BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM doc

BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM 1.1.2 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập mở nếu và chỉ nếu mọ i x trong A, có r > 0 sao cho B (x, r) ⊂ A. Giải • Giả sử mọi x trong A, có r x > 0 sao cho B(x, r x ) ⊂ A. Ta chứng minh A =  x∈A B(x, r x ). Cho z trong A, ta có z ∈ B(z, r z ). Vậy A ⊂  x∈A B(x, r x ). Ch z trong  x∈A B(x, r x ), Có x ∈ A sao cho z ∈ B(x, r x ). Vì B(x, r x ) ⊂ A, ta có z ∈ A. • Giả sử A là tập mở , ta chứng minh với mọi x trong A, có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ A. Có một họ quả cầu mở {B(a i , r i )} i∈I trong E sao cho A =  i∈I B(a i , r i ). Cho x trong E, có i trong I sao cho x ∈ B(a i , r i ). Đặt r = r i − ||x − a i ||, ta có B(x, r) ⊂ B(a i , r i ) ⊂  i∈I B(a i , r i ) ⊂ A. 1.1.4 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập đóng nếu và chỉ nếu mọ i dãy {x n } trong A hội tụ về x trong E thì x ∈ A. Giải Giả sử A là một tập đóng. Cho dãy {x n } trong A hội tụ về x trong E ta chứng minh x ∈ A. Ta dùng phản chứng: giả sử x ∈ E \ A. Ta có E \ A là một tập mở, nên có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ E \ A, hay y ∈ E \ A ∀ y ∈ E, ||y − x|| < r. (1) Mặt khác với ε = r, ta tìm được một số nguyên N sao cho ||x n − x|| < ε ∀ n ≥ N. (2) 1 Từ đó ta có x N ∈ A ∩ (E \ A) : mâu thuẩn. Vậy x ∈ A. Nay giả sử mọi dãy {x n } trong A hội tụ về x trong E thì x ∈ A. Ta chứng minh A đóng, hay E \ A là một tập mở . Ta dùng phản chứng: E \ A không là một tập mở. Lúc đó có một x trong E \ A, và với mọi số thực dương r có một y r sao cho ||y r − x|| < r và y r ∈ A. Đặt x n = y 1/n . Ta thấy {x n } trong A hội tụ về x trong E nhưng x ∈ E \ A: vô lý. 1.3.10 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập đóng nếu và chỉ nếu A = A. Giải Giả sử A là một tập đóng. Ta chứng minh A = A. • Chứng minh A ⊂ A: Cho x trong A, ta chứng minh x ∈ A, hay B(x, r) ∩ A = ∅. Vì x ∈ B(x, r) ∩ A, ta có kết quả • Chứng minh A ⊂ A: Cho x trong A, chứng minh x trong A. Với mọi r > 0 có y r ∈ A ∩ B(x, r). Đặt x n = y 1/n với mọi số nguyên n. Ta có ||x n − x|| < 1 n ∀ n ∈ IN. Từ đó {x n } hội tụ về x. áp dụng bài 1.1.4, ta thấy x ở trong A. Giả sử A = A . Ta chứng minh A là một tập đóng. Ta dùng bài 1.1.4. Cho dãy {x n } trong A hội tụ về x tr ong E ta chứng minh x ∈ A. Với giả thiết A = A, ta chỉ cần chứng minh x ∈ A. Ta có : với mọi ε = r > 0 có mộ t số nguyên N sao cho ||x n − x|| < ε ∀ n ≥ N. Vậy B(x, r) ∩ A = ∅ với mọi r > 0 : x ∈ A 1.3.1 Cho a và b là hai vectơ trong một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh |||a|| − ||b||| ≤ ||a − b||. (1) Suy ra hàm số f liên tục trên (E, ||.