BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM doc

Giải Giả sử A là một tập đóng... Giải Giả sử A là một tập đóng.. Ta dùng phản chứng : giải sử A không bị chặn... Vậy {xn k} không là một dãyCauchy, nên không hội tụ : mâu thuẩn với giả t

BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM

1.1.2 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||) Chứng minh A là một tập mở nếu và chỉ nếu mọi x trong A, có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ A

Giải

• Giả sử mọi x trong A, có rx>0 sao cho B(x, rx) ⊂ A Ta chứng minh

A= [

x∈A

B(x, rx)

Cho z trong A, ta có z ∈ B(z, rz) Vậy

A⊂ [

x∈A

B(x, rx)

Ch z trong Sx∈AB(x, rx), Có x ∈ A sao cho z ∈ B(x, rx) Vì B(x, rx) ⊂ A, ta có z ∈ A

• Giả sử A là tập mở, ta chứng minh với mọi x trong A, có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ A

Có một họ quả cầu mở {B(ai, ri)}i∈I trong E sao cho

A=[

i∈I

B(ai, ri)

Cho x trong E, có i trong I sao cho x ∈ B(ai, ri) Đặt r = ri− ||x − ai||, ta có

B(x, r) ⊂ B(ai, ri) ⊂[

i∈I

B(ai, ri) ⊂ A

1.1.4 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||) Chứng minh A là một tập đóng nếu và chỉ nếu mọi dãy {xn} trong A hội tụ về x trong E thì x ∈ A

Giải Giả sử A là một tập đóng Cho dãy {xn} trong A hội tụ về x trong E ta chứng minh x ∈ A Ta dùng phản chứng: giả sử x ∈ E \ A Ta có E \ A là một tập mở, nên có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ E \ A, hay

y∈ E \ A ∀ y ∈ E, ||y − x|| < r (1) Mặt khác với ε = r, ta tìm được một số nguyên N sao cho

||xn− x|| < ε ∀ n ≥ N (2)

Từ đó ta có xN ∈ A ∩ (E \ A) : mâu thuẩn Vậy x ∈ A Nay giả sử mọi dãy {xn} trong A hội tụ về

x trong E thì x∈ A Ta chứng minh A đóng, hay E \ A là một tập mở Ta dùng phản chứng: E \ A không là một tập mở Lúc đó có một x trong E \ A, và với mọi số thực dương r có một yr sao cho

||yr− x|| < r và yr∈ A

Đặt xn= y1 /n Ta thấy {xn} trong A hội tụ về x trong E nhưng x ∈ E \ A: vô lý

1.3.10 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||) Chứng minh A là một tập đóng nếu và chỉ nếu A = A

Giải Giả sử A là một tập đóng Ta chứng minh A = A

• Chứng minh A ⊂ A:

Cho x trong A, ta chứng minh x ∈ A, hay B(x, r) ∩ A 6= ∅ Vì x ∈ B(x, r) ∩ A, ta có kết quả

• Chứng minh A ⊂ A:

Cho x trong A, chứng minh x trong A Với mọi r > 0 có yr∈ A ∩ B(x, r) Đặt xn = y1/n với mọi

số nguyên n Ta có

||xn− x|| < n1 ∀ n ∈ IN

Từ đó {xn} hội tụ về x áp dụng bài 1.1.4, ta thấy x ở trong A

Giả sử A = A Ta chứng minh A là một tập đóng

Ta dùng bài 1.1.4 Cho dãy {xn} trong A hội tụ về x trong E ta chứng minh x ∈ A Với giả thiết

A= A, ta chỉ cần chứng minh x ∈ A Ta có : với mọi ε = r > 0 có một số nguyên N sao cho

||xn− x|| < ε ∀ n ≥ N

Vậy B(x, r) ∩ A 6= ∅ với mọi r > 0 : x ∈ A

1.3.1 Cho a và b là hai vectơ trong một không gian định chuẩn (E, ||.||) Chứng minh

|||a|| − ||b||| ≤ ||a − b|| (1) Suy ra hàm số f liên tục trên (E, ||.||), nếu f(x) = ||x|| với mọi x trong E

