Giả sử u là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F. Chúng ta nói u là toán tử compact nếuu ảnh của mỗi tập giới nội, là compact t-ơng đối. Dễ dàng thấy rằng: u là toán tử compact khi và chỉ khi ảnh của một hình cầu nào đó là compact t-ơng đối.
Hiển nhiên: toán tử compact là liên tục. Chúng ta ký hiệu tập tất cả các toán tử compact từ E vào F là K(E;F).
Định lý 2.16 Nếu F là không gian Banach thì K(E;F) là không gian con đóng của không gian Banach L(E;F).
Chứng minh.
Do ánh xạ(x, y)→x+ylà liên tục nên tổng của hai tập compact là compact. Giả sửu, v ∈K(E;F), λ là l-ợng vô h-ớng, và B là hình cầu đơn vị trong E. Vì
u(B) +v(B)⊂u(B) +v(B)và (λu)(B) =u(λB)
nên K(E;F)là không gian con của không gian định chuẩn L(E;F).
Giả sử u ∈ K(E;F); chúng ta sẽ chứng tỏ u là toán tử compact. Gọi B là hình cầu đơn vị trongE. Do F đầy đủ và do Định lý 1.20, chúng ta chỉ cần chứng minh
u(B) là hoàn toàn bị chặn. Với bất kỳ r >0; có v ∈K(E;F) để ku−vk< r/2.
Vìv là toán tử compact nên v(B) đ-ợc phủ bởi hữu hạn hình cầu mở bán kínhr/2
có tâmy1, ..., ym.Với mỗi x∈B, có iđể kv(x)−yik< r/2; do đó ku(x)−yik ≤ ku(x)−v(x)k+kv(x)−yik< r.
Định lý 2.17 Giả sử E, F, G, H là các không gian định chuẩn và f: E → F,
u:F → G, g: G→H là các ánh xạ tuyến tính liên tục. Nếu u là ánh xạ compact thì các ánh xạ u◦f và g◦u cũng là compact.
Chứng minh.
Từ tính chất bị chặn của ánh xạ tuyến tính liên tục và định nghĩa toán tử compact, chúng ta suy ra ngay điều cần phải chứng minh.
2.3.2 Toán tử Fredholm
Giả sử v là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩnF.Chúng ta nóivlàtoán tử Fredholmnếuuv−1(0)hữu hạn chiều, v(E)
đóng và có đối chiều hữu hạn. Chúng ta ký hiệu tập tất cả các toán tử Fredholm từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F là F red(E;F).
Định lý 2.18 NếuE là không gian Banach và u ∈K(E;E) thì v=id−u là toán tử Fredholm.
Chứng minh.
Để chứng tỏv−1(0) hữu hạn chiều, nh- trong chứng minh Định lý 2.9, chúng ta chỉ cần chứng minh B0 = {x ∈ E : kxk ≤ 1} ∩(id−u)−1(0) là tập compact. Hiển nhiên B0 =u(B0). Nh-ng do B0 là tập đóng và giới nội, nên B0 = B0 = u(B0) là tập compact do u là toán tử compact.
Bây giờ chúng ta chứng tỏ rằng v(E)là đóng. Theo Định lý 2.10, giả sử Glà phần bù tôpô của v−1(0) :
E =v−1(0)⊕G.
Chúng ta thấy ánh xạv|G là đơn ánh liên tục vàv(E) =v(G).Vậy v|G:G→v(G)
là song ánh. Để chứng tỏv(E)đóng ta chỉ cần chứng tỏ ánh xạ(v|G)−1 :v(G)→G
là liên tục; hay (v|G)−1 là liên tục tại 0. Giả sử rằng nếu có dãy (xn) trong G sao cho dãy v(xn)→0 nh-ng dãy(xn)không hội tụ đến 0. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử có r > 0 và dãy (xn) thoả kxnk ≥ r với mọi n. Vì dãy (1/kxnk)
giới nội nên dãy v(xn/|xn|) cũng có giới hạn0. Do xn/kxnkluôn có chuẩn bằng 1
vàu compact nên ta giả sử dãy con u(xnm/kxnmk)m có giới hạn z. Từ
v( xnm
kxnmk) = xnm
kxnmk −u( xnm
kxnmk)
ta suy ra dãy (xnm/kxnmk)m cũng có giới hạn z. Suy ra z ∈G,kzk= 1, v(z) = 0;
vô lý với v−1(0)∩G={0}.