||), nếu f (x) = ||x|| với mọi x trong E. Giải Ta thấy (1) tương đương với  ||a|| − ||b|| ≤ ||a − b||, ||b|| − ||a|| ≤ ||a − b||. 2 hay  ||a|| ≤ ||a − b|| + ||b||, ||b|| ≤ ||a − b|| + ||a||. hay  ||(a − b ) + b|| ≤ ||a − b|| + ||b||, ||(b − a) + a|| ≤ ||a − b|| + ||a||. Vậy ta có (1). Từ (1) ta có |f(y) − f(x)| ≤ ||y − x|| ∀ x, y ∈ E. Vậy với mọi ε > 0, chọn δ = ε 2 ta có |f(y) − f(x)| < ε ∀ x, y ∈ E, ||x − y|| < δ. Vậy f liên tục trên E. 1.3.2 Cho A là một tập hợp bị chặn trong một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh có một số thực dương r sao cho A ⊂ B(0, r). Giải Có số thực M sao cho ||x|| ≤ M ∀ x ∈ A. Đặt r = M + 1, ta có ||x − 0|| = ||x|| < r ∀ x ∈ A. Vậy x ∈ B(0, r), từ đó A ⊂ B(0, r). 1.3.11 Cho A là một tập hợp compắc trong một không gian định chuẩn (E, ||||). Chứng minh (i) A đóng. (ii) A bị chặn. Giải Cho một dãy {y n } trong A, ta có một dãy con {y n k } của {y n }, sao cho {y n k } hội tụ về y trong A. Áp dụng bài 1.1.4 , ta thấy A là một tập đóng trong E.  Nay ta chứng minh A bị chặn. Ta dùng phản chứng : giải sử A không bị chặn. Dùng qui nạp toán học ta tìm được một dãy {x n } có tính chất 1 + ||x 1 || + · · · + ||x n || < ||x n+1 || ∀ n ∈ IN. 3 Vậy 1 < ||x m || − ||x n || ≤ ||x m − |x n || ∀ m, n ∈ IN , m > n. hay 1 < ||x m − |x n || ∀ m, n ∈ IN , m = n. (1) Cho {x n k } là một dãy con của dãy {x n }. Theo (1), 1 < ||x n k − |x n k ′ || ∀ k, k ′ ∈ IN , k = k ′ . Vậy {x n k } không là mộ t dãyCauchy, nên không hội tụ : mâ u thuẩn với giả thiết compắ c của A. 1.1.6 Cho A là một tập hợp khác trống trong một không gian định chuẩn (E, |||| E ) và f là một ánh xạ từ A vào một không gian định chuẩn (F, |||| F ) . Chứng minh f liên tục trên A nếu và chỉ nếu với mọi tập mở V trong F , có một tập mở W trong E s ao cho f −1 (V ) = W ∩ A. Giải • Giả sử f liê n tục trên A. Cho một tập mở V trong F , ta tìm một tập mở W trong E sao cho f −1 (V ) = W ∩ A. Cho x trong B ≡ f −1 (V ), ta có y = f(x) ∈ V . Do bài 1.1.2 và sự liên tục của f tại x, ta thấy có r x > 0 sao cho B(y, r x ) ⊂ V , và với ε = r x , có một δ x > 0 sao cho ||f(z) − f(x)|| F < ε ∀ z ∈ A, ||z − x|| E . hay f(z) ∈ B(y, ε) với mọi z ∈ A ∩ B(x, δ x ), hay f(A ∩ B(x, δ x )) ⊂ B(y, ε) = B(y, r x ) ⊂ V . Đặt W =  x∈B B(x, δ x ). Ta có W ∩ A =  x∈B B(x, δ x ) ∩ A và f(W ∩ A) = f(  x∈B B(x, δ x ) ∩ A) ⊂  x∈B f(B(x, δ x ) ∩ A) ⊂ V V =  x∈B {f (x)} ⊂ f (W ∩ A). Vậy f(W ∩ A) = V . • Giả sử với mọi tập mở V trong F, có một tập mở W trong E sao cho f −1 (V ) = W ∩ A. Ta chứng minh f liên tục trên A. Cho x trong A, và ε > 0, ta tìm δ sao cho ||f(z) − f(x)|| F < ε ∀ z ∈ A, ||z − x|| E . 