Giải

Ta thấy (1) tương đương với

( ||a|| − ||b|| ≤ ||a − b||,

||b|| − ||a|| ≤ ||a − b||

( ||a|| ≤ ||a − b|| + ||b||,

||b|| ≤ ||a − b|| + ||a||

hay

( ||(a − b) + b|| ≤ ||a − b|| + ||b||,

||(b − a) + a|| ≤ ||a − b|| + ||a||

Vậy ta có (1) Từ (1) ta có

|f (y) − f (x)| ≤ ||y − x|| ∀ x, y ∈ E

Vậy với mọi ε > 0, chọn δ = ε

2 ta có

|f (y) − f (x)| < ε ∀ x, y ∈ E, ||x − y|| < δ

Vậy f liên tục trên E

1.3.2 Cho A là một tập hợp bị chặn trong một không gian định chuẩn (E, ||.||) Chứng minh có một

số thực dương r sao cho A ⊂ B(0, r)

Giải

Có số thực M sao cho

||x|| ≤ M ∀ x ∈ A

Đặt r = M + 1, ta có

||x − 0|| = ||x|| < r ∀ x ∈ A

Vậy x ∈ B(0, r), từ đó A ⊂ B(0, r)

1.3.11 Cho A là một tập hợp compắc trong một không gian định chuẩn (E, ||||) Chứng minh (i) A đóng

(ii) A bị chặn

Giải Cho một dãy {yn} trong A, ta có một dãy con {yn k} của {yn}, sao cho {yn k} hội tụ về y trong A

Áp dụng bài 1.1.4, ta thấy A là một tập đóng trong E

Nay ta chứng minh A bị chặn Ta dùng phản chứng : giải sử A không bị chặn Dùng qui nạp toán học

ta tìm được một dãy {xn} có tính chất

1 + ||x1|| + · · · + ||xn|| < ||xn+1|| ∀ n ∈ IN

1 < ||xm|| − ||xn|| ≤ ||xm− |xn|| ∀ m, n ∈ IN , m > n

hay

1 < ||xm− |xn|| ∀ m, n ∈ IN , m 6= n (1) Cho {xn k} là một dãy con của dãy {xn} Theo (1),

1 < ||xn k− |xnk′|| ∀ k, k′

∈ IN , k 6= k′

Vậy {xn k} không là một dãyCauchy, nên không hội tụ : mâu thuẩn với giả thiết compắc của A 1.1.6 Cho A là một tập hợp khác trống trong một không gian định chuẩn (E, ||||E) và f là một ánh

xạ từ A vào một không gian định chuẩn (F, ||||F) Chứng minh f liên tục trên A nếu và chỉ nếu với mọi tập mở V trong F , có một tập mở W trong E sao cho f−1(V ) = W ∩ A

Giải

• Giả sử f liên tục trên A Cho một tập mở V trong F , ta tìm một tập mở W trong E sao cho

f−1(V ) = W ∩ A

Cho x trong B ≡ f−1

(V ), ta có y = f (x) ∈ V Do bài 1.1.2 và sự liên tục của f tại x, ta thấy có

rx>0 sao cho B(y, rx) ⊂ V , và với ε = rx, có một δx>0 sao cho

||f (z) − f (x)||F < ε ∀ z ∈ A, ||z − x||E hay f(z) ∈ B(y, ε) với mọi z ∈ A ∩ B(x, δx), hay f (A ∩ B(x, δx)) ⊂ B(y, ε) = B(y, rx) ⊂ V

Đặt W = Sx∈BB(x, δx) Ta có W ∩ A =S

x∈BB(x, δx) ∩ A và

f(W ∩ A) = f ([

x∈B

B(x, δx) ∩ A) ⊂ [

x∈B

f(B(x, δx) ∩ A) ⊂ V

V = [

x∈B

{f (x)} ⊂ f (W ∩ A)

Vậy

f(W ∩ A) = V

• Giả sử với mọi tập mở V trong F , có một tập mở W trong E sao cho f−1(V ) = W ∩ A Ta chứng minh f liên tục trên A

Cho x trong A, và ε > 0, ta tìm δ sao cho

||f (z) − f (x)||F < ε ∀ z ∈ A, ||z − x||E

f(A ∩ B(x, δ)) ⊂ B(f (x), ε)

hay

A∩ B(x, δ) ⊂ f−1

(B(f (x), ε))

Đặt V = B(f(x), ε) Theo giả thiết có một tập mở W trong E sao cho f−1(V ) = W ∩ A Vậy

x∈ W Theo bài 1.1.2, ta có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ W Đặt δ = r, ta có

A∩ B(x, δ) ⊂ W ∩ A = f−1

(B(f (x), ε))

1.1.6 Cho A là một tập hợp compắc trong một không gian định chuẩn (E, ||||E) và f là một ánh xạ liên tục từ A vào một không gian định chuẩn (F, ||||F) Chứng minh f (A) compắc trong F