Cuối cùng, giả sử v(E)không có đối chiều hữu hạn. Bằng qui nạp, chúng ta có dãy các không gian con đóng v(E) =H0 ⊂H1 ⊂ ã ã ã ⊂Hn⊂ ã ã ã ,sao cho Hn là đóng và có đối chiều bằng1trong Hn+1. Do Định lý 1.34, bằng qui nạp chúng ta có dãy các phần tử xn∈Hn, kxnk= 1 vàd(xn, Hn−1)≥1−ε. Khi đó với mọi m < n ta đều cóku(xn)−u(xm)k=kxn−v(xn)−xm+v(xm)k ≥1−ε. Suy ra dãy (u(xn))
không có dãy con hội tụ; theo Định lý 1.20, điều này mâu thuẫn với tính compact của toán tửu.
2.3.3 Chỉ số của toán tử Fredholm
Với mỗi v∈F red(E;F),chúng ta ký hiệu indv = dimkerv−dimcokerv và gọi số nguyên này là chỉ số của toán tử Fredholm v.
Định lý 2.19 Giả sửE, F là các không gian Banach. Khi đóF red(E;F)là tập mở trongL(E;F)và hàm sốu→indulà liên tục trên F red(E;F),do đó là hàm hằng trên mỗi thành phần liên thông.
Chứng minh.
Tr-ớc hết chúng ta chứng tỏ F red(E;F) là tập mở trong L(E;F). Giả sử u ∈
F red(E;F).Do keru hữu hạn chiều nên nó có phần bù tôpô G(là không gian con đóng của E), E = keru⊕G. Do định lý ánh xạ mở, u cảm sinh một đẳng cấu tôpô tuyến tính từ G lên ảnh u(G). Vì u(G) = u(E) có đối chiều hữu hạn nên ta có thể viết F = u(G)⊕H, trong đó H là không gian con hữu hạn chiều của
F. Thế thì ánh xạ (x, y) → u(x) +y là đẳng cấu tôpô tuyến tính từ GìH lên
F. Do tập các đẳng cấu tôpô tuyến tính là mở trong không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Banach vào không gian Banach, nên khi v gần u thì ánh xạ (x, y) → v(x) +y cũng là đẳng cấu tôpô tuyến tính từ GìH lên F. Ta có F = v(G) +H. Nếu y ∈ v(G)∩H thì có x ∈ G để v(x) + (−y) = 0; suy ra
y= 0. Vậy F =v(G)⊕H.Vì ánh xạ (x, y)→v(x) +y là đơn ánh từ GìH lên
v(G)⊕H nên G∩v−1(0) = {0}; suy ra dimv−1(0) không quá đối chiều của G
trongE, do đó là hữu hạn. Ta cũng có v(E) có đối chiều không quá số chiều của
H, do đó cũng là hữu hạn. Vì ánh xạ (x,0) → v(x) cũng là đẳng cấu tôpô tuyến tính từGì {0}lên v(G) vàGđóng (là đầy đủ) trong không gian Banach E ta suy ra v(G)đóng trong không gian Banach F.
Bây giờ chúng ta sẽ chứng tỏ hàm số u →indu là liên tục. Với v gần u, lấy một không gian con hữu hạn chiều M của E để E = G⊕kerv⊕M. Thế thì v cảm sinh một đẳng cấu tôpô tuyến tính từ G⊕M lên v(G⊕M) = v(G)⊕v(M) và
dimM = dimv(M).Ta có
dimkerv−(dimH−dimv(M)) = (dimkerv+dimM)−dimH = dimkeru−dimH,
hay: indv=indu.
Hệ quả 2.19.1 Giả sử u là toán tử compact trên không gian Banach E. Thế thì ind(id−u) = 0. Đặc biệt, nếuid−u là đơn ánh thì id−u là đẳng cấu tôpô tuyến tính.
Chứng minh.
Với mỗi số thực t,ta có toán tử tulà compact. Do ánh xạ t →id−tu là liên tục nên f(t) = ind(id −tu) là hàm số liên tục trên tập số thực liên thông; vậy f là hằng. Ta có f(1) =f(0), suy ra ind(id−u) =indid= 0.Nếu ker(id−u) = 0,ta suy ra id−u là ánh xạ lên. Theo định lý ánh xạ mở thì id−u là đẳng cấu tôpô tuyến tính.