4 hay f(A ∩ B(x, δ)) ⊂ B(f (x), ε). hay A ∩ B(x, δ) ⊂ f −1 (B(f (x), ε)). Đặt V = B(f (x), ε). Theo giả thiết có một tập mở W trong E sao cho f −1 (V ) = W ∩ A. Vậy x ∈ W. Theo bài 1.1.2, ta có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ W . Đặt δ = r, ta có A ∩ B(x, δ) ⊂ W ∩ A = f −1 (B(f (x), ε)). 1.1.6 Cho A là một tập hợp compắc trong một không gian định chuẩn (E, |||| E ) và f là một á nh xạ liên tục từ A vào một không gia n định chuẩn (F, |||| F ) . Chứng minh f (A) compắc trong F . Giải Cho {y n } là một dãy trong f(A). Ta sẽ tìm mộ t dãy con {y n k } của {y n } hội tụ về y tr ong f(A).  Chọn x n trong A sao cho f (x n ) = y n . Vì A compắc, có một dãy con {x n k } của {x n } hội tụ về x trong A. Do tính liên tục của f , {f (x n k )} hội tụ về y = f(x). 1.2.5i Cho A là một tập hợp khác tr ống và (E, ||||) là một không gian định chuẩn trên Φ. Đặt B(A, E) là tập hợp các ánh xạ f từ A vào E sao cho f (A) bị chặn trong E. Với mọi f và g trong B(A, E), x trong A và α trong Φ ta đặt (f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf (x), ||f|| ∞ = sup{||f (y)|| : y ∈ A}. Chứng minh (B(A, F ), ||.|| ∞ ) là một không gian định chuẩn. Giải Cho f và g trong B(A, E) và α trong Φ, ta chứng minh f + g và αf ở trong B(A, E). Có hai số thực dương M 1 và M 2 sao cho ||f(x)|| ≤ M 1 ∀ x ∈ A. (1) ||g(x)|| ≤ M 2 ∀ x ∈ A. (2) 5 Từ (1) và (2) ta có ||(f + g)(x)|| = ||f (x) + g(x)|| ≤ ||||f(x)|| + ||g(x)||M 1 + M 2 ∀ x ∈ A.) ||(αf)(x)|| = ||αf(x)|| = |α||f(x)|| ≤ |α|M 1 ∀ x ∈ A. Vậy f + g và αf ở trong B(A, E). Từ đó B(A, E) là một không gian vectơ. Nay ta chứng minh ||.|| ∞ là một chuẩn trên B(A, E). Cho f và g trong B(A, E), x trong A và α trong Φ. Vì ||f (x)|| ≥ 0, nên ||f|| ∞ = sup{||f (y)|| : y ∈ A} ≥ 0. Nếu ||f || ∞ = 0, ta có sup{||f (y)|| : y ∈ A} = 0. Vậy ||f(y)|| = 0 ∀ y ∈ A. Vậy f(y) = 0 với mọi y trong A hay f = 0. Ta có ||αf|| ∞ = sup{||αf(y)|| : y ∈ A} = sup{|α|||f(y)|| : y ∈ A} = sup |α|{||f(y)|| : y ∈ A} = α| sup |{||f (y)|| : y ∈ A} = ||α|||f|| ∞ . Đặt C = {||f(y)|| : y ∈ A} và D = {||g(y)|| : y ∈ A}, ta c ó ||f + g|| ∞ = sup |{||f (y) + g(y)|| : y ∈ A} ≤ s up |{||f(y)|| + ||g(y)|| : y ∈ A} ≤ sup(C + D) ≤ sup C + sup D = ||f || ∞ + ||g|| ∞ . Vậy ||.|| ∞ là một chuẩn trên B(A, E). 1.2.7i,ii Cho [a, b] là một khoảng đóng bị chặn trong IR. Đặt X = C([a, b], IR) là tập các hàm số thực liên tục trên [a, b]. Với mọi f và g trong X, x tr ong [a, b] và α trong IR ta đặt (f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf (x), ||f|| ∞ = sup{|f (y)| : y ∈ [a, b]}. Chứng minh (X, ||.