Giải Cho {yn} là một dãy trong f (A) Ta sẽ tìm một dãy con {yn k} của {yn} hội tụ về y trong f (A)

Chọn xn trong A sao cho f(xn) = yn Vì A compắc, có một dãy con {xn k} của {xn} hội tụ về x trong

A Do tính liên tục của f ,{f (xn k)} hội tụ về y = f (x)

1.2.5i Cho A là một tập hợp khác trống và (E, ||||) là một không gian định chuẩn trên Φ Đặt B(A, E)

là tập hợp các ánh xạ f từ A vào E sao cho f(A) bị chặn trong E Với mọi f và g trong B(A, E), x trong A và α trong Φ ta đặt

(f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x),

||f ||∞= sup{||f (y)|| : y ∈ A}

Chứng minh (B(A, F ), ||.||∞) là một không gian định chuẩn

Giải Cho f và g trong B(A, E) và α trong Φ, ta chứng minh f + g và αf ở trong B(A, E) Có hai số thực dương M1 và M2sao cho

Từ (1) và (2) ta có

||(f + g)(x)|| = ||f (x) + g(x)|| ≤ ||||f (x)|| + ||g(x)||M1+ M2 ∀ x ∈ A.)

||(αf )(x)|| = ||αf (x)|| = |α||f (x)|| ≤ |α|M1 ∀ x ∈ A

Vậy f + g và αf ở trong B(A, E) Từ đó B(A, E) là một không gian vectơ

Nay ta chứng minh ||.||∞ là một chuẩn trên B(A, E) Cho f và g trong B(A, E), x trong A và α trong Φ Vì ||f(x)|| ≥ 0, nên

||f ||∞= sup{||f (y)|| : y ∈ A} ≥ 0

Nếu ||f||∞= 0, ta có

sup{||f (y)|| : y ∈ A} = 0

Vậy

||f (y)|| = 0 ∀ y ∈ A

Vậy f(y) = 0 với mọi y trong A hay f = 0 Ta có

||αf ||∞ = sup{||αf (y)|| : y ∈ A} = sup{|α|||f (y)|| : y ∈ A}

= sup |α|{||f (y)|| : y ∈ A} = α| sup |{||f (y)|| : y ∈ A} = ||α|||f ||∞ Đặt C = {||f(y)|| : y ∈ A} và D = {||g(y)|| : y ∈ A}, ta có

||f + g||∞ = sup |{||f (y) + g(y)|| : y ∈ A} ≤ sup |{||f (y)|| + ||g(y)|| : y ∈ A}

≤ sup(C + D) ≤ sup C + sup D = ||f ||∞+ ||g||∞ Vậy ||.||∞ là một chuẩn trên B(A, E)

1.2.7i,ii Cho [a, b] là một khoảng đóng bị chặn trong IR Đặt X = C([a, b], IR) là tập các hàm số thực liên tục trên [a, b] Với mọi f và g trong X, x trong [a, b] và α trong IR ta đặt

(f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x),

||f ||∞= sup{|f (y)| : y ∈ [a, b]}

Chứng minh (X, ||.||∞) là một không gian định chuẩn con của B([a, b], IR), và (X, ||.||∞) là một không gian Banach

Giải Cho f và g trong X và α trong IR Ta thấy f + g và αf là các hàm số thực liên tục, nên X là một không gian vectơ trên IR Vì f([a, b]) bị chặn với mọi f trong X, nên X chứa trong B([a, b], IR) Vậy

X là không gian vectơ con của B([a, b], IR) Suy ra (X, ||.||∞) là không gian vectơ định chuẩn con của B([a, b], IR)

Ta chứng minh (X, ||.||∞) là một không gian Banach Cho {fm} là một dãy Cauchy trong X Ta tìm một f trong X sao cho {fm} hội tụ về f trong X, hay

lim

m→∞||fm− f ||∞= 0 (1) Trước hết ta xác định f Vì {fm} là một dãy Cauchy trong X ta có

∀ ε > 0, ∃N (ε) ∈ IN : |fm− fn||∞< ε m > n≥ N (ε)

hay

∀ ε > 0, ∃N (ε) ∈ IN : |fm(x) − fn(x)| < ε m > n≥ N (ε), x ∈ [a, b] (2)

Vậy, với mọi x trong [a, b], {fm(x)} là một dãy Cauchy trong IR, và hội tụ về một số thực được ký hiệu là f(x)

