3 Đại c-ơng về phép tính vi phân
3.1.3 Định lý giá trị trung bình
Trong tr-ờng hợp E là tr-ờng vô h-ớng Φ (là R hoặc C), ta có thể đồng nhất một cách tự nhiên mỗi véc tơ v∈F với một ánh xạ tuyến tínht→tv,liên tục từΦ vào
F. Nh- vậy, ta có sự đồng nhất không gian L(Φ;F) vớiF.
Bây giờ chúng ta mở rộng khái niệm đạo ánh cho các ánh xạ từ tập con J của R
vào không gian Banach F trên tr-ờng số thực. Giả sử f là ánh xạ từ J vào F và
t0 ∈J là điểm dính của tập J \ {t0}. Đạo ánh tại điểm t0 (theo tập J) của f đ-ợc hiểu là
lim
t→t0,t6=t0
f(t)−f(t0)
t−t0 nếu giới hạn này tồn tại, hữu hạn.
Trong tr-ờng hợp đặc biệt, khi J = [a;b] ta có thể nói về đạo hàm phải của f tại điểmanếu nó tồn tại, ký hiệu làf0
+(a)hoặc D+f(a).T-ơng tự, f0
−(b)hoặcD−f(b)
Định lý 3.8 Giả sử I = [a;b] là đoạn đóng trong R, f là ánh xạ liên tục từ I vào không gian BanachF và ϕ là hàm số liên tục từ I vào R. Giả thiết là có một tập con đếm đ-ợc D ⊂ I sao cho tại mọi điểm t ∈ I \D, các ánh xạ f và ϕ đều có đạo ánh theo I vàkf0(t)k ≤ϕ0(t). Thế thì ta có kf(b)−f(a)k ≤ϕ(b)−ϕ(a).
Chứng minh.
Giả sử n → %n là song ánh từ tập các số nguyên d-ơng, lên D. Ta chỉ cần chứng minh: với mọiε >0đều có kf(b)−f(a)k ≤ϕ(b)−ϕ(a) +ε(b−a+ 1).
Ký hiệu A là tập con của I, gồm tất cả các điểm x sao cho: nếu a ≤ t < x thì
kf(t)−f(a)k ≤ ϕ(t)−ϕ(a) +ε(t −a) +εP
%n<t2−n. Hiển nhiên a ∈ A. Đặt
c= supA. Dễ dàng thấy rằng: A = [a;c)hoặc A= [a;c].Nh-ng từ định nghĩa của
A ta suy ra ngay là A = [a;c].Từ tính liên tục của f vàϕ ta cũng suy ra
kf(c)−f(a)k ≤ϕ(c)−ϕ(a) +ε(c−a) +εX
%n<c
2−n;
và nh- vậy, ta chỉ cần chứng tỏ c=b.Giả sử trái lại, suy ra c < b.
Tr-ờng hợpc /∈D. Do f và ϕ có đạo hàm tại c,nên có d, c < d≤b, sao cho: khi
c≤t < d thì kf(t)−f(c)−f0(c)(t−c)k ≤ ε 2(t−c) vàϕ 0 (c)(t−c)≤ ε 2(t−c) +ϕ(t)−ϕ(c); suy ra kf(t)−f(c)k ≤ kf0(c)k(t−c)+ε 2(t−c)≤ϕ 0 (c)(t−c)+ε 2(t−c)≤ϕ(t)−ϕ(c)+ε(t−c). Thành thử
kf(t)−f(a)k ≤ kf(t)−f(c)k+kf(c)−f(a)k ≤ ϕ(t)−ϕ(a) +ε(t−a) +εX
%n<t
2−n;
điều này mâu thuẫn với định nghĩa của c.
Tr-ờng hợp c∈ D. Giả sử c =%m. Từ tính liên tục của f vàϕ tại c, ta suy ra có
d, c < d≤b,sao cho: khi c≤t < d thì
kf(t)−f(c)k ≤ ε 22 −m và |ϕ(t)−ϕ(c)| ≤ ε 22 −m . Suy ra kf(t)−f(a)k ≤ kf(t)−f(c)k+kf(c)−f(a)k ≤ ≤ ε 22 −m +ϕ(c)−ϕ(a) +ε(c−a) +εX %n<c 2−n ≤ ≤ ε 22 −m +ϕ(c)−ϕ(a) +ε(c−a) +εX %n<c 2−n+ϕ(t)−ϕ(c) + ε 22 −m ≤ ≤ϕ(t)−ϕ(a) +ε(t−a) +εX %n<t 2−n;
Sau đây là một vài hệ quả quan trọng của định lý giá trị trung bình.
Hệ quả 3.8.1 Giả sử có số thực M và tập đếm đ-ợc D ⊂ I = [a;b] sao cho tại mọi điểm t ∈ I \D, ánh xạ f có đạo ánh theo I và kf0(t)k ≤ M. Thế thì ta có
kf(b)−f(a)k ≤M(b−a).
Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập.
Hệ quả 3.8.2 Giả sử f: U → F là C1−ánh xạ và đoạn thẳng S nối hai điểm
x0, x0+h, đ-ợc chứa trong U.Thế thì ta có:
kf(x0+h)−f(x0)k ≤ khksup
x∈S
kf0(x)k.
Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập. H-ớng dẫn: xét ánh xạ trên đoạn [0; 1]cho bởi
g(t) = f(x0+th).