|| ∞ ) là một không gian định chuẩn con của B([a, b], IR), và (X, ||.|| ∞ ) là một không gian Banach. 6 Giải Cho f và g trong X và α trong IR. Ta thấy f + g và αf là các hàm số thực liên tục, nên X là một không gian vectơ trên IR. Vì f ([a, b]) bị chặn với mọi f trong X, nên X chứa trong B([a, b], IR). Vậy X là không gian vec tơ con của B([a, b], IR). Suy ra (X, ||.|| ∞ ) là không gian vectơ định chuẩn con của B([a, b], IR). Ta chứng minh (X, ||.|| ∞ ) là một không gian Banach. Cho {f m } là một dãy Cauchy trong X. Ta tìm một f trong X sao cho {f m } hội tụ về f trong X, hay lim m→∞ ||f m − f || ∞ = 0. (1) Trước hết ta xác định f. Vì {f m } là một dãy Cauchy trong X ta có ∀ ε > 0, ∃N (ε) ∈ IN : |f m − f n || ∞ < ε m > n ≥ N(ε). hay ∀ ε > 0, ∃N (ε) ∈ IN : |f m (x) − f n (x)| < ε m > n ≥ N(ε), x ∈ [a, b]. (2) Vậy, với mọi x trong [a, b], {f m (x)} là một dãy Cauchy trong IR , và hội tụ về một số thực được ký hiệu là f (x). Ta đã xác định được một hàm số thực f trên [a, b]. Nay ta chứng minh f thuộc X, nghĩa là f liên tục trên [a, b]. Cho x trong [a, b], ta có ∀ ε ′ > 0, ∃M (x, ε ′ ) ∈ IN : |f k (x) − f(x)| < ε ′ ∀ k ≥ M(x, ε ′ ). (3) Từ (2) và (3), ta thấy |f n (x) − f (x)| ≤ |f n (x) − f m (x)| + |f m (x) − f (x)| < ε ′ + ε ∀ n ≥ N(ε), m ≥ max{n, N(ε), M(x, ε ′ )}, x ∈ [a, b]. (4) Chọ ε, chọn ε ′ = ε 2 và m = max{n, N (ε) ≥ M(x, ε ′ )}, ta có |f n (x) − f(x)| < 2ε ∀ n ≥ N(ε), x ∈ [a, b]. (5) Cho y và z trong [a, b], từ (5) |f(y) − f(z)| ≤ |f(y) − f k (y)| + |f k (y) − f k (z)| + |f k (z) − f(z)| ≤ 4ε + |f k (y) − f k (z)| k ≥ N(ε). (6) 7 Chọn k = N(ε), do tính liên tục đều của f k , ta có ∀ ε” > 0, ∃η(ε”) > 0 : |f k (y) − f k (z)| < ε” ∀ y, z ∈ [a, b], |y − z| < η(ε”). (7) Từ (6) và (7) ta có ∀ ε” > 0, ∃η(ε”) > 0 : |f(y) − f(z)| < 4ε + ε” ∀ y, z ∈ [a, b], |y − z| < η(ε”), ε > 0, hay ∀ ε” > 0, ∃η(ε”) > 0 : |f(y) − f(z)| ≤ ε” ∀ y, z ∈ [a, b], |y − z| < η(ε”). Vậy f liên tục trên [a, b]. Nay ta chứng minh (1). Theo (5), ta có |f n (x) − f(x)| < 2ε ∀ n ≥ N(ε), x ∈ [a, b]. Vậy ||f n − f || ∞ = sup{|f n (x) − f (x)| : x ∈ [a, b]} < 2ε ∀ n ≥ N (ε). 1.2.7i,ii Cho [a, b] là một khoảng đóng bị chặn trong IR. Đặt X = C([a, b], IR) là tập các hàm số thực liên tục trên [a, b]. Với mọi f và g trong X, x tr ong [a, b] và α trong IR ta đặt (f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf (x), ||f|| 1 =  b a |f(t)|dt. Chứng minh (X, ||.