Ta đã xác định được một hàm số thực f trên [a, b] Nay ta chứng minh f thuộc X, nghĩa là f liên tục trên [a, b] Cho x trong [a, b], ta có

∀ ε′

>0, ∃M (x, ε′

) ∈ IN : |fk(x) − f (x)| < ε′

∀ k ≥ M (x, ε′

) (3)

Từ (2) và (3), ta thấy

|fn(x) − f (x)| ≤ |fn(x) − fm(x)| + |fm(x) − f (x)| < ε′

+ ε

∀ n ≥ N (ε), m ≥ max{n, N (ε), M (x, ε′

)}, x ∈ [a, b] (4) Chọ ε, chọn ε′ = ε

2 và m = max{n, N(ε) ≥ M(x, ε′)}, ta có

|fn(x) − f (x)| < 2ε ∀ n ≥ N (ε), x ∈ [a, b] (5) Cho y và z trong [a, b], từ (5)

|f (y) − f (z)| ≤ |f (y) − fk(y)| + |fk(y) − fk(z)| + |fk(z) − f (z)|

≤ 4ε + |fk(y) − fk(z)| k≥ N (ε) (6)

Chọn k = N(ε), do tính liên tục đều của fk, ta có

∀ ε” > 0, ∃η(ε”) > 0 : |fk(y) − fk(z)| < ε” ∀ y, z ∈ [a, b], |y − z| < η(ε”) (7)

Từ (6) và (7) ta có

∀ ε” > 0, ∃η(ε”) > 0 : |f (y) − f (z)| < 4ε + ε” ∀ y, z ∈ [a, b], |y − z| < η(ε”), ε > 0,

hay

∀ ε” > 0, ∃η(ε”) > 0 : |f (y) − f (z)| ≤ ε” ∀ y, z ∈ [a, b], |y − z| < η(ε”)

Vậy f liên tục trên [a, b] Nay ta chứng minh (1) Theo (5), ta có

|fn(x) − f (x)| < 2ε ∀ n ≥ N (ε), x ∈ [a, b]

Vậy

||fn− f ||∞= sup{|fn(x) − f (x)| : x ∈ [a, b]} < 2ε ∀ n ≥ N (ε)

1.2.7i,ii Cho [a, b] là một khoảng đóng bị chặn trong IR Đặt X = C([a, b], IR) là tập các hàm số thực liên tục trên [a, b] Với mọi f và g trong X, x trong [a, b] và α trong IR ta đặt

(f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x),

||f ||1=

Z b

a

|f (t)|dt

Chứng minh (X, ||.||1) là một không gian định chuẩn, nhưng không là một không gian Banach

Giải Cho f và g trong X, và s trong IR

Vì |f| ≥ 0, ta có

||f ||1=

Z b

a

|f (t)|dt ≥ 0

Giả sử f 6≡ 0 Ta có y trong [a, b] sao cho f(y) = α 6= 0 Cho ε = |α|

2 >0 Vì f liên tục nên có δ(y, ε) > 0 sao cho

|f (y) − f (t)| < ε ∀ t ∈ [a, b] ∩ [y − δ(y, ε), y + δ(y, ε)] (1)

Có c < d sao cho [a, b] ∩ [y − δ(y, ε), y + δ(y, ε)] = [c, d] Với t trong [c, d], do (1)

|f (y)| − |f (t)| < ε or |α|

2 <|f (t)|.

Suy ra

||f ||1=

Z b

a

|f (t)|dt ≥

Z d

c

|f (t)|dt ≥

Z d

c

|α|

2 dt≥

|α|

2 (d − c) > 0.

Vậy f ≡ 0 nếu ||f||1= 0

Ta có

||sf ||1=

Z b

a

|sf (t)|dt =

Z b

a

|s||f (t)|dt = |s|

Z b

a

|f (t)|dt = |s|||f ||1

||f + g||1 =

Z b

a

|f (t) + g(t)|dt ≤

Z b

a

[|f (t)| + |g(t)]dt

=

Z b

a

|f (t)|dt +

Z b

a

|g(t)dt = ||f ||1+ ||g||1 Vậy ||.||1 là một chuẩn trên X

Nay ta chứng minh (X, ||.||1) không là một không gian Banach Ta sẽ tìm một dãy Cauchy trong (X, ||.||1) nhưng không hội tụ Đặt c = 1

2(a + b) , cn= c + b− a

4n với mọi số nguyên dương n và

fn(t) =











0 a≤ t ≤ c,

t− c

cn− c c≤ t ≤ cn,

1 cn≤ t ≤ b

Cho hai số nguyên dương m và n sao cho m > n Ta có cm< cn và

||fn− fm||1 =

Z b

a

|fn(t) − fm(t)|dt =

Z c n

c

|fn(t) − fm(t)|dt

≤

Z c n

c

(|fn(t)| + |fm(t)|)dt ≤

Z c n

c

2dt = b− a

2n .

