1)2yxmxmx=−+−+ đạt cực đại tại x = 2. d) 42 2(2)5ymxmxm=−+−+− có một cực đại 1 . 2 x = e) 2 22xmx y xm −+ = − đạt cực tiểu khi x = 2. f) 22 (1)42 1 xmxmm y x −+−+− = − có cực đại, cực tiểu. g) 2 1 xxm y x −+ = − có một giá trò cực đại bằng 0. Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trò: a) 32 3334yxxmxm=−+++ b) 32 3(1)1 y mxmxmx=+−−− c) 2 5 3 xmx y x −++ = − d) 22 (1)42 1 xmxmm y x −+−+− = − Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số: a) 32 y axbxcxd=+++ đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4 27 tại x = 1 3 b) 42 y axbxc=++ có đồ thò đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trò bằng –9 tại x = 3 . c) 2 1 xbxc y x ++ = − đạt cực trò bằng –6 tại x = –1. d) 2 axbxab y bxa ++ = + đạt cực trò tại x = 0 và x = 4. e) 2 2 2 1 axxb y x ++ = + đạt cực đại bằng 5 tại x = 1. Bài 5. Tìm m để hàm số : a) 3222 2(1)(41)2(1)yxmxmmxm=+−+−+−+ đạt cực trò tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 12 12 111 () 2 xx xx +=+. b) 32 1 1 3 y xmxmx=−+− đạt cực trò tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 12 8xx−≥. c) 32 11 (1)3(2) 33 ymxmxmx=−−+−+ đạt cực trò tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 12 21xx+=. Trần Só Tùng Khảo sát hàm số Trang 9 Bài 6. Tìm m để hàm số : a) 2 2 1 xmxm y xm +−+ = −+ có cực đại, cực tiểu và các giá trò cực đại, cực tiểu cùng dấu. b) 22 (1)42 1 xmxmm y x −+−+− = − có cực đại, cực tiểu và tích các giá trò cực đại, cực tiểu đạt giá trò nhỏ nhất. c) 2 3 4 xxm y x −++ = − có giá trò cực đại M và giá trò cực tiểu m thoả 4Mm−=. d) 2 232 2 xxm y x ++− = + có 12 CĐCT yy−<. Bài 7. Tìm m để đồ thò hàm số : a) 32 4yxmx=−+− có hai điểm cực trò là A, B và 2 2 900 729 m AB = . b) 42 4 y xmxxm=−++ có 3 điểm cực trò là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm. c) 2 2xmxm y xm ++− = − có hai điểm cực trò nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh hai điểm cực trò luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành. d) 2 1 xmx y x + = − có khoảng cách giữa hai điểm cực trò bằng 10. e) 2 25 1 xmx y x −++ = − có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng y = 2x. f) 2 23xxm y xm +++ = − có hai điểm cực trò và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. Bài 8. Tìm m để đồ thò hàm số : a) 32 21213yxmxx=+−− có hai điểm cực trò cách đều trục tung. b) 323 34 y xmxm=−+ có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. c) 323 34 y xmxm=−+ có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3280xy−+=. d) 22 (21)1 1 xmxm y x ++++ = + có hai điểm cực trò nằm ở hai phía đối với đường thẳng (d): 2310xy−−= . Bài 9. Tìm m để đồ thò hàm số : a) 2 (1)21xmxm y xm −++− = − có hai điểm cực trò ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ. b) 222 2(41)322 2 mxmxmm y xm ++++ = + có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ. VNMATHS.TK - Free Ebooks Khảo sát hàm số Trần Só Tùng Trang 10 c) 222 (1)4mxmxmm y xm −+++ = − có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ nhất và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ. d) 22 (21)1 1 xmxm y x ++++ = + có hai điểm cực trò nằm ở hai phía của trục hoành (tung). VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò 1) Hàm số bậc ba 32 () y fxaxbxcxd==+++. • Chia f(x) cho f ′ (x) ta được: f(x) = Q(x).f ′ (x) + Ax + B. • Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trò thì: 111 222 () () y fxAxB y fxAxB  ==+  ==+  ⇒ Các điểm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B. 2) Hàm số phân thức 2 () () () Pxaxbxc yfx Qxdxe ++ === + . • Giả sử (x 0 ; y 0 ) là điểm cực trò thì 0 0 0 '() '() Px y Qx = . • Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò ấy là: '()2 '() Pxaxb y Qxd + == . Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số : a) 32 21 y xxx=−−+ b) 23 32 y xx=− c) 32 368 y xxx=−−+ d) 2 21 3 xx y x −+ = + e 2 1 2 xx y x −− = − Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số: a) 3223 33(1) y xmxmxm=−+−− b) 2 6xmx y xm +− = − c) 322 3(1)(232)(1)yxmxmmxmm=−−+−+−− d) 2 2 1 xmxm y xm +−+ = −+ Bài 3. Tìm m để hàm số: a) 32 23(1)6(2)1 y xmxmx=+−+−− có đường thẳng đi qua hai điểm cực trò song song với đường thẳng y = –4x + 1. b) 32 23(1)6(12) y xmxmmx=+−+− có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò nằm trên đường thẳng y = –4x. c) 32 73yxmxx=+++ có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7. d) 322 3 y xxmxm=−++ có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng ( ): 15 22 yx=−. [...]