|| 1 ) là một không gian định chuẩn, nhưng không là một không gian Banach. Giải Cho f và g trong X, và s trong IR. Vì |f | ≥ 0, ta có ||f|| 1 =  b a |f(t)|dt ≥ 0. Giả sử f ≡ 0. Ta có y trong [a, b] sao cho f(y) = α = 0. Cho ε = |α| 2 > 0. Vì f liên tục nên có δ(y, ε ) > 0 sao cho |f(y) − f(t)| < ε ∀ t ∈ [a, b] ∩ [y − δ(y, ε), y + δ(y, ε)]. (1) 8 Có c < d sao cho [a, b] ∩ [y − δ(y, ε), y + δ(y, ε)] = [c, d]. Với t trong [c, d], do (1) |f(y)| − |f(t)| < ε or |α| 2 < |f (t)|. Suy ra ||f|| 1 =  b a |f(t)|dt ≥  d c |f(t)|dt ≥  d c |α| 2 dt ≥ |α| 2 (d − c) > 0. Vậy f ≡ 0 nếu ||f || 1 = 0. Ta có ||sf|| 1 =  b a |sf(t)|dt =  b a |s||f(t)|dt = |s|  b a |f(t)|dt = |s|||f || 1 . ||f + g|| 1 =  b a |f(t) + g(t)|dt ≤  b a [|f(t)| + |g(t)]dt =  b a |f(t)|dt +  b a |g(t)dt = ||f|| 1 + ||g|| 1 . Vậy ||.|| 1 là một chuẩn trên X. Nay ta chứng minh (X, ||.|| 1 ) không là một không gian Ba nach. Ta sẽ tìm một dãy Cauchy trong (X, ||.|| 1 ) nhưng không hội tụ. Đặt c = 1 2 (a + b ) , c n = c + b − a 4n với mọi số nguyên dương n và f n (t) =            0 a ≤ t ≤ c, t − c c n − c c ≤ t ≤ c n , 1 c n ≤ t ≤ b. Cho hai số nguyên dương m và n sao cho m > n. Ta có c m < c n và ||f n − f m || 1 =  b a |f n (t) − f m (t)|dt =  c n c |f n (t) − f m (t)|dt ≤  c n c (|f n (t)| + |f m (t)|)dt ≤  c n c 2dt = b − a 2n . Từ đó {f n } là một dãy Cauchy trong (X, ||.|| 1 ). Nay giả sử có f trong X sao cho {f n } hội tụ về f trong (X, ||.|| 1 ). Lúc đó, cho một số dương ε, ta tìm được một số nguyên dương N(ε) sao cho  b a |f n (t) − f(t)|dt = ||f n − f || 1 < ε ∀ n ≥ N (ε). Vậy  c a |f(t)|dt +  b c n |1 − f(t)|dt =  c a |f n (t) − f(t)|dt +  b c n |f n (t) − f(t)|dt ≤  b a |f n (t) − f(t)|dt < ε ∀ n ≥ N(ε ). 9 Cố định một số nguyên dương k, ta tìm được một số nguyên dương n ≥ max{k, N (ε)}. Lúc đó c n < c k và  c a |f(t)|dt +  b c k |1 − f(t)|dt ≤  c a |f(t)|dt +  b c n |1 − f(t)|dt < ε hay  c a |f(t)|dt +  b c k |1 − f(t)|dt < ε ∀ ε > 0, k ∈ IN hay  c a |f(t)|dt +  b c k |1 − f(t)|dt = 0 < ε ∀ k ∈ IN Như bê n trên ta có với mọi số nguyên dương k f(t) =  0 1 a ≤ t ≤ c, c n ≤ t ≤ b. Từ đó ta có f (c) = 0 và f(c k ) = 1. Nhưng f liên tục tại c và {c k } hội về c. Ta có mâu thuẩn. 1.3.7i Cho n là một số nguyên ≥ 2, Φ là IR hay C / , (E 1 , ||.|| 1 ), · · ·, (E n , ||.|| n ) là n k hông gian định chuẩn trên Φ. Đặt E = E 1 × · · · E n , x + y = (x 1 + y 1 , · · · , x n + y n ) ∀ x = (x 1 , · · · , x n ), y = (y 1 , · · · , y n ) ∈ E, αx = (αx 1 , · · · , αx n ) ∀ α ∈ Φ, x = (x 1 , · · · , x n ) ∈ E, ||x|| = ||x 1 || 1 + · · · + ||x n || n ∀ x = (x 1 , · · · , x n ) ∈ E. Chứng minh E là một không gian vectơ định chuẩn trên Φ. Giải Ta dùng qui nạp toán học . Xét trường hợp n = 