Bài tập giải tích 12 tập 3 khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng

Bài tập giải tích 12 tập 3 khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Bài tập giải tích 12 tập 3 khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Bài tập giải tích 12 tập 3 khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Bài tập giải tích 12 tập 3 khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Bài tập giải tích 12 tập 3 khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng

1 Khái niệm nguyên hàm

· Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

3 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

4 Phương pháp tính nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Nếu ịf u du F u C( ) = ( )+ và u u x= ( ) có đạo hàm liên tục thì:

ịf u x u x dx F u x[ ( ) '( )] = [ ( )]+C

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

– Nắm vững bảng các nguyên hàm

– Nắm vững phép tính vi phân

Bài 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

2 2

4( ) ln

32( )

x

F x

x x

2 1( ) ln

Bài 5 Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

-

x x

-

í

ïỵg) ( ) ( 1)sin 2sin 2 3sin3 , ,

-VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm ịf x dx( ) bằng phương pháp đổi biến số

· Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u x u x thì ta đặt [ ( ) '( )] t u x= ( ) Þdt u x dx= '( )

Khi đó: ịf x dx( ) = ( )ịg t dt , trong đó ( )ịg t dt dễ dàng tìm được

Chú ý: Sau khi tính ( )ịg t dt theo t, ta phải thay lại t = u(x)

· Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:

Bài 1 Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):

(3 2 )

dx x

cos

xdx x

x a= t - < <p t p hoặc x a= cot ,t 0< <t p

ị c) ị 1-x dx2

d)

24

+

ị

21

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Bài 1 Tính các nguyên hàm sau:

a) sinịx xdx b) ịxcosxdx c) ị(x2+5)sinxdx

d) ị(x2+2x+3)cosxdx e) ịxsin 2xdx f) ịxcos2xdx

Bài 3 Tính các nguyên hàm sau:

a) ịe x.cosxdx b) ịe x(1 tan+ x+tan )2x dx c) ịe x.sin 2xdx

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ

Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x) Bước 1: Tìm hàm g(x)

Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:

F x = A x +B x + là nguyên hàm của f(x) C

Bài 1 Tính các nguyên hàm sau:

-ị

VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1 f(x) là hàm hữu tỉ: ( ) ( )

– Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức

– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định)

· f(x) là hàm lượng giác

Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản Chẳng hạn:

+ Nếu ( sin ,cos ) R - x x = -R(sin ,cos )x x thì đặt t = cosx

+ Nếu (sin , cos ) R x - x = -R(sin ,cos )x x thì đặt t = sinx

+ Nếu ( sin , cos ) R - x - x = -R(sin ,cos )x x thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

Bài 3 Tính các nguyên hàm sau:

a) sin 2 sin 5ị x xdx b) cos sin3ị x xdx c) ị(tan2x+tan )4x dx

1 Khái niệm tích phân

· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Ỵ K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là b ( )

· Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì

diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: b ( )

3 Phương pháp tính tích phân

a) Phương pháp đổi biến số

( )( ) '( ) u b ( )

b) Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Ỵ K thì:

II TÍCH PHÂN

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho b

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:

a

f x dx F b F a=

-ị

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

– Nắm vững bảng các nguyên hàm

– Nắm vững phép tính vi phân

Bài 1 Tính các tích phân sau:

1

dx x x

2

dx x

14

1 cos

1 cosx dx

x

+

-ị

p

i) 2 2 2 0

+

2

x x

e

+

2

x x

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Giả sử ta cần tính ( ) b

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:

f(x) có chứa Cách đổi biến

x a= t - £ £p t p hoặc x a= cos ,t 0£ £t p

x a= t - < <p t p hoặc x a= cot ,t 0< <t p

Bài 1 Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):

a) ị1

-0

19

)1

0

3 2

3

)1

0 2

5

1dx

x x

d) ị1 +

01

01

1

2

dx x

x

0 1

x x

e dx e

1

lnln31

0 cos2 4sin2

2sin

p

dx x x

sin.cos

p

dx x

2sin

p

dx x x

dx x

-ị

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Bài 1 Tính các tích phân sau:

(

p

xdx x

0

2cos xdx x

( )

b

x a

-++

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ

Bài 1 Tính các tích phân sau:

0

1 sin 2 x dx

p-

1 sin xdx+

ịp

VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ

Bài 1 Tính các tích phân sau:

3

1

2x x

dx x

x x

dx

0

11

x

+ ++

ị

1

23

dx x

0

2

2 3

4

942

dx x

x x x

0

1(x+2) (x+3) dx

0

11

x

+ ++

+

0

2

1 x dx x

+

-ị

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ

Bài 1 Tính các tích phân sau:

dx x x

++

2 3

dx x

2 2 2

2

x dx x

5 4

2 1

12x-4x -8dx

ị

Bài 3 Tính các tích phân sau:

ị

p

c) 2

2 0

cos

2 cos

xdx x

cos

1 cos

xdx x

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác

Bài 1 Tính các tích phân sau:

a) ị4

0

cos.2

p

dx x x

p

xdx

0sin xcos xdx

p

dx x

Bài 2 Tính các tích phân sau:

a) ị2

-0

5

3 sin coscos

1

p

xdx x

6

cossin

2cos2sin1

p

p

dx x x

x

x x

p

dx x e

sin

2 sinx dx x

cos

p

dx x x

ị

p

p) ị4

0 4

cos

p

x

dx

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit

Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm

Bài 1 Tính các tích phân sau:

e

x x

p

xdx x

ị

p

p

m) 10

ln( 1)1

x

++

ị

VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt

Dạng 1 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

· Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì a ( ) 0

-= ị bằng phương pháp đổi biến Đặt t = – x

– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K Þ I = J + K = 0

– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K Þ I = J + K = 2K

Dạng 2 Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:

-=+

a

(với a Ỵ R + và a > 0) Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên

Để tính J ta cũng đặt: t = –x

Dạng 3 Nếu f(x) liên tục trên 0;

Dạng 5 Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ

Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x) Ta thực hiện các bước như sau:

F x = A x +B x + là nguyên hàm của f(x) C

Bài 1 Tính các tích phân sau (dạng 1):

a) 4 7 5 43

4

1cos

1 2

1cos ln

x

-++

p

p

i) 2 2 22

ò

p

c) 20

1 sinln

0.sin

cossin cos

VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi

Giả sử cần tính tích phân n b ( , )

a

I =ị f x n dx (n Ỵ N) phụ thuộc vào số nguyên dương n Ta thường gặp một số yêu cầu sau:

· Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn I n theo các I n-k (1 £ k £ n)

· Chứng minh một công thức truy hồi cho trước

· Tính một giá trị

0

n

I cụ thể nào đó

Bài 1 Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:

0

sin

n n

u x

dv e dx

ìï =í

=ïỵf)

1

ln

e

n n

2(1 )n

t

x

+

=

1 Diện tích hình phẳng

· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]

· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]

– Hai đường thẳng x = a, x = b

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d

c

S=ị g y h y dy

-2 Thể tích vật thể

· Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm

các điểm a và b

S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a £ x £ b) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]

a

V =ịS x dx

· Thể tích của khối tròn xoay:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

quay xung quanh trục Oy:

(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d

c

V =pịg y dy

VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng

Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

g) y= x y, = -2 x y, = 0 h) y 1 ,2x y e x, x 1

e

-

g) y=sinx+cos ,2x y=0, x=0,x= p h) y x= +sin ;x y x x= ; =0; x= p 2

i) y x= +sin ;2x y= p =;x 0; x = p k) sin2 sin 1, 0, 0,

e) ( ) :C y x= 2-2x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C)

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể

Bài 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

Bài 2 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Oy:

a) x 2 , 1, 4y y

y

Bài 3 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay

quanh: i) trục Ox ii) trục Oy

l) x y- 2 =0, y=2, x= 0 m) y2 =x y3, =0, x= 1

Bài 1 Tính các tích phân sau:

1

12

11

+

ị

r) 1 2

2 3

tancos 1 cos

dx e

0ln(1 )

1

ln.ln3

4

y= x - x , tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị có hoành độ x = 2 3

Bài 6 Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục:

a) y= x y, =0,x=3;Ox b) y x= ln ,x y=0, x=1, x e Ox= ;c) y xe y= x, =0, x=1;Ox d) y= -4 x y x2, = 2+2;Ox

e)y2 = -4 x x, =0;Oy f) x ye x= y, =0, y=1;Oy

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này

transitung_tv@yahoo.com