Từ đó {fn} là một dãy Cauchy trong (X, ||.||1) Nay giả sử có f trong X sao cho {fn} hội tụ về f trong (X, ||.||1) Lúc đó, cho một số dương ε, ta tìm được một số nguyên dương N (ε) sao cho

Z b

a

|fn(t) − f (t)|dt = ||fn− f ||1< ε ∀ n ≥ N (ε)

Vậy

Z c

a

|f (t)|dt +

Z b

c n

|1 − f (t)|dt =

Z c

a

|fn(t) − f (t)|dt +

Z b

c n

|fn(t) − f (t)|dt

≤

Z b

a

|fn(t) − f (t)|dt < ε ∀ n ≥ N (ε)

Cố định một số nguyên dương k, ta tìm được một số nguyên dương n ≥ max{k, N(ε)} Lúc đó

cn< ck và

Z c

a

|f (t)|dt +

Z b

c k

|1 − f (t)|dt ≤

Z c

a

|f (t)|dt +

Z b

c n

|1 − f (t)|dt < ε hay

Z c

a

|f (t)|dt +

Z b

c k

|1 − f (t)|dt < ε ∀ ε > 0, k ∈ IN hay

Z c

a

|f (t)|dt +

Z b

c k

|1 − f (t)|dt = 0 < ε ∀ k ∈ IN Như bên trên ta có với mọi số nguyên dương k

f(t) = ( 0

1

a≤ t ≤ c,

cn≤ t ≤ b

Từ đó ta có f(c) = 0 và f(ck) = 1 Nhưng f liên tục tại c và {ck} hội về c Ta có mâu thuẩn 1.3.7i Cho n là một số nguyên ≥ 2, Φ là IR hay C/ , (E1,||.||1), · · ·, (En,||.||n) là n không gian định chuẩn trên Φ Đặt

E= E1× · · · En,

x+ y = (x1+ y1,· · · , xn+ yn) ∀ x = (x1,· · · , xn), y = (y1,· · · , yn) ∈ E,

αx= (αx1,· · · , αxn) ∀ α ∈ Φ, x = (x1,· · · , xn) ∈ E,

||x|| = ||x1||1+ · · · + ||xn||n ∀ x = (x1,· · · , xn) ∈ E

Chứng minh E là một không gian vectơ định chuẩn trên Φ

Giải

Ta dùng qui nạp toán học Xét trường hợp n = 2 Cho x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) trong

E= E1× E2và α trong Φ Ta có

x+ y = (x1+ y1, x2+ y2) = (y1+ x1, y2+ x2) = y + x

x+ (y + z) = (x1+ (y1+ z1), x2+ (y2+ z2)) = ((x1+ y1) + z1,(x2+ y2) + z2) = (x + y) + z Cho 01và 02 là các vectơ không trong E1 và E2 Đặt 0 = (01,02), ta có

x+ 0 = (x1+ 01, x2+ 02) = (x1, x2) = x ∀ x = (x1, x2) ∈ E

Tương tự, ta chứng minh được các tính chất khác để cho thấy E là một không gian vectơ trên Φ Nay ta chứng minh ||.|| là một chuẩn trên E Cho t ∈ Φ, x = (x1, x2), y = (y1, y2) và z = (z1, z2) trong

E= E1× E2, ta có

||x|| = ||x1||1+ ||y1||1≥ 0

||x|| = ||x1||1+ ||y1||1= 0 =⇒ ||x1||1= ||y1||1= 0 =⇒ x1= y1= 0 =⇒ x = 0

||tx|| = ||tx1||1+ ||tx2||2= |t|||x1||1+ |t|||x2||2= |t|||x||

Vậy (E, ||.||) là một không gian định chuẩn nếu n = 2

Giả sử bài toán đúng nếu n = k Cho (E1,||.||1), · · ·, (Ek+1,||.||k+1) là k + 1 không gian định chuẩn trên Φ Đặt