2. Cho x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ), z = (z 1 , z 2 ) trong E = E 1 × E 2 và α trong Φ. Ta có x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) = (y 1 + x 1 , y 2 + x 2 ) = y + x. x + (y + z) = (x 1 + (y 1 + z 1 ), x 2 + (y 2 + z 2 )) = ((x 1 + y 1 ) + z 1 , (x 2 + y 2 ) + z 2 ) = (x + y) + z. Cho 0 1 và 0 2 là các vectơ không trong E 1 và E 2 . Đặt 0 = (0 1 , 0 2 ), ta có x + 0 = (x 1 + 0 1 , x 2 + 0 2 ) = (x 1 , x 2 ) = x ∀ x = (x 1 , x 2 ) ∈ E. 10 [...]... an ) trong (E, ||.||) 1.5.8i,ii Cho (E1 , ||.||1 ), · · ·, (En , ||.||n ) và (E, ||.||) như trong bài 1.3.7i Đặt pri (x) = xi ∀ x = (x1 , · · · , xn ) ∈ E, i = 1, · · · , n (a) Chứng minh pri là một ánh xạ liên tục từ E vào Ei (b) Cho V là một tập trong E, chứng minh pri (V ) là một tập mở tronjg Ei Giải (a) Cho x = (x1 , · · · , xn ) trong E và ε > 0, ta sẽ tìm δ > 0 sao cho ||pri (z) − pri (x)||i... (V ), ta có x = (x1 , · · · , xn ) trong V sao cho xi = pri (x) Theo bài 1.1.2, có r > 0 1 1 sao cho B(x, r) ⊂ V Ta thấy BE1 (x1 , n r) × · · · × BEn (x1 , n r) ⊂ V Do đó 1 BEi (xi , n r) ⊂ f (V ) 12 Vậy f (V ) là một tập mở 1.5.8iii Cho (E1 , ||.||1 ), · · ·, (En , ||.||n ), (E, ||.||) và pri như trong bài 1.3.8i Cho A là một tập con trong một không gian định chuẩn (F, ||.||F ), và f là một ánh... ||.||F ) là một không gian định chuẩn Từ đó bài toán đúng cho trường hợp n = k + 1 1.3.7ii Cho (E1 , ||.||1 ), · · ·, (En , ||.||n ) và (E, ||.||) như trong bài 1.3.7i Cho {(x1,m , · · · , xn,m )}m là một dãy trong E Chứng minh {(x1,m , · · · , xn,m )}m hội tụ về (a1 , · · · , an ) trong (E, ||.||) nếu và chỉ nếu {xi,m }m hội tụ về ai với mọi i = 1, · · · n Giải Cho {(x1,m , · · · , xn,m )}m hội tụ về... tập con trong một không gian định chuẩn (F, ||.||F ), và f là một ánh xạ từ A vào E Chứng minh f liên tục trên A nếu và chỉ nếu pri ◦ f liên tục trên A với mọi i = 1, · · · , n Giải Cho {xm } là một dãy hội tụ về x trong A Theo bài 1.3.7ii, {f (xm )} hội tụ về f (x) nếu và chỉ nếu {pri (f (xm ))} hội tụ về pri (f (x)) với mọi i = 1, · · · , n Vậy ta có kết quả 2.1.1 Cho (E, ||.||E ) và (F, ||.||F ) là... ||1 + ||y1 ||1 = 0 =⇒ ||x1 ||1 = ||y1 ||1 = 0 =⇒ x1 = y1 = 0 =⇒ x = 0 ||tx|| = ||tx1 ||1 + ||tx2 ||2 = |t|||x1 ||1 + |t|||x2 ||2 = |t|||x|| Vậy (E, ||.||) là một không gian định chuẩn nếu n = 2 Giả sử bài toán đúng nếu n = k Cho (E1 , ||.||1 ), · · ·, (Ek+1 , ||.