... Free Ebooks n Só Tùng Trầ đúng với mọi x ⇔ m ≥ đúng với mọi x ⇔ M ≤ ¤ £ Khảo sát hàm số Bài 1 Giải các phương trình sau: a) 4 x −2 + 4 4− x = 2 c) x 5 + (1 − x )5 = b) 3 x + 5 x = 6 x + 2 1 16 Bài 2 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x + 2 x 2 + 1 = m c) b) d) 3 + x + 6 − x − (3 + x )(6 − x ) = m 2 − x + 2 + x − (2 − x )(2 + x ) = m 7 − x + 2 + x − (7 − x )(2 + x ) = m Bài 3 Tìm m để các... x + 4 x3 − 1 1 x2 − 4 x + 3 Trần Só Tùng Khảo sát hàm số x −1 3 e) y = 3 x 2 − x 3 x +1 Bài 4 Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau: f) y = d) y = x x2 − 3x + 2 x −2 e x − e− x c) y = ln( x 2 − 5 x + 6) x 2 2 −1 Bài 5 Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng: a) y = a) y = 2x +1 b) y = ln 3 b) y = 2 + x2 3 x 2 + 2(m + 1) x + 4 2 x 2 + 2 mx + m − 1 Bài 6 Tìm m để đồ thò của các... 3x + 6 ; (T ) : y = ; − 2m = 0 x −1 x −1 x −1 Trang 24 Trần Só Tùng Khảo sát hàm số x2 − 5x + 4 x 2 − 5x + 4 x 2 − 5x + 4 ; (T ) : y = ; −m+2= 0 b) (C ) : y = x x x c) (C ) : y = x 3 − 3 x 2 + 6; (T ) : y = x 3 − 3 x 2 + 6 ; x 3 − 3 x 2 + 6 − m + 3 = 0 3 3 d) (C ) : y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4; (T ) : y = 2 x − 9 x 2 + 12 x − 4; 2 x − 9 x 2 + 12 x + m = 0 e) (C ) : y = ( x + 1)2 (2 − x ); (T ) : y... C xA xB x2 xC o yCT f(0) x yCT Trang 26 x Trần Só Tùng Khảo sát hàm số Bài 1 Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm: a) 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6 mx − 2 = 0 b) x 3 − 3 x 2 + 3(1 − m) x + 1 + 3m = 0 c) 2 x 3 − 3mx 2 + 6(m − 1) x − 3m + 12 = 0 d) x 3 − 6 x 2 − 3(m − 4) x + 4m − 8 = 0 e) 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6(m − 2) x + 2 − m = 0 f) x 3 − 3mx + 2m = 0 Bài 2 Tìm m để các phương trình sau chỉ có... xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 x −3 Bài 17 Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước:  (3m + 1) x − m 2 + m (m ≠ 0) tại điểm A có yA = 0 và d: y = x − 10 x+m Bài 18 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết đi qua điểm được chỉ ra: a) (C): y =   a) (C): y = − x 3 + 3 x − 2 ; A(2; –4) b) (C): y = x 3 − 3 x + 1 ; B(1; –6) Trang 30 Trần Só Tùng Khảo sát hàm... yM • Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3) Trang 32 (3) Trần Só Tùng Khảo sát hàm số Bài 1 Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y = − x 3 + 3 x 2 − 2 b) (C ) : y = x 3 − 3 x + 1 Bài 2 Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C): a) c) e) Bài 3 x +1 x2 + x + 2 ; d là trục hoành (C ) : y = ; d là trục tung b)... y = x −1 x −1 −2 x + 3 Bài 2 Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B 1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB 2) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là không đổi 2) Chứng minh diện tích của IAB là một hằng số 3) Tìm điểm M để chu vi IAB là nhỏ nhất   Trang 34   Trần Só Tùng Khảo sát hàm số x... −2 2x +1 x2 + x − 2 c) y = x +1 f) y = x2 − 2 x x +1 c) y = x 4 − 2 x 2 − 3 f) y = x2 + 3x + 3 x+2 Trần Só Tùng Khảo sát hàm số VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1 Cho hai đồ thò (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm) Số nghiệm của phương trình... mx 4 − 4 x + m ≥ 0 Bài 4 Cho bất phương trình: x 3 − 2 x 2 + x − 1 + m < 0 a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2] b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2] Bài 5 Tìm m để các bất phương trình sau: a) mx − x − 3 ≤ m + 1 có nghiệm b) (m + 2) x − m ≥ x + 1 có nghiệm x ∈ [0; 2] c) m( x 2 − x + 1) ≤ x 2 + x + 1 nghiệm đúng với mọi x ∈ [0; 1] Trang 14 Trần Só Tùng Khảo sát hàm số... Vậy minS = 5 4 Bài 3 Cho D = {( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y < 1} Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: ⇒ S ≥ 5 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 1, y = P= x2 y2 1 + + x+y+ 1− x 1− y x+y 1 1 1 x2 y2 1 + (1 + y ) + + −2 = + + −2 1− x 1− y x + y 1− x 1− y x + y  1 1 1  Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [(1 − x ) + (1 − y ) + ( x + y )]  + + ≥9 1− x 1− y x + y  HD: P = (1 + x ) + Trang 12 Trần Só Tùng ⇔ Khảo sát