2.4 Phổ của toán tử compact
Trong phần này, chúng ta luôn giả sử E là không gian Banach trên tr-ờng Φ (là tr-ờng số thực hoặc tr-ờng số phức) vàu là toán tử compact trênE.
Sốα ∈Φđ-ợc gọi là một giá trị riêng của toán tử u nếu cóx∈E, x6= 0 sao cho
u(x) = α x; trong tr-ờng hợp này ta nói x là một véc tơ riêng (của u) t-ơng ứng với giá trị riêng α.
Với mỗi số nguyên d-ơng n và toán tử v trên E, để cho gọn, chúng ta ký hiệu vn
thay cho v◦n. Nếu 06=α∈Φ,dễ dàng thấy rằng(u−α id)n= (−α)n(id−α−1u)n
là toán tử Fredholm. Nh- Hệ quả 2.19.1, ta có ind(u−α id)n = 0; hay nói cách khác là
dimker(u−α id)n = dimcoker(u−α id)n.
Phổ của toán tửulà tậpSp(u):={α∈Φ :u−α id không là tự đồng phôi củaE }.
Định lý 2.20 Giả sử α là số khác không. Thế thì: hoặc (u−α id) là đồng phôi, hoặc α là giá trị riêng của u. Nói cách khác, các phần tử khác 0 của phổ chính là các giá trị riêng. Nếu E vô hạn chiều thì phổ chứa 0.
Chứng minh.
Theo Hệ quả 2.19.1, nếu ker(u−α id) ={0} thì (u−α id) là đồng phôi; còn nếu có 06=x∈ker(u−α id) thì u(x) =α x, do đó α là giá trị riêng.
Nếu0∈/ Sp(u) thìu là đồng phôi. Do đó B0 đồng phôi với u(B0); suy ra hình cầu đóng đơn vị là compact và nh- vậy E là hữu hạn chiều theo Định lý 2.9.
Trong lý thuyết không gian véc tơ hữu hạn chiều, nếu u là một tự đồng cấu trên không gian véc tơ V thì chúng ta có thể phân rã V thành tổng trực tiếp
V =N1⊕. . .⊕Nm
trong đó mỗi Ni t-ơng ứng với giá trị riêng αi, đều có số nguyên ri thoả mãn
(u−αiid)riNi = 0.
Trong tr-ờng hợp này ta nóiu−αiidlà luỹ linh trênNi.Đối với các toán tử compact
u trên E, chúng ta cũng có cách phân rã không gian E thành trực tổng các không gian con.
Bổ đề 2.1 Giả sửα 6= 0, là một giá trị riêng củau. Thế thì tồn tại số nguyênr >0
sao cho
ker(u−α id)n=ker(u−α id)r
với mọi n≥r.
Đặt v=α−1u, ta có v là compact. Chúng ta chỉ cần chứng tỏ có số nguyên r > 0
sao cho ker(id−v)r =ker(id−v)r+1.Đặt T =id−v;Hn =kerTn.Dễ dàng thất rằng Hn ⊂Hn+1 và T(Hn+1)⊂ Hn. Giả sử là không có số r để Hr = Hr+1. Thế thì ta có dãy
H1 (H2 (. . .(Hn (. . .
Do Định lý 1.34, ta có dãy xn ∈ Hn,kxnk = 1, d(xn, Hn−1) ≥ 1−ε. Với mọi
m < nta đều có
kv(xn)−v(xm)k=kxn−T(xn)−xm+T(xm)k ≥1−ε.
Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với tính compact của v.
Số nguyên d-ơng nhỏ nhất r trong bổ đề trên, đ-ợc gọi là bậc của α.
Định lý 2.21 Giả sửα là giá trị riêng khác không của u vàr là bậc của α.Khi đó chúng ta có phân rãE thành trực tổng tôpô của ker(u−α id)r và im(u−α id)r :
E =ker(u−α id)r⊕im(u−α id)r,
hơn nữa, các không gian con đóng ker(u−α id)r và im(u−α id)r là bất biến đối vớiu. Nếuβ 6=α cũng là một giá trị riêng khác không của u vàs là bậc của β thì
ker(u−β id)s⊂im(u−α id)r.