||k+1 ) là k + 1 không gian định chuẩn trên Φ Đặt E = E1 × · · · Ek ||x||E = ||x1 ||1 + · · · + ||xn ||k ∀ x = (x1 , · · · , xk ) ∈ E Theo... và T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F Chứng minh các tính chất sau đây tương đương với nhau (i) T liên tục trên E (ii) T liên tục tại 0 (iii) Có số thực dương M sao cho ||T x||F ≤ M ||x|E | ∀ x ∈ E Giải • (i) =⇒ (ii) : hiển nhiên • (ii) =⇒ (iii) Cho ε = 1 > 0, ta có một δ > 0 sao cho ||T (y) − T (0)||F < ε ∀ y ∈ E, ||y − 0||E ≤ δ hay ||T (y)||F ≤ ε = 1 ∀ y ∈ E, ||y||E ≤ δ Cho x = 0, đặt y = δ||x||−1... ||T || = sup{||T (x)||F : x ∈ E, ||x||E ≤ 1} Chứng minh (i) ||T || = T1 ≡ sup{||T (y)||F : y ∈ E, ||y||E = 1} (ii) ||T || = T2 ≡ sup{||T (z)||F : z ∈ E, ||z||E < 1} (iii) ||T u||F ≤ ||T ||||u||E ∀ u ∈ E Giải (i) Ta thấy T ≥ T1 Cho x trong E sao cho 0 ≤ ||x||E ≤ 1 Đặt y = ||x||−1 x Vì ||y||E = 1, nên E ||T (||x||−1 x)||F = ||T (y)||F ≤ T1 E hay ||||x||−1 T (x)||F ≤ T1 E hay ||T (x)||F ≤ T1 ||x||E ≤ T1... ||x||E 2.3.2 Cho E = I n với chuẩn R ||x||E = |x1 | + · · · + |xn | ∀ x = (x1 , · · · , xn ) ∈ E Cho T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào một không gian định chuẩn (F, ||.||F ) Chứng minh T liên tục trên E Giải j i i i Đặt ei = (δ1 , · · · , δn với δj = 1 và δj = 0 nếu i = j Ta có x = x1 e1 + · · · + xn en ∀ x = (x1 , · · · , xn ) ∈ E Đặt M = max{||T (e1 )||F , · · · , ||T (en )||F } Cho x = (x1 , · · ·... Hermite dương trong một không gian vectơ E Đặt ||x|| = f (x, x)1/2 với mọi x trong E Cho a trong E, và đặt T (x) = f (x, a) ∀ x ∈ E Chứng minh T là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên E và ||T || = ||a|| Giải Cho x và y trong E và α trong Φ Ta có T (x + y) = f (x + y, a) = f (x, a) + f (y, a) = T (x) + T (y) 15 T (αx) = f (αx, a) = αf (x, a) = αT (x) |T (x)| = |f (x, a)| ≤ f (x, x)1/2 f (a, a)1/2 = ||a||||x||... ||.||E ) vào một không gian định chuẩn (F, ||.||F ) Giả sử {||Tn ||} bị chặn và có một ánh xạ tuyến tính T từ E vào F sao cho {Tn (x)} hội tụ về T (x) trong F với mọi x trong E Chứng minh T liên tục trên E Giải Có số thực dương M sao cho ||Tn || ≤ M Ta có ||Tn (x)||F ≤ M ||x||E ∀ x ∈ E, n ∈ I N lim ||T (x) − Tn (x)||F = 0 n→∞ ∀ x ∈ E ||T (x)||F ≤ ||T (x) − Tn (x)|F + ||Tn (x)||F ∀ x ∈ E, n ∈ I N Từ đó . BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM 1.1.2 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập mở nếu và chỉ nếu mọ i x trong A, có r > 0 sao cho B (x, r) ⊂ A. Giải •. Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập đóng nếu và chỉ nếu mọ i dãy {x n } trong A hội tụ về x trong E thì x ∈ A. Giải Giả sử A là một tập đóng. Cho. E A: vô lý. 1.3.10 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập đóng nếu và chỉ nếu A = A. Giải Giả sử A là một tập đóng. Ta chứng minh A = A. • Chứng