E= E1× · · · Ek

||x||E = ||x1||1+ · · · + ||xn||k ∀ x = (x1,· · · , xk) ∈ E

Theo giả thiết qui nạp toán học (E, ||.||E) là một không gian định chuẩn

Đặt F = E × Ek+1 và

||(x, y)||F = ||x||E+ ||y||E k+1

Theo trường hợp n = 2, ta có (F, ||.||F) là một không gian định chuẩn Từ đó bài toán đúng cho trường hợp n = k + 1

1.3.7ii Cho (E1,||.||1), · · ·, (En,||.||n) và (E, ||.||) như trong bài 1.3.7i Cho {(x1,m,· · · , xn,m)}m là một dãy trong E Chứng minh {(x1 ,m,· · · , xn,m)}mhội tụ về (a1,· · · , an) trong (E, ||.||) nếu và chỉ nếu {xi,m}m hội tụ về ai với mọi i = 1, · · · n

Giải Cho {(x1,m,· · · , xn,m)}mhội tụ về (a1,· · · , an) trong (E, ||.||) Ta chứng minh {xi,m}mhội tụ về ai

với mọi i = 1, · · · n Với mọi số thực dương ε, ta tìm được một số nguyên N(ε) sao cho

||(x1,m,· · · , xn,m) − (a1,· · · , an)|| < ε ∀ m ≥ N (ε) hay

||(x1,m− a1,· · · , xn,m− an)|| < ε ∀ m ≥ N (ε) hay

||(x1 ,m− a1||1· · · + ||xn,m− an||n < ε ∀ m ≥ N (ε)

Từ đó

||(xi,m− ai||i< ε ∀ m ≥ N (ε), i = 1, · · · , n

Vậy {xi,m}mhội tụ về aivới mọi i = 1, · · · n

Nay giả sử {xi,m}mhội tụ về aivới mọi i = 1, · · · n Lúc đó, với một số thực dương ε′, ta có các số nguyên dương Mi(ε′) sao cho

||(xi,m− ai||i< ε′ ∀ m ≥ M (ε′

), i = 1, · · · , n

Vậy

||(x1,m,· · · , xn,m)−(a1,· · · , an)|| = ||(x1,m−a1||1· · ·+||xn,m−an||n< nε′

∀ m ≥ max{M1(ε′

), · · · , Mn(ε′

)}

Cho một số thực dương ε, đặt ε′= ε

n và N(ε) = max{M1(ε′), · · · , Mn(ε′)}, ta có

||(x1,m,· · · , xn,m) − (a1,· · · , an)|| < ε ∀ m ≥ N (ε) Vậy {(x1,m,· · · , xn,m)}mhội tụ về (a1,· · · , an) trong (E, ||.||)

1.5.8i,ii Cho (E1,||.||1), · · ·, (En,||.||n) và (E, ||.||) như trong bài 1.3.7i Đặt

pri(x) = xi ∀ x = (x1,· · · , xn) ∈ E, i = 1, · · · , n

(a) Chứng minh pri là một ánh xạ liên tục từ E vào Ei

(b) Cho V là một tập trong E, chứng minh pri(V ) là một tập mở tronjg Ei

Giải (a) Cho x = (x1,· · · , xn) trong E và ε > 0, ta sẽ tìm δ > 0 sao cho

||pri(z) − pri(x)||i < ε ∀ z ∈ E, ||z − x|| < δ

hay

||zi− xi||i< ε ∀ z ∈ E, ||z1− x1||1+ · · · + ||zn− xn||n < δ

Từ trên ta có thể chọn δ = ǫ

(b) Cho xi ∈ pri(V ), ta có x = (x1,· · · , xn) trong V sao cho xi = pri(x) Theo bài 1.1.2, có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ V Ta thấy BE 1(x1,1nr) × · · · × BE n(x1,n1r) ⊂ V Do đó

BE i(xi,1nr) ⊂ f (V )

... Cho A tập hợp khác trống không gian định chuẩn (E, ||||E) f ánh

xạ từ A vào không gian định chuẩn (F, ||||F) Chứng minh f liên tục A với tập mở V F , có tập. .. tập mở V F , có tập mở W E cho f−1(V ) = W ∩ A

Giải

• Giả sử f liên tục A Cho tập mở V F , ta tìm tập mở W E cho

f−1(V ) = W ∩ A

Cho x B... xạ liên tục từ E vào Ei

(b) Cho V tập E, chứng minh pri(V ) tập mở tronjg Ei

Giải (a) Cho x = (x1,· · · , xn)