Chứng minh.
Đặt T = (u−α id)r, ta có T là toán tử Fredholm. Vậy H :=kerT và G = imT
là các không gian con đóng; chúng bất biến đối với u vì (u−α id)(H) = H và
(u−α id)(G)⊂ G. Nếu y∈ H ∩G thì có x ∈E để y= T(x) và T(y) = 0. Vậy
x ∈ kerT2 = kerT; suy ra y = 0. Do indT = 0 và H ∩G ={0}; ta suy ra E là trực tổng tô pô của H vàG.
Bây giờ giả sử β 6= α cũng là một giá trị riêng khác không của u và s là bậc của
β.Đặt S= (u−β id)s, ta thấyS◦T =T ◦S. Do đó kerT và imT cũng là S−bất biến. Nếu x∈kerS, thì x có biểu diễn duy nhất: x=y+z, với y∈H và z ∈G.
Do 0 =S(x) =S(y) +S(z) vàH, G là S−bất biến nên S(y) = 0. Do có λ, à ∈Φ
để λ S+à T =id. Suy ra 0 = id(y) = y; kéo theo x =z ∈G. Ta đã chứng minh xong kerS ⊂imT.
Suy ra0 =id(y) =y; kéo theo x=z ∈G. Ta đã chứng minh xong kerS ⊂imT.
Định lý 2.22 Tập Sp(u) là không quá đếm đ-ợc. Nếu Sp(u) là đếm đ-ợc thì
Chứng minh.
Để chứng minh Sp(u) là tập không quá đếm đ-ợc ta chỉ cần chứng minh tập
{α ∈ Sp(u) : |α| ≥ 1/n} là hữu hạn với mọi số nguyên d-ơng n. Giả sử trái lại, có n0 để tập {α ∈ Sp(u) : |α| ≥ 1/n0} là vô hạn. Lấy dãy (αn) các phần tử đôi một khác nhau của {α ∈Sp(u) :|α| ≥1/n0}. Nh- vậy, ta có dãy (an) các véc tơ riêng t-ơng ứng. Tr-ớc hết chúng ta chứng tỏ bằng qui nạp rằng hệ (ai)n
i=1 là độc lập tuyến tính. Nếu n ≥ 2 và Pn
i=1λiai = 0, ta cũng có Pn
i=1λiαiai = 0; suy ra
Pn
i=2λi(1−αi/α1)ai = 0.Theo giả thiết qui nạp, suy ra λ2 =. . .=λn = 0; do đó ta cũng cóλ1 = 0.
Với mọi n, gọi Hn là không gian con sinh bởi hệ (ai)n
i=1. Theo Định lý 1.34, ta có dãy xn ∈Hn,kxnk= 1 và d(xn, Hn−1) ≥1−ε. Ta viết xn =Pn
i=1λiai, trong đó λn 6= 0. Khi đó với mọi y ∈ Hn−1 ta đều có kλnan −yk ≥ 1−ε; suy ra
kλnαnan−yk ≥(1−ε)/n0. Suy rad(u(xn), Hn−1)≥(1−ε)/n0. Vớim < nta có
ku(xn)−u(xm)k ≥d(u(xn), Hm)k ≥(1−ε)/n0;
mâu thuẫn với tính compact của toán tử u.
Khi Sp(u) là đếm đ-ợc thìE là vô hạn chiều, theo Định lý 2.20 thì0∈Sp(u). Từ tính hữu hạn của mỗi tập {α∈Sp(u) :|α| ≥1/n} ta suy ra Sp(u) có điểm tụ duy nhất là0.
Giả sử dãy các giá tri riêng đ-ợc sắp theo thứ tự |αi| > |αi+1| và rn là bậc của
αn. Theo Định lý 2.21, ta có phân rã E thành trực tổng tôpô E = H1 ⊕G1, trong đó H1 = ker(u−α1id)r1 và G1 = im(u−α1id)r1 là các không gian con đóng
u-bất biến. Do hạn chế của u trên G1 là compact, nên ta có G1 = H2 ⊕G2, trong đó H2 =ker(u−α2id)r2 vàG2 =im(u−α1id)r1 ◦(u−α2id)r2. Bằng qui nạp ta có định lý sau đây:
Định lý 2.23 (Định lý phổ). Ta có phân rãE thành trực tổng tôpô:
E =Hn⊕Gn,
trong đóHn=ker(u−α1id)r1⊕. . .⊕ker(u−αnid)rn,là dãy tăng các không gian con hữu hạn chiều;Gn=im(u−α1id)r1◦. . .◦(u−αnid)rn,là dãy giảm các không gian con đóng.
2.5 Bài tập ch-ơng 2
1. Giả sử f là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F. Chứng minh rằng: nếu f liên tục tại điểm a nào đó, thì f là liên tục đều trên E.
2. Giả sử f là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩnF.Chứng minh rằng: nếudimE <+∞thìf là liên tục. Kết luận có còn đúng ? nếu thay "dimE <+∞ " bởi "dimF < +∞".
3. Giả sử f là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F. Chứng minh rằng: f liên tục khi và chỉ khi có B0(a;r) ⊂ E, B0(b;s)⊂F sao cho f(B0(a;r))⊂B0(b;s).Khi đó ta có kfk ≤2r−1s.
4. Giả sử E, F là các không gian Banach sao choIsom(E;F)6=∅.Chứng minh rằng ánh xạ u → u−1 liên tục trên Isom(E;F); suy ra ánh xạ u → u−1 là một đồng phôi từ Isom(E;F)lên Isom(F;E).
5. Ta nói ánh xạ tuyến tính f từ không gian định chuẩnE vào không gian định chuẩn F, là ánh xạ compact nếuu ảnh qua f của mỗi tập bị chặn đều là tập compact t-ơng đối. Chứng minh rằng: mọi ánh xạ compact đều là liên tục. 6. Chứng minh rằng: f ∈L(E;F)là ánh xạ compact khi và chỉ khi ảnh của một
hình cầu nào đó qua f là compact t-ơng đối.
7. Chứng minh rằng: nếu f ∈ L(E;F) và F hữu hạn chiều thì f là ánh xạ compact.
8. Giả sử F là không gian con của không gian định chuẩn E vàf là ánh xạ ánh xạ tuyến tính liên tục từ F vào không gian Bananh G. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất f ∈L(F;G), là suy rộng của f; hơn thế nữakfk=kfk.
9. Giả sử E là không gian định chuẩn phức và f là một ánh xạ từ E vào C.
Chứng minh rằng:
a) f là tuyến tính khi và chỉ khiRef là tuyến tính, trong tr-ờng hợp này thì
f(x) =Ref(x)−iRef(ix);
b) ánh xạ f →Ref,từ L(E;C) vào L(E;R), là đẳng cự tuyến tính.
10. (Nguyên lý bị chặn đều). Giả sử E là không gian Banach và (fi)i∈I là họ các phần tử trong L(E;F). Nếu dãy (fi(x))i∈I bị chặn với mọi x ∈ E thì dãy
(fi)i∈I là bị chặn.
11. Giả sử (fn) là dãy các phiếm hàm trên không gian định chuẩn E. Khi có phiếm hàm f trên E sao cho limnfn(x) = f(x), với mọi x ∈ E; ta nói dãy
(fn) hội tụ yếu∗ về f. Chứng minh rằng: mọi dãy bị chặn (fn) các phiếm hàm, đều có dãy con hội tụ yếu∗.
12. Giả sử (fn) là dãy trongL(E;F)sao cho với mọi x∈E đều tồn tại giới hạn
limnfn(x).Đặtf(x) = limnfn(x). Chứng minh rằng: f là ánh xạ tuyến tính; nếu dãy (fn) là bị chặn thì f ∈L(E;F)và kfk ≤lim supnkfnk.
13. Giả sử x0 là véc tơ khác không của không gian định chuẩn E. Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm f trên E sao cho f(x0) =kx0k và kfk= 1.
14. Giả sử x1 6=x2 là hai véc tơ của không gian định chuẩn E. Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàmf trênE sao cho f(x1)6=f(x2).
15. Giả sử F là không gian véc tơ con đóng của không gian định chuẩn E và
x∈ E \F. Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm f trên E sao cho f(x) = 1
vàf(F) ={0}.
16. Giả sửx1, . . . , xnlàn véc tơ độc lập tuyến tính của không